高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案第二版數(shù)學(xué)系ch28課件

1、高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案第二版數(shù)學(xué)系ch28課件高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案第二版數(shù)學(xué)系ch28課件本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)引入具有 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的泰勒展開式, 并給出相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng)和佩亞諾型余項(xiàng). 利用 階的泰勒公式給出函數(shù)在特定點(diǎn)的近似估計(jì). 牛牛文庫文檔分享本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)引入具有 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的 由拉格朗日中值定理, 若 并且當(dāng) 很小或: 上式是用一次多項(xiàng)式來近似表達(dá)一個(gè)函數(shù), 但缺點(diǎn)是時(shí), 有不能具體估計(jì)誤差的大小, 并且在近似估計(jì)時(shí)精度不夠高. 問題的提出 牛牛文庫文檔分享 由拉格朗日中值定理, 若 設(shè)函數(shù) 在含 的開區(qū)間內(nèi)有直到 階導(dǎo)數(shù), 來近似表示 并給出誤差的具體表達(dá)式. 為了使所求出

2、的多項(xiàng)式與函數(shù) 在數(shù)值與性質(zhì)方面吻合得更好, 進(jìn)一步要求 在點(diǎn) 處的函數(shù)值以以及它的 階導(dǎo)數(shù)值與 在 處的函數(shù)值以及它的 我們的目的是用一個(gè)關(guān)于 的多項(xiàng)式階導(dǎo)數(shù)值分別相等. 即 牛牛文庫文檔分享 設(shè)函數(shù) 在含 的開區(qū)間內(nèi)有因?qū)?代入上式, 得于是有 牛牛文庫文檔分享因?qū)?代入上式, 得于是有www.（2.20）由于 的系數(shù)由 確定, 故稱（2.20）式為 的階泰勒多項(xiàng)式. 問題是: 能不能用 來近似表達(dá)它們的誤差又將是什么? 下面的定理將回答這個(gè)問題. 牛牛文庫文檔分享（2.20）由于 的系數(shù)由 確定,泰勒中值定理 如果函數(shù) 在含 的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到 階導(dǎo)數(shù), 那么對(duì)于（2.21）有其中（

3、2.22） 牛牛文庫文檔分享泰勒中值定理 如果函數(shù) 在含 的某個(gè)這里, 是 與 之間的某個(gè)值.（詳細(xì)證明留在本節(jié)最后） 牛牛文庫文檔分享這里, 是 與 之間的某個(gè)值.（詳細(xì)證明注 公式（2.21）稱為 在 處關(guān)于 的 階 當(dāng) 時(shí), 泰勒公式即為拉格朗日中值公式:所以, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.泰勒公式, 而公式中右端的最后一項(xiàng)稱為泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng), 而公式（2.21）稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式. 牛牛文庫文檔分享注 公式（2.21）稱為 在 分析 用 的泰勒多項(xiàng)式近似表示 時(shí), 其誤（2.24）在公式（2.21）中, 取 若記 差為 如果對(duì)于某個(gè)固定的 當(dāng) 時(shí), 則

4、有相應(yīng)的泰勒公式具有比較簡單的形式: 牛牛文庫文檔分享 分析 用 的泰勒多項(xiàng)式近似表示（2.25）其中 牛牛文庫文檔分享（2.25）其中 牛牛文庫文檔分享由此得到近似計(jì)算公式:上式的右端稱為函數(shù) 的 階麥克勞林多項(xiàng)式. 而相（2.26）應(yīng)的誤差估計(jì)式（2.24）應(yīng)變?yōu)闉?牛牛文庫文檔分享由此得到近似計(jì)算公式:上式的右端稱為函數(shù) 例2.49 求出函數(shù)的 階麥克勞林展開式.解 因所以:代入（2.25）式, 得因而相應(yīng)的近似表達(dá)式為 牛牛文庫文檔分享例2.49 求出函數(shù)的 階麥克勞林展開式.解 相應(yīng)的誤差估計(jì)式為如果取 即得到 的近似表達(dá)式:其誤差為 牛牛文庫文檔分享相應(yīng)的誤差估計(jì)式為如果取 即得到

5、 例2.50 求出函數(shù)的 階麥克勞林展開式.解 因所以由公式（2.26）得 牛牛文庫文檔分享例2.50 求出函數(shù)的 階麥克勞林展開式.解 其中 如果用 用它的 階 麥克勞林多項(xiàng)式近似表示為 牛牛文庫文檔分享其中 如果用 用它的 階相應(yīng)的誤差分別為 牛牛文庫文檔分享相應(yīng)的誤差分別為 牛牛文庫文檔分享 利用Mathematica可以做出函數(shù) 與其近似多項(xiàng)式的圖形. 從圖中可以看到, 與其近似多項(xiàng)式 隨著 的增大而越來越貼近. 牛牛文庫文檔分享 利用Mathematica可以做出函數(shù) 常見函數(shù)的麥克勞林展開式:其中 牛牛文庫文檔分享 常見函數(shù)的麥克勞林展開式:其中www.niuwk.c其中 牛牛文庫

6、文檔分享其中 牛牛文庫文檔分享其中 牛牛文庫文檔分享其中 牛牛文庫文檔分享 因當(dāng) 時(shí), 余項(xiàng) 是比 高階的無從而（2.21）式改變?yōu)椋?.27）稱為帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開式. 窮小, 即（2.27） 牛牛文庫文檔分享 因當(dāng) 時(shí), 余項(xiàng) 例2.51 寫出函數(shù)的3階帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式.解 因即有:代入公式 牛牛文庫文檔分享例2.51 寫出函數(shù)的3階帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式即: 牛牛文庫文檔分享即: 牛牛文庫文檔分享 泰勒中值定理證明. 僅對(duì) 進(jìn)行證明, 當(dāng) 時(shí)證明完全相同.證 記即將上式與（2.23）式比較可知, 只要證明存在介于 與之間的某數(shù) 使得為此令 牛牛文庫文檔分享 泰勒中值定理證明. 僅對(duì) 進(jìn)則 在區(qū)間