專升本《高等數(shù)學(xué)》易錯題解析-第十一章：曲線、曲面積分

1、PAGE 第九章 曲線、曲面積分曲線、曲面積分是將積分概念推廣到一段曲線弧或一片曲面的情形，在求變力沿曲線做功，求引力，環(huán)流量等許多實際問題中應(yīng)用廣泛，是場論的基礎(chǔ)。這一章的基本思想是用參數(shù)化方法解決曲線、曲面積分的計算，利用格林公式、斯托克斯公式、高斯公式解決一些較復(fù)雜的應(yīng)用問題。在研究生入學(xué)考試中，本章是高等數(shù)學(xué)一和高等數(shù)學(xué)二的考試內(nèi)容。通過這一章的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為應(yīng)達(dá)到如下要求：明確兩類曲線積分和兩類曲面積分的背景，熟練掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的定義。熟練掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的參數(shù)化、投影計算法。具備對一些常見實際問題的分析能力，正確使用格林公式、斯托克斯公式、高斯公式解決

2、一些較復(fù)雜的應(yīng)用問題。一、知識網(wǎng)絡(luò)圖二、典型錯誤分析例1 錯誤結(jié)論設(shè)是分段光滑可求長的平面曲線段，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，則分析 從第一類曲線積分的定義知，該積分是該弧段上點(diǎn)的函數(shù)值與小弧段長的乘積的和式的極限，故這個極限與曲線段的方向無關(guān)，因此不能照搬定積分的有關(guān)性質(zhì)。正確結(jié)論 設(shè)是分段光滑可求長的平面曲線段，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，則例2 錯誤結(jié)論重積分、曲線積分、曲面積分的定義都可統(tǒng)一到定積分的定義形式。分析 從重積分、曲線積分、曲面積分的物理背景可知重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的定義可統(tǒng)一到定積分的定義形式：設(shè)是可度量的幾何形體，在上有界，將任意分成個部分，既表示第個部分

3、又表示其度，在上任取一點(diǎn)，若存在，則稱在上可積，記為對于第二類曲線積分、第二類曲面積分由其物理背景可知，其定義不能簡單地統(tǒng)一到這種形式。正確結(jié)論 重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的定義都可統(tǒng)一到定積分的定義形式。例3求圓周上曲線段的弧長，其中 .錯解 分析 由于曲線從A到C時,自增加到, 再由減少到, 在以上計算中統(tǒng)一將用表示不能保證而第一類曲線積分中,由定義可知應(yīng)大于零,因此此題應(yīng)分段進(jìn)行計算.正確解 例4. 計算 其中為以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形。錯解 正方形方程為 即 ，. 所以分析 本題是計算第二類曲線積分, 因此用參數(shù)化法化為定積分求解。但應(yīng)注意的是此時定積分的下（上）限應(yīng)對應(yīng)始（終）

4、點(diǎn)的參數(shù)值。在以上解法中被積表達(dá)式是正確的，但積分上下限有的顛倒了，導(dǎo)致了結(jié)果錯誤。正確解 正方形方程為 即 ，. 所以例5. 錯誤結(jié)論 格林公式對單一型的積分不成立。分析 以上結(jié)論是錯誤的。事實上，其中，因此只要在以L為邊界正向的閉區(qū)域上滿足格林公式的條件即可使用格林公式。 正確結(jié)論 當(dāng)在以L為邊界正向的閉區(qū)域上滿足格林公式條件時：類似地，對單一型的積分，當(dāng)在以L為邊界正向的閉區(qū)域上滿足格林公式的條件時，有例6. 求曲線積分，其中曲線的方程.錯解 由于在所圍的區(qū)域上滿足格林公式的條件，于是分析 在以上解法中，將第二類曲線積分利用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分來考慮這個思路是常用的，錯誤在于將利用的方

