數字通信第3章解調與檢測

1、第3解調與檢信號第3解調與檢信號和噪聲的矢量空間表AWGN信道下信號的解調和檢1信號和噪聲的矢量空間表xN )在N維矢信號和噪聲的矢量空間表xN )在N維矢量空間S 中每個矢量x用它的N個坐標表示兩個矢量xy的和定義為x+ y (x1 y1,y2 ,xN yN)之積定義 x 矢量x與標xN 兩個矢量x、y的內積x y Nixi y2N維矢量空矢量x的長度定義為Nix x|矢量x的長度定義為Nix x|ix cos 兩個矢量x、y的夾角| x | | y |v1 (1,0,0, v2 (0,1,0, vN (0,0,0, 是一組相互正交，規(guī)一的矢量，稱為基矢量3xii 12,N ，可以通過如下方

2、 對于任何Nxii 12,N ，可以通過如下方 對于任何N個線性無關矢個正交、規(guī)一矢量ei N得到一任取一個矢量，比如 x1 e1 = x1 /|x1 |； e2 b2 /|b2 |； e3 b3 /|b3 | ；b2 x2 (x2 e1，b3 x3 (x3 e1(x3 e2，bn xn (i| ；n 1,2, en bn /|，S 的基矢量可以把任何一組N個正交、規(guī)一矢量，作為這個4Gram-idt規(guī)范化法信號的矢量空間表把在(0,T ) 上平方可積函y(t看成是矢量x(tTx(t)y信號的矢量空間表把在(0,T ) 上平方可積函y(t看成是矢量x(tTx(t)y(t)(x(t), y(t)

3、 x(t)和的內積定義0Tx(t)函數的長度定義為| x(t) x20(x(t)x(t)和 y(t)的的夾角定義： cos |x(t)| y(t)i (ti 12, N是一組在 (0,T上定義的正交、規(guī)一函數i i jj T (t)dt ij05任何一個由i (t)線性組的函數任何一個由i (t)線性組的函數 s(t)可以表示為s(t) s11(t) s22 (t)sNN i (t)看成是一組N個正交、規(guī)范基函數，相當于N 維正交空間向量。于是s(t) 就可以看成為是這個N個正中的一點，它的坐標為(s1 , s2 ,sN ) ，稱為信號空間6由Gram-idt正交化步驟s1由Gram-idt正

4、交化步驟s1(t) s111(t)s122(t)s1NN s2 (t) s211(t)s222 (t)s2NN 使得sM (t) sM11(t)sM22(t)sMNN 71,2,M; j 1, Tsij o si (t)j (t)dt，可以從任何一組M個波形si(t)，i12,M，t0,T構造出一N個正交規(guī)范波形1 (t),2 (t),N (t), N M 任取一個矢量，比如s1(t) 1(t)= s1(t)/|s1(t)b2 s2 s2 1 1 2(t) b2(t)/|b2(t)| b3 s3 s3 1 1 s3 2 2 ， 3(t)b3(t)/|b3(t)| bn sn i n(t)bn(

5、t)/|bn(t)n 1,2, s1(t),s2 (t),s3(t),s1(t),s2 (t),s3(t),s4 (t)s2例4個基帶信s431/22 1/281/2構造出一組3個正交規(guī)范波1(t),2(t),3(t)s1(t)s (t) 2 (t) 2s3(t) s4 (t) s1 s1(t)s (t) 2 (t) 2s3(t) s4 (t) s1 222 321(t)3 2,0,0),s2 (0,s 2,0),s 2,3422 ss1222ss34每個信號波形si (t)可以用矢量(si1, si2 ,siN 表示，信號能 i 1,2, 信號的能量相當于矢量(si1si2 ,siN 長度的

6、平9T E s2(t)dt s dt sij 0 jj2例在 (,上定義的16個基帶信號si, j (t) icost例在 (,上定義的16個基帶信號si, j (t) icost jsint i, j 1,可以用二維信號空間中的點表示，該二維信號空間的基矢量函為(t) sin (t) cos21所si, j (t) 1(t) 2(t)j, si.|2(i2 j2i.噪聲的矢量空間表雙邊功率譜密度為N0/2的噪聲也可以表示成二噪聲的矢量空間表雙邊功率譜密度為N0/2的噪聲也可以表示成二部分組成NTnj n(t)j 其) 0j是n(t)在這N 維信號空間中的投影另一部分)(t)是與信號空間正交的

