大學數(shù)學(高數(shù)微積分)第七章線性變換第三節(jié)課件(課堂講解)

1、主要內(nèi)容線性變換、基與基的像第三節(jié) 線性變換的矩陣線性變換的矩陣向量像的計算公式線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系相似矩陣一、線性變換、基與基的像設(shè) V 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間，1 , 2 , , n 是 V 的一組基，這一節(jié)我們來建立線性變換與矩陣的關(guān)系.首先來討論線性變換、基與基的像之間的關(guān)系.空間 V 中任一向量 可以被基 1 , 2 , , n 線性表出，即有 = x11 + x22 + + xnn (1) = x11 + x22 + + xnn (1)其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是 在這組基下的坐標.由于線性變換保持線性關(guān)系不變，因而在 的像 A 與基的像 A 1 , A 2 ,

2、, A n 之間也必然有相同的關(guān)系：A = A (x11 + x22 + + xnn ) = x1 A (1 ) + x2 A (2 ) + + xn A (n ) (2)上式表明，如果我們知道了基 1 , 2 , , n 的像，那么線性空間中任意一個向量 的像也就知道了，或者說1. 設(shè) 1 , 2 , , n 是線性空間 V 的一組基.如果線性變換 A 與 B 在這組基上的作用相同，即 A i = B i , i = 1, 2, , n ,那么 A = B .結(jié)論 1 的意義就是，一個線性變換完全被它在一組基上的作用所決定.下面我們進一步指出，基向量的像卻完全可以是任意的，也就是說2. 設(shè)

3、1 , 2 , , n 是線性空間 V 的一組基.對于任意一組向量 1 , 2 , , n 一定有一個線性變換 A 使 A i = i , i = 1, 2, , n . (3)綜合以上兩點，得定理 1 設(shè) 1 , 2 , , n 是線性空間 V 的一組基， 1 , 2 , , n 是 V 中任意 n 個向量.存在唯一的線性變換 A 使A i = i , i = 1, 2, , n .有了以上的討論，我們就可以來建立線性變換與矩陣的聯(lián)系.二、線性變換的矩陣1. 定義定義 7 設(shè) 1 , 2 , , n 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 的一組基， A 是 V 中的一個線性變換.基向量的像可以

4、被基線性表出：用矩陣來表示就是A (1 , 2 , , n ) = (A 1 , A 2 , , A n )= (1 , 2 , , n ) A ，其中矩陣 A 稱為 A 在基 1 , 2 , , n 下的矩陣.(5)例 1 設(shè) 1 , 2 , , m 是 n ( n m ) 維線性空間 V 的子空間 W 的一組基，把它擴充為 V 的一組基 1 , 2 , , n .指定線性變換 A 如下：A i = i ，當 i =1 , 2 , , m ,A i = 0 ，當 i = m + 1 , , n .如此確定的線性變換 A 稱為對子空間 W 的一個投影.不難證明投影 A 在基 1 , 2 , ,

5、 n 下的矩陣是m 行m 列這樣，在取定一組基之后，我們就建立了由數(shù)域 P 上的 n 維線性空間 V 的線性變換到數(shù)域 P 上的 n n 矩陣的一個映射.前面的說明這個映射是單射，說明這個映射是滿射.換句話說，我們在這二者之間建立了一個雙射.這個對應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它保持運算，即有2. 性質(zhì)定理 2 設(shè) 1 ,2 , ,n 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 的一組基，在這組基下，每個線性變換按對應(yīng)一個 n n 矩陣.這個對應(yīng)具有以下的性質(zhì)：1) 線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；2) 線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；3) 線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；4) 可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且

6、逆變換對應(yīng)于逆矩陣.證明設(shè) A ，B 是兩個線性變換，它們在基 1 , 2 , , n 下的矩陣分別是 A，B，即A (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )A ， B(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )B .1) 由(A + B ) (1 , 2 , , n )= A (1 , 2 , , n ) + B(1 , 2 , , n )= (1 , 2 , , n ) A + (1 , 2 , , n ) B= (1 , 2 , , n )( A + B ) .可知，在 1 , 2 , , n 基下，線性變換 A + B 的矩陣是A + B.2)

7、相仿地，(A B ) (1 , 2 , , n )=A ( B (1 , 2 , , n ) )=(A (1 , 2 , , n ) B )=(A (1 , 2 , , n ) ) B= (1 , 2 , , n )AB . 因此，在 1 , 2 , , n 基下，線性變換 A B 的矩是 AB .3) 因為( k 1 , k 2 , , k n ) = (1 , 2 , , n )kE . 所以數(shù)乘變換 K 在任何一組基下都對應(yīng)于數(shù)量矩陣kE .由此可知，數(shù)量乘積 kA 對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積 kA .4) 單位變換 E 對應(yīng)于單位矩陣，因之等式A B = BA = E 與等式AB = BA

