概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題課答案(經(jīng)管系 吳贛昌編)4

1、數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。定義：定義：第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的特性： 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量線性組合的情況.定義：偏差平方的期望2 方差對于離散型隨機(jī)變量X，對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計(jì)算公式：比定義更常用方差的性質(zhì)： 表1 幾種常見分布的均值與方差 數(shù)學(xué)期望 方差 分布率或 密度函數(shù) 分布 01分布 p p(1-p)二項(xiàng)分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布 均勻分布U(a,b)指數(shù)分布正態(tài)分布 定理 (切比雪夫不等式) 設(shè)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對任意的常數(shù) 0 ，有或證明：不妨設(shè) X 是一個連續(xù)

2、隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 p( x ). 記 =E( X ), 則 事件“| X - E( X ) | ” 被稱為大偏差。切比雪夫不等式給出了大偏差發(fā)生概率的上界。3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)偏差乘積的期望協(xié)方差的性質(zhì)：協(xié)方差等于乘積的期望減去期望的乘積. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：P924 矩、協(xié)方差矩陣 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 5.1 大數(shù)定律隨機(jī)變量序列的平均變量出現(xiàn)大偏差的概率趨于0.頻率“收斂”于概率或 定理一中要求隨機(jī)變量序列X1,X2,的方差存在。但在這些隨機(jī)變量服從相同分布的場合，并不需要這一要求。隨機(jī)變量序列的平均變量出現(xiàn)大偏差的概率趨于0. 5.2 中心極限定理四Th5獨(dú)立同分布隨機(jī)變量

3、之和, 其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.四 (獨(dú)立同分布的中心極限定理)例1* 擲一顆色子 100 次, 記第 i 次擲出的點(diǎn)數(shù)為 Xi, i=1, 2, , 100, 點(diǎn)數(shù)之平均為 試求概率 P( 3 Y 4 ).解：由題意知 X1, X2, , X100 是獨(dú)立同分布的，其共同分布為Xi 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6所以所以,二項(xiàng)分布的正態(tài)近似則 Xi 是相互獨(dú)立的同分布序列，其共同分布為 b( 1, p ), 并且i=1, 2, 證明: 記所以,因此，由定理四知定理 五 成立.服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.五例2*：設(shè)某工廠有400臺同類機(jī)器，各臺機(jī)