大學數(shù)學(高數(shù)微積分)第九章歐幾里得空間第一節(jié)課件(課堂講解)

1、主要內(nèi)容第一節(jié) 定義與基本性質內(nèi)積長度度量矩陣夾角舉例在線性空間中，向量之間的基本運算只有加法與數(shù)量乘法，統(tǒng)稱為線性運算.如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個具體模型，那么就會發(fā)現(xiàn)向量的度量性質，如長度、夾角等，在線性空間的理論中沒有得到反映.但是向量的度量性質在許多問題中(其中包括幾何問題)有著特殊的地位，因此有必要引入度量的概念.解析幾何中我們看到，向量的長度與夾角等度量性質都可以通過向量的內(nèi)積來表示，而且向量的內(nèi)積有明顯的代數(shù)性質，所以在抽象的討論中，我們?nèi)?nèi)積作為基本概念.一、內(nèi)積1. 定義定義 1 設 V 是實數(shù)域 R 上一線性空間，在V 上定義了一個二元實函數(shù)，稱為內(nèi)積

2、，記作( , )，它具有以下性質：1) ( , ) = ( , )；2) (k , ) = k( , )；3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ；4) ( , ) 0，當且僅當 = 0 時 ( , ) = 0 .這里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意實數(shù)，這樣的線性空間 V 稱為歐幾里得空間.在歐幾里得空間的定義中，對它作為線性空間的維數(shù)并無要求，可以是有限維的，也可以是無限維的.幾何空間中向量的內(nèi)積顯然適合定義中列舉的性質，所以幾何空間中向量的全體構成一個歐幾里得空間.2. 歐幾里得空間舉例下面再看兩個例子.例 1 在線性空間 Rn 中，對于向量 = (a1 , a2

3、 , , an ) , = (b1 , b2 , , bn ) ,定義內(nèi)積( , ) = a1 b1 + a2 b2 + + an bn . (1)顯然，內(nèi)積 (1) 適合定義中的條件，這樣， Rn就成為一個歐幾里得空間.以后仍用 Rn 來表示這個歐幾里得空間.在 n = 3 時，(1) 式就是幾何空間中向量的內(nèi)積在直角坐標系中的坐標表達式.例 2 在閉區(qū)間 a , b 上的所有實連續(xù)函數(shù)所成的空間 C (a , b) 中，對于函數(shù) f (x) , g (x) 定義內(nèi)積由定積分的性質不難證明，對于內(nèi)積 (2)，C (a , b)構成一歐幾里得空間.同樣地，線性空間 R x , R x n 對于

4、內(nèi)積 (2)也構成歐幾得里空間.3. 歐幾里得空間的性質下面來看歐幾里得空間的一些基本性質.首先，定義中條件表明內(nèi)積是對稱的.因此，與相當?shù)鼐陀? ) ( , k ) = (k , ) = k( , ) = k( , )；3 ) ( , + ) = ( + , ) = ( , ) + ( , ) = ( , ) + ( , ) .由條件有 ( , ) 0 .所以對于任意的向量 ，是有意義的.在幾何空間中，向量 的長度為類似地，我們在一般的歐幾里得空間中引進向量長度的概念.二、長度1. 定義定義 2 非負實數(shù)稱為向量 的長度，記為 | |.顯然，向量的長度一般是正數(shù)，只有零向量的長度才是零，這樣

5、定義的長度有以下的性質：2. 性質性質 1 設 k R, V , 則有| k | = | k | | |. (3)證明性質 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式設 , 是任意兩個向量，則| ( , ) | | | | |， (4)當且僅當 , 線性相關時，等號才成立.證明當 = 0 時，(4) 式顯然成立.以下設 0 .令 t 是一個實變數(shù)，作向量 = + t .由可知，不論 t 取何值，一定有( , ) = ( + t , + t ) 0. 即( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0. (5) 取代入 (5) 式，得即( , )2 ( , ) ( , ) .兩邊開方便得| (