7、分量。因為對任何j(t), j 12,T0)t) 可以用矢(1,2 表示分是隨量的均值和協(xié)方差分別為En E T n(t) 可以用矢(1,2 表示分是隨量的均值和協(xié)方差分別為En E T n(t) (t)dt ijTT ) (Enn E j j00TT (t)(t) (ij200 2N0i 2i N維噪聲矢量(t) (n1n2,nN ) 的概率分布為 n2 f(n)f(n )i (N )N/2ii 0 AWGN信道下的解調和檢解AWGN信道下的解調和檢解調和檢測的概基函數相關解基函數匹配濾波器解最佳檢器3.2.1 解調和檢測的概解調就是把接收到波形恢復成發(fā)送的基3.2.1 解調和檢測的概解調就

8、是把接收到波形恢復成發(fā)送的基帶脈沖義。解調與采檢si(t)r(t)n(t)器均衡z(t)濾波變換頻率下變換方框是為帶通信號傳輸傳輸來說，它可以完全省去。接收濾波器，執(zhí)行波形恢復的功能的信噪比恢復基帶脈沖。這種最佳濾波器也稱為匹配濾波器，或者叫相關器。，均頻率下變換方框是為帶通信號傳輸傳輸來說，它可以完全省去。接收濾波器，執(zhí)行波形恢復的功能的信噪比恢復基帶脈沖。這種最佳濾波器也稱為匹配濾波器，或者叫相關器。，均衡器用來消除由帶限統(tǒng)所引起的碼間干擾（ISI）解調/檢測過程包含有二個轉換第一是波形樣本轉換，這由采樣器完成。在解調/檢測過程包含有二個轉換第一是波形樣本轉換，這由采樣器完成。在每個符號間

9、Tz(mTz(mT為號的能量及附加噪聲有關。由于輸入噪聲是Gaussian第二是樣本到消息符號轉換。（檢測在時采樣t sir(t)消息符n(t)h (t)簡化的基帶傳輸模門濾z(t)二進制基帶信號系統(tǒng)的分s (t)s10二進制基帶信號系統(tǒng)的分s (t)s10t 0t 發(fā)送發(fā)送s i z(t)r(t)hr r(t) )zi在時采樣t sir(t)消息符n(t)h (t)簡化的基帶傳輸模門濾z(t)z(t在時刻tT 的采樣輸出為z(t在時刻tT 的采樣輸出為zi其中ai (T )是由信號分量得到的，是所需分量；no (T )是噪聲分量z ai n (T20是均值為零，方差的噪op(z|s0p(z|

10、s1分別稱為是s0、s1的似然概率器作用是把采樣值z與某門限 相比，根據大于確定發(fā)送的是s0，還是s1。還是小于 014-10 10傳輸系統(tǒng)中的解調和檢測主要歸結為如何設計一個的接收濾波器和如何選擇比較門限1 za 2 p(z|s )exp0 1 za 2 p(z|s1)1 22 基函數相關解當發(fā)送是信號sk (t)時，接收r(t) k 基函數相關解當發(fā)送是信號sk (t)時，接收r(t) k ,)r(t)投影到N維信號空間，得到的矢量表示為r (r1r2, r是均值為s ，方差為No 的獨s(t)隨量，所以在發(fā)ik2條件下，接收到r (1,2,N )的條件概率，表示矢量(r si 的長度r其

11、r|si ) (N )N /2 exp(rk sik ) /N0 i exp rs 2/N ( N )N /2Tri 0 r(t)i(t)dtski i 1,2, 1(t去N1(t去N(t基函數相關解調2(t的充分統(tǒng)計量；也就是說作出正)的信息包含的充分統(tǒng)計量；也就是說作出正)的信息包含在矢量 r中，與噪聲分量n(t)無關。 Et)NjkjNTEn(t)n()k()dE(nj nk )joj N0 (t) N0 (t)kk22變量，不相關就意味著相互立，所以n(t)ri獨立的。從而ri是一組充分統(tǒng)計量，給出的分統(tǒng)計量的解調器是一組基函數相關器例6.3.1 M電平PAM傳輸，其中基本脈沖形狀 s

12、T (t為矩形，如圖噪聲。求基函數 (t)和基函數相關示，加性噪聲是零均值，調器輸出解例6.3.1 M電平PAM傳輸，其中基本脈沖形狀 sT (t為矩形，如圖噪聲。求基函數 (t)和基函數相關示，加性噪聲是零均值，調器輸出解 矩形脈沖能量s (t)TTE s ( AsTo因為PAM信號集合具有維數N 只有一個基函數 (t)，Tt1 10t (t) s TT基函數相關型解調器輸為 TTTr(t)r r(t)dt00相關變成了簡單的積分器T0 r(t)(t)dt發(fā)送的第m電平基帶脈沖可表示為A2T(t)s(t)s (t) A s (t) mmm1Tn t)dtTr 則mT10)dt T(t)ns發(fā)

