2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是其一條漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若的面積為，則雙曲

2、線(xiàn)的離心率為（ ）ABCD2已知若（1-ai ）( 3+2i )為純虛數(shù)，則a的值為 （ ）ABCD3給出個(gè)數(shù) ，其規(guī)律是：第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大 ，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，以此類(lèi)推，要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和現(xiàn)已給出了該問(wèn)題算法的程序框圖如圖，請(qǐng)?jiān)趫D中判斷框中的處和執(zhí)行框中的處填上合適的語(yǔ)句，使之能完成該題算法功能( )A；B；C；D；4若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（ ）A7B6C5D45已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（ ）ABCD6已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，且

3、，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）A或B或C或D或7已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）ABCD8若點(diǎn)(2，k)到直線(xiàn)5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是( )A1B-3C1或D-3或9已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則（ ）ABCD10圓錐底面半徑為，高為，是一條母線(xiàn)，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則點(diǎn)到所在直線(xiàn)的距離的最大值是（ ）ABCD11已知集合,，則ABCD12已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最大值為（ ）A2BC1D0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）在長(zhǎng)方體中，已知棱長(zhǎng)，體對(duì)角線(xiàn)，兩異面直線(xiàn)與所成的角為，則該長(zhǎng)方體的表面積是_14已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列，

4、若，則_.15在中，角所對(duì)的邊分別為，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)16某大學(xué)、四個(gè)不同的專(zhuān)業(yè)人數(shù)占本?？?cè)藬?shù)的比例依次為、，現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個(gè)專(zhuān)業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取_人三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18（12分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過(guò)千分之一，則其生產(chǎn)部門(mén)當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)

5、臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）2345671011該產(chǎn)品的年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺(tái)數(shù)（臺(tái)）2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果：，注：年返修率=（1）從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門(mén)獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）的線(xiàn)性回歸方程（精確到0.01）.附：線(xiàn)性回歸方程中， ，.19（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.20（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若

6、求的長(zhǎng).21（12分）設(shè)橢圓E:（a,b0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由22（10分）某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為，只要誤差的絕對(duì)值不超過(guò)就認(rèn)為合格，工廠(chǎng)質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測(cè)其長(zhǎng)度，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：（1）估計(jì)該批次產(chǎn)品長(zhǎng)度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望；（2）如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí)，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否

7、符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)在第一象限，求出此坐標(biāo)，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)在第一象限，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，所以，又以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，解得，所以，即，即，所以，雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)

8、數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類(lèi)，屬基礎(chǔ)題.3A【解析】要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語(yǔ)句，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語(yǔ)句.【詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1，故判斷語(yǔ)句應(yīng)為，第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大 ，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，這樣可以確定語(yǔ)句為，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.4C【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵5D【解

9、析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和6D【解析】設(shè)，根據(jù)和拋物線(xiàn)性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線(xiàn)性質(zhì)得出，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系，從而可得出離心率【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為、，不妨設(shè)，則，為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則，即，得，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，解得或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)離心率的求解，涉及雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題7C【解析】由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，利用正弦定理求出底

10、面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，如圖：由底面邊長(zhǎng)可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得， 三棱柱的兩底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問(wèn)題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.8D【解析】由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線(xiàn)

11、的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2) 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.9B【解析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷關(guān)系；由時(shí)，求得導(dǎo)函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，由進(jìn)而判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當(dāng)時(shí)，則，令則，當(dāng)時(shí)，則在時(shí)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，則在時(shí)單調(diào)遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.10C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結(jié)果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線(xiàn)，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，在底面的射

12、影為；，過(guò)的軸截面如圖：，過(guò)作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線(xiàn)面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題11D【解析】因?yàn)?所以,故選D12B【解析】作出可行域，平移目標(biāo)直線(xiàn)即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其截距最大，此時(shí)最大得，當(dāng)時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】考查線(xiàn)性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1310【解析】作出長(zhǎng)方體如圖所示，由于，則就是異面直線(xiàn)與所成的角，且，在等腰直角三角形中，由，得，又，則，從而長(zhǎng)方體的表面積為 14【解析】，建立方程組，

13、且，求出，進(jìn)而求出的公比，即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列，解得，所以的公比為，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.159【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線(xiàn)性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16【解析】求出專(zhuān)業(yè)人數(shù)在、四個(gè)專(zhuān)業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得【詳解】由

14、題意、四個(gè)不同的專(zhuān)業(yè)人數(shù)的比例為，故專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）；（2）【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,由即可解得,故,由,即可解得,進(jìn)而求得.(2) 由（1）得，,利用分組求和及錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，由可得，整理得，即，故，由可得，則，即，故.（2）由（1）得，故，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)，則，得，綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查求等差等比的通項(xiàng)公式,考試分組求和及錯(cuò)位相減法

15、求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.18（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）先判斷得到隨機(jī)變量的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計(jì)算得到相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和期望（2）由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值，可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出；然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線(xiàn)方程【詳解】（1）由數(shù)據(jù)可知，五個(gè)年份考核優(yōu)秀由題意的所有可能取值為，故的分布列為：所以（2）因?yàn)?，所以去掉年的?shù)據(jù)后不影響的值，所以又去掉年的數(shù)據(jù)之后，所以，從而回歸方程為：【點(diǎn)睛】求線(xiàn)性回歸方程時(shí)要涉及到大量的計(jì)算，所以在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性，對(duì)于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要合理利用本題考查概率

16、和統(tǒng)計(jì)的結(jié)合，這也是高考中常出現(xiàn)的題型，屬于基礎(chǔ)題19（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論單調(diào)性（2）欲證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明，這時(shí)需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，欲證，只需證，令，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當(dāng)變化時(shí)，的變化如下：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因?yàn)?，所以，所?即，所以當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】考查求函

17、數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.20（1）；（2）.【解析】（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長(zhǎng)，進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（2）利用誘導(dǎo)公式求得，進(jìn)而求得，利用兩角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的長(zhǎng).【詳解】（1）在中，解得，.（2）在中，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.21（1）（2）【解析】試題分析：（1）因?yàn)闄E圓E:（a,b0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓

18、E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,則=,即，要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，圓與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，往往要利用韋達(dá)定理存在性問(wèn)題，往往從假設(shè)存在出發(fā)，運(yùn)用題中條件探尋得到存在的是否條件具備（2）小題解答中，集合韋達(dá)定理，應(yīng)用平面向量知識(shí)證明了圓的存在性22（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意即可寫(xiě)出該批次產(chǎn)品長(zhǎng)度誤差的絕對(duì)值的頻率分布列，再根據(jù)期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率為0.4，即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，都不是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率，由對(duì)立事件的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率，判斷其是否符合生產(chǎn)要求；當(dāng)不符合要求時(shí)，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率為，可根據(jù)上述方法求出，解，即可得出最小值.【