6、 , ) | | | | | .當 , 線性相關時，等號顯然成立.反過來，如果等號成立，由以上證明過程可以看出，或者 =0或者也就是說 , 線性相關.證畢3. 兩個著名的不等式對于中的歐幾里得空間 Rn ，式就是對于中的歐幾里得空間 C(a , b) ，式就是4. 單位向量長度為 1 的向量稱為單位向量.如果 0，則由| k | = | k | | |知，向量是一個單位向量.用向量 的長度去除向量 ，得到一個與 成比例的單位向量，通常稱為把 單位化.三、夾角1. 夾角的定義定義 3 非零向量 , 的夾角 規(guī)定為2. 三角不等式根據(jù)柯西 - 布涅柯夫斯基不等式，我們有三角形不等式| + | |

7、| + | | . (6)因為| + |2 = ( + , + )= ( , ) +2( , ) +( , ) | |2 +2 | | | | + | |2 = (| | + | |)2 .所以 | + | | | + | | . 3. 正交定義 4 如果向量 , 的內(nèi)積為零，即( , ) = 0，那么 , 稱為正交或互相垂直，記為 .顯然，這里正交的定義與解析幾何中對于正交的說法是一致的.兩個非零向量正交的充分必要條件是它們的夾角為由定義立即看出，只有零向量才與自已正交.在歐幾里得空間中同樣有勾股定理，即當 , 正交時，| + |2 = | |2 + | |2 .事實上，| + |2 = (

8、 + , + )= ( , ) +2( , ) +( , )= | |2 + | |2 .不難把勾股定理推廣到多個向量的情形，即如果 1 , 2 , , m 兩兩正交，那么| 1 + 2 + + m |2 = | 1 |2 + | 2 |2 + + | m |2 .在以上的討論中，我們對空間的維數(shù)沒有作任何限制.從現(xiàn)在開始，我們假定空間是有限維的.四、度量矩陣設 V 是一個 n 維歐幾里得空間，在 V 中取一組基 1 , 2 , , n , 對于 V 中任意兩個向量 = x11 + x22 + + xnn , = y11 + y22 + + ynn , 由內(nèi)積的性質得( , ) =(x11+x

9、22+xnn , y11+y22+ynn )令aij = (i , j ) ( i , j = 1 , 2 , , n ) , (7)顯然aij = aji . 于是利用矩陣，( , ) 還可以寫成( , ) = XTAY ， (9)其中分別是 , 的坐標，A = ( aij )nn 稱為基 1 , 2 , , n 的度量矩陣.而矩陣上面的討論表明，在知道了一組基的度量矩陣之后，任意兩個向量的內(nèi)積就可以通過坐標按 (8)或 (9) 來計算，因而度量矩陣完全確定內(nèi)積.設 1 , 2 , , n 是空間 V 的另外一組基，而由 1 , 2 , , n 到 1 , 2 , , n 的過渡矩陣為 C,

10、即(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) C .于是不難算出，基 1 , 2 , , n 的度量矩陣B = ( bij ) = (i , j ) = CTAC . (10)這就是說，不同基的度量矩陣是合同的.根據(jù)條件對非零向量 ，即有( , ) = XTAX 0 .因此，度量矩陣是正定的.反之，給定一個 n 級正定矩陣 A 及 n 維實線性空間 V 的一組基 1 , 2 , , n .可以規(guī)定內(nèi)積，使它成為歐幾里得空間，并且基 1 , 2 , , n 的度量矩陣為 A .歐幾里得空間的子空間在所定義的內(nèi)積之下顯然也是一個歐幾里得空間.歐幾里得空間以下簡稱為歐氏空間.五、

11、舉例例 1 在歐氏空間 Rn 中計算下列向量的內(nèi)積，并求它們之間的夾角.單擊這里開始例 2 在 4 維歐氏空間中，設基的度量矩陣為(1) 求基的度量矩陣；(2) 求向量的內(nèi)積.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返