8、= E相對應(yīng)，從而可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，而且逆變換與逆矩陣相應(yīng).證畢定理 2 說明數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 的全部線性變換組成的集合 L( V ) 對于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成 P 上一個線性空間，與數(shù)域 P 上 n級方陣構(gòu)成的線性空間 P n n 同構(gòu) .利用線性變換的矩陣可以直接計算一個向量的像.三、向量像的計算公式定理 3 設(shè)線性變換 A 在 基1 , 2 , , n下的矩陣是 A，(x1 , x2 , , xn )，標 (y1 , y2 , , yn ) 可以按公式計算.向量 在基 1 , 2 , , n 下的坐標是則 A 在基 1 , 2 , , n 下的坐證明由假

9、設(shè)于是另一方面，由假設(shè)由于1 , 2 , , n 線性無關(guān)，所以證畢線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起一般來說，隨著基的改變，同一個線性變換就有不同的矩陣.為了利用矩陣來研究線性變換，我們有必要弄清楚線性變換的矩陣是如何隨著基的改變而改變的.的，四、線性變換定理 4 設(shè)線性空間 V 中線性變換 A 在兩組基1 , 2 , , n ， (6)1 , 2 , , n (7)下的矩陣分別為 A 和 B，從基 (6) 到 (7) 的過渡矩陣是 X，于是 B = X-1AX .在不同基下的矩陣的關(guān)系證明已知(A 1 , A 2 , , A n ) = (1 , 2 , , n )A，(A 1 ,

10、A 2 , , A n ) =(1 , 2 , , n )B，(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )X .于是(A 1 , A 2 , , A n ) = A (1 , 2 , , n )= A (1 , 2 , , n )X = A (1 , 2 , , n )X= (A 1 , A 2 , , A n )X = (1 , 2 , , n )AX= (1 , 2 , , n )X-1AX .= (1 , 2 , , n )X-1AX .由此即得B = X-1AX .證畢定理 4 告訴我們，同一個線性變換 A 在不同基下的矩陣之間的關(guān)系.這個基本關(guān)系在以后的討論中是重要

11、的.現(xiàn)在，我們對于矩陣引進相應(yīng)的定義.五、相似矩陣1. 定義定義 8 設(shè) A，B 為數(shù)域 P 上兩個 n 級矩陣，如果可以找到數(shù)域 P 上的 n 級可逆矩陣 X，使得B = X-1AX ,就說 A 相似于 B，記作 A B .2. 性質(zhì)相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面三個性質(zhì)：1) 反身性：A A .這是因為 A = E-1AE .2) 對稱性：如果 A B，那么 B A .如果 A B，那么有 X 使 B = X-1AX .令 Y=X-1 就有 A = XBX-1 = Y-1BY，所以 B A .3) 傳遞性：如果 A B，B C，那么 A C .已知有 X，Y 使 B = X-1

12、AX ， C = Y-1BY . 令Z = XY，就有 C = Y-1X-1AXY = Z-1AZ，因此 A C .矩陣的相似對于運算有下面的性質(zhì).4) 若 B1 = X-1A1X， B2 = X-1A2X，則B1 + B2 = X-1( A1 + A2)X ；B1B2 = X-1( A1 A2)X .5) 若矩陣 A 與 矩陣 B 相似, 且矩陣 A 可逆, 則矩陣 B 也可逆, 且 A-1 與 B-1 相似.g(A) 與 g(B) 相似. 6) 若矩陣 A 與 B 相似, k 是常數(shù), m 是正整 數(shù), g(x) = a0 xm + a1xm-1 + + am , 則kA 與 kB 相似,

13、Am 與 Bm 相似,有了矩陣相似的概念之后，可以補充成：定理 5 線性變換在不同基下所對應(yīng)的矩陣是相似的；反過來，如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下所對應(yīng)的矩陣.例 2 設(shè) V 是數(shù)域 P 上一個二維線性空間，線性變換 A 在基 1 = (1 , 0) , 2 = (0 , 1) 下的矩陣是1) 求線性變換 A 在基 1 , 2 下的矩陣 B, 其中1 = 1 - 2 , 2 = 3 1 + 4 2 ;2) 求 An ( n 為正整數(shù)) .解 1)由已知條件及2) 由 B = X-1AX，得所以An = A A A = (XBX-1) (XBX-1) (XBX-1)n

14、 個n 個= X B n X -1A = XBX-1 .本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)