13、送的第m電平基帶脈沖可表示為A2T(t)s(t)s (t) A s (t) mmm1Tn t)dtTr 則mT10)dt T(t)nsmmT00En其 En(t)n( )dtd 1TTTEn(t)n()dtdTT2nT N00000(t221exp(r p(r|s )/所mm0N0基函數匹配濾波器解基函數相關型解調是利用一組N個相關器構造出充分統(tǒng)計量基函數匹配濾波器解基函數相關型解調是利用一組N個相關器構造出充分統(tǒng)計量提供給后的檢裝置可以用一組濾波器代替相關器，這組N個濾波器的脈沖響應為其中 k (t)是信號空間的N個基函數。濾波器輸出t(ty (t) kk0t(Ttk 1,2, ，k0t T

14、時，這些匹配濾波器輸出正好是N個基函數相關器的輸出h (t) k(T t)，0t T ， k 1,2,其0t定義當信號s0t定義當信號s(t是上定義的函數，的濾波器稱為是信號s(t)的匹配濾波器0tT如果信號s(t)受到AWGN干擾，則信號如果信號s(t)受到AWGN干擾，則信號 s(t)通過定理它相匹配的濾波器，可獲得最大信噪比tT輸出信噪比（SNR）可證明，在時TS s2( N No /2匹配濾波器性下面計算匹配濾波器的頻率傳遞函數Th(t)e j2 ftj下面計算匹配濾波器的頻率傳遞函數Th(t)e j2 ftj2 ct)eH(f0Tj2 fj2 cS*(f)ej2cd H(f)cS*(

15、f)ej2匹配濾波器的信號輸出匹配濾波器的信號輸出在tT時，ys(T Rs(0，正是相關器在t T時的輸出ys(t) s(t)h(s(t)s(T Rs (tT去檢N (T去檢N (T t基函數匹配濾波解調2 (T t1 (T t可以把基函數相關解調器用一組匹配濾波器代替，得到基函數匹配濾波解調器。例1求與圖示信號s（t）例1求與圖示信號s（t）(a)信(b) 匹配濾波器脈沖響(c) 匹配濾波器輸注意：匹配濾波器的輸出僅當 t T 時才和相關器輸出相同，在其時刻二者輸出是注意：匹配濾波器的輸出僅當 t T 時才和相關器輸出相同，在其時刻二者輸出是不一樣的。例如對于正弦信號，圖中的實線表示相匹配濾

16、波器輸出，而虛線表示對應相關器輸出cos 2t 0,T t 0,T f0s(t) 01e j2( f f0 j4(f f01e j2( f f0 j4(f f0S(f)s(t)ej2 ftdt 匹配濾波器的頻率響應H(f)S(f)ej2j2( f f 1e j2 j2( f f 1e j2 j4(f f0j4(f f0匹配濾波器的脈沖響應h(t)s(T t)cos2匹配濾波器的脈沖響應h(t)s(T t)cos2 f0(T t)t0,Tf0 N /假so(t) s()h(t輸出信號t cos2 f 0t 022Tcos2 f tT t 020其3 在二進制基帶傳輸系統(tǒng)中，可能發(fā)送二種波0t T

17、2t s (t)s (t) 2，1200發(fā)送發(fā)送求其基函數3 在二進制基帶傳輸系統(tǒng)中，可能發(fā)送二種波0t T2t s (t)s (t) 2，1200發(fā)送發(fā)送求其基函數匹配濾波解調器的濾波器沖激響應及解調器輸出解基二維正22 (t) (t)s s ，1122相應的匹配濾波器為2Tt h (t) (T t) 2011，2T2h (t) (T t)0t 其0，22當s1(t)發(fā)送時，匹配濾波器h1(t)tT時輸出信號值為2Es為符號能量。當s1(t)發(fā)送時，匹配濾波器h1(t)tT時輸出信號值為2Es為符號能量。而濾波器h2 (t)t y2s (T) 匹配型解調器輸出采樣矢量值為時輸出信號值為Es

18、n1,n2其中n1n2為噪聲通過這二只匹配濾波器，在 t T 時的采樣值n t)2 ynyn N0En En2122第一只匹配濾波的輸出信噪比為y2 S (T) 2E 2 N No0最佳檢器對于AWGN上基帶信號傳輸來說，無論是基函數相關解最佳檢器對于AWGN上基帶信號傳輸來說，無論是基函數相關解調，還是基函r (r1r2,rN )，接收信號中有 矢量中匹配濾波解調，都產生一矢發(fā)送信號的全部有用信息保含在這接收矢量是二項之和，一項是 sm，即與發(fā)送信號波形有關的矢量，另項是噪聲矢量n，它是噪聲在信號空間的投影。把sm 視做信號空間一n 是N 維信號空間一個隨機矢量。它的每個分量是均值為0，方差