5、程，用9來代換。事實上二重積分中的積分變量應(yīng)在所圍的積分區(qū)域上取值，而不能僅在上取值。正確解 利用對稱性例7. 求曲線積分，其中曲線的方程。錯解 由于積分曲線關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù)，利用對稱性，得 分析 在定積分、重積分中，常利用積分區(qū)域的對稱性配合被積函數(shù)的奇偶性法則來簡化計算。由于第二類曲線積分、第二類曲面積分的定義與定積分、重積分的定義形式不同（參見例2），因此不能直接照搬此性質(zhì)。正確解利用參數(shù)法， 例8. 求曲面積分，其中為曲面的外側(cè)。錯解 分析 上面解法的錯誤在于對第二類曲面積分直接利用重積分的對稱性求解，這是沒有根據(jù)的。對第二類曲面積分，首先應(yīng)將它化為重積分，才能考慮是否可

6、用對稱性簡化計算。正確解一 利用高斯公式正確解二以上積分也可用常規(guī)的方法，分片積分。將分為上半球面：下半球面：于是 +例9. 試問是否某個函數(shù)的全微分？若是，求函數(shù)錯解 設(shè)因為 所以對一切，原式是某個函數(shù)的全微分。取為起點(diǎn)，以折線為積分路徑，其中于是 分析以上解法是在根據(jù)推得“一切，原式是某個函數(shù)的全微分”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，但是這里忽略了函數(shù)當(dāng)時沒有定義，因此，只有在時，才成立，因此不能任取一點(diǎn)為起點(diǎn)，所選擇的路徑必須將直線中排除在外。正確解 設(shè)因為 所以在直線以外的區(qū)域內(nèi)，原式是某個函數(shù)的全微分。取為起點(diǎn)，以折線為積分路徑，其中于是 例10. 把對坐標(biāo)的曲線積分化為對弧長的曲線積分，其路徑為沿

7、上半圓周從點(diǎn)到錯解 由方程得因此圓周的切線向量為方向余弦為 于是分析 在以上解法中，所運(yùn)用的兩類曲線積分之間的關(guān)系式是正確的，但沒有按“切線向量的方向與有向曲線的方向必須保持一致”去求出切線向量，造成結(jié)論錯誤。 正確解 曲線的方程為 以為參數(shù)，則曲線的切線向量為 由得因此切向量為由于沿上半圓周從點(diǎn)到，故切線方向余弦取 于是三、綜合題型分析例11計算其中為球面與平面相交的圓周。分析一 所求積分為第二類曲線積分，可用常規(guī)方法即參數(shù)化法進(jìn)行如下計算。解一 先求出曲線的參數(shù)方程。由方程組 得 （1）由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，有，于是(1)為 設(shè)得所求圓周的參數(shù)方程為于是得所以分析二利用對稱性進(jìn)行計算，這兒不僅要求

8、所沿的積分曲線要對稱，且定義在此曲線上的函數(shù)也要求對稱。解二 由對稱性知考慮到大圓的周長為易得 于是 方法小結(jié)對于計算第一類曲線積分，參數(shù)化法是一種常規(guī)方法，因此應(yīng)熟練掌握，但針對題目的特點(diǎn)，有時其它方法更簡便，本題利用對稱性求解更簡便。例12. 計算曲線積分其中從沿擺線 到分析一 由于被積函數(shù)在全平面上滿足，故 +必為某個函數(shù)的全微分，以下用求原函數(shù)的方法求此積分值。解一 因為 +所以分析二 設(shè) 因于是積分與路徑無關(guān)，所以可任意選擇一條路徑進(jìn)行積分。解二 根據(jù)以上分析，可選擇折線為路徑進(jìn)行積分，其中為已知，為 +方法小結(jié) 對于第二類曲線積分一般可考慮采用參數(shù)化法，求原函數(shù)法，利用積分與路徑無

9、關(guān)等方法求解。在采用求原函數(shù)法，改變路徑積分等方法時，首先應(yīng)驗證被積函數(shù)和積分區(qū)域是否滿足條件。在改變路徑積分時，往往選用分段與坐標(biāo)軸平行的折線為路徑。例13計算曲線積分其中是圓上原點(diǎn)到的一段弧。分析 以下用四種方法求解此第二類曲線積分，用不同的方法，其難易程度相差較大。解一 的參數(shù)方程為，由 則由 解二 的極坐標(biāo)方程為因此參數(shù)方程為 由 由 解三 因為 所以積分與路徑無關(guān)。解四 因為 利用全微分方法小結(jié) 比較以上四中解法，前面兩種都屬于直接計算法，后面兩種是利用積分與路徑無關(guān)、求原函數(shù)進(jìn)行求解的。不難看出，對坐標(biāo)的曲線積分，若滿足，解法三、四是較簡便的。當(dāng)且積分曲線不封閉時，也可先用“補(bǔ)路封