19、2的獨變量，它可以表示為矢量上疊加一個球對稱分布的噪，形成了信號空間中以 s 為中心的一個球狀云團mnn信號檢測準則p(sm )M個信號為sm(tm12,M ，相信號檢測準則p(sm )M個信號為sm(tm12,M ，相應的先驗概率 總是估計 p(sm )最大的哪個信號為沒有收到 r(t)，如可能被發(fā)送收到r(t)，應該選使后驗概率 p(sm | r)最大的那個sm為發(fā)如信號。這稱為最大后驗概率準則（MAP）Mp(r|sm ) p(sm p(r) p(r|s ) )p(sm |r) ，mm最大后驗概率準則最大似然概率準則 mmMAPp(sm ) 1/ M 0信號是先驗等可能傳送時mML arg

20、maxp(r|smmmMAP argmaxp(sm |r) argmaxp(r|sm ) p(sm 最佳性證當信號先驗概率分布已知時，采最佳性證當信號先驗概率分布已知時，采用MAP準則可以使平均錯誤概率最小接收到矢量r r1r2, )是N 維信號空間中一個點，根據 r做出發(fā)，相當于把信號空間劃分成M個區(qū)域 信號是哪一個m 12,M 。若r 落入 Ri，就判定發(fā)送的是信號si (t)。如何劃分 錯誤概率最小？設發(fā)送的是sm (t)，但接收到的矢量 r 落到 Rm以外，決就出錯誤。所以在發(fā)送 sm (t) 條件下的錯誤概率為P(e|sm) 的補空間p(r|smm其中mm最大后驗（MAP）檢測：選s

21、m使 p(sm p(r|sm )最大最大似然（ML）檢測：選 sm 使p(r |sm ) 最大MP(e)p(sm )P(e|sm M平均錯誤概為MP(e)p(sm )P(e|sm M平均錯誤概為 p(sm p(r |sm mMp(r |sm )dr) 1mM1p(sm |r) 為了平均錯誤概率最小，劃分應該使在 Rm 中的p(sm |r) p(r) p(si |r) p(r)， i r滿i p(sm |r) p(si |r)即這就是最大后驗概率準則（MAP）同樣當M個信號先驗等概分布時，采用ML準則可以使平均錯誤概率最小AWGN下的信號檢測準則由于對數函數的單調性，所以最大后驗概率準則（MAP

22、）也等價于argmaxp(sm |r) argmaxlnp(AWGN下的信號檢測準則由于對數函數的單調性，所以最大后驗概率準則（MAP）也等價于argmaxp(sm |r) argmaxlnp(sm |mmargmaxln p(sm)ln p(r|smmexp1Np(r |s )(r /0由mi)N/2 0 exp2r/m0)N/2 0ln p(r|s ) N ln() 1 (r m0i2Ni0AWGN下的 最大后驗概率準則為2 argmaxln p(sm ) 2 ln(N0) N(ri smi) mMLmMAPp(sm ) 1/M當M個信號 mMLmMAPp(sm ) 1/M當M個信號是先驗

23、等可能傳送時最大似然概率準則 argmaxp(r| sm m1|r2mm似然概率準則（ML）等價于最小距離準則若|rDmargmaxln p(s ) 1 |r|21N1N1N2Niiii(r rs2r由ii1N1N1N2Niiii(r rs2r由iiNNNN0000忽略與m無關項，得到最大后驗概率準則等價于其中Em為信號sm的能量(r,sm)rsm的內積argmaxln p(s ) s2 r mi argmaxln p(s ) Em 2 (r,s )m N0N0AWGN下的信號檢測： （基函數是基函數相關最大后驗概AWGN下的信號檢測： （基函數是基函數相關最大后驗概 1TT對所有m，計算選取最大項對應是基函數匹配濾波最大后驗概是基函數匹配濾波最大后驗概匹配濾波N(T-匹配濾波1(T-對所有m，計算選取最大項對應4. AWGN下的信號檢測（信號相關T(r,s )r(t)sTs2E由mmmm00MAP4. AWGN下的信號檢測（信號相關T(r,s )r(t)sTs2E由mmmm00MAP準則(2/N0)lnp(s1)E1 /(2/N0)ln p(sM )EM /是（信號）相關最