10、閉法”進(jìn)行計算再減去補(bǔ)路上的積分，但必須在補(bǔ)路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例14設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 則。（A）2; （B）; （C）; （D）1.分析 要求出積分, 首先應(yīng)利用條件求出由曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件可知:于是 由條件 得再由條件積分與路徑無關(guān), 取積分路線,則得因此選擇（B）.(這里若取折線,也易得)方法小結(jié)分析要求的積分式子,易知必須利用條件先求出未知函數(shù),因此有了以上的解法。從所求結(jié)果出發(fā)進(jìn)行分析，往往是解決問題的一種有效途徑。例15計算，其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù)。分析一 曲面積分是沿著曲面的積分，可用曲面方程代入被積表達(dá)

11、式化簡，對本題而言特別重要。因代入被積表達(dá)式后將分母中的化為提出去了，使得余下的被積表達(dá)式能夠用高斯公式計算（否則高斯公式所要求的連續(xù)可微性條件不滿足）。解一 由于高斯公式要求積分曲面為封閉曲面，所以必須將原曲面補(bǔ)上一塊有向曲面 其法向量與軸正向相反，從而得到原式 其中為圍成的空間區(qū)域，為上的平面區(qū)域.于是原式分析二 本題也可直接用統(tǒng)一投影法，化為平面的某區(qū)域上的二重積分進(jìn)行計算。解二 由于所以 記 則原式=（在第一項中令分析三 由題意，可將所求曲面積分分兩項，分別用投影法化為兩個坐標(biāo)平面的某區(qū)域上的二重積分進(jìn)行計算。解三 原式=， 其中為平面上的半圓：利用極坐標(biāo)計算，得其中為平面上的圓域：因

12、此原式方法小結(jié) 第二類曲面積分有多種計算方法，用曲面方程代入被積表達(dá)式化簡積分是常用的手段。另外，投影法的應(yīng)用也是靈活的（祥見解二和解三），可根據(jù)題目來選用某種投影法。例16計算曲線積分，其中圓周，的方向為逆時針方向。分析一 這個曲線積分若直接用參數(shù)化法求解是困難的，以下考慮用格林公式求解。解一解：由于時，被積函數(shù)無意義，故所包圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件，作一小圓挖去原點(diǎn)，作逆時針方向的圓周：，使全部被所包圍，在和為邊界的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)格林公式，有 ，故上式為零。方法小結(jié) 用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮曲線所包圍的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件，本題利用挖去一個小圓，使考

13、慮的區(qū)域滿足條件。本題采用的挖去一個小圓的方法是常用的。例17計算，其中為圓柱面介于和之間的部分。分析一本題是對面積的曲面積分，在直角坐標(biāo)下，它化為二重積分計算，有三個公式可考慮用于計算，其中之一為 (1)這里是曲面的方程，是在平面上的投影區(qū)域，且是上的單值可微函數(shù)。但在本題中，不能用公式(1)計算，這是因為曲面不能寫成的單值函數(shù)，且這時在平面上的投影是一條曲線（圓曲線），其面積為零，從而 因此本題只能考慮用另外兩個公式計算。解一利用向面投影的方法來計算，此時分曲面為兩個半柱面，。由于與關(guān)于面對稱，被積函數(shù)在與上也對稱，故所求積分為在上積分的兩倍，其中的方程為 在上的投影區(qū)域為， 于是類似地，

14、本題也可利用向面投影的方法來計算。分析二考慮到在圓柱面方程中的對稱性，故利用此特性求解。解二由于的方程中對稱，所以，從而方法小結(jié) 對第二類曲面積分，在直角坐標(biāo)下采用投影法化為二重積分計算時，對曲面方程是有要求的，應(yīng)引起充分注意。同時從解二看到，利用具體題目的特性求解往往較簡捷，對稱性是常被應(yīng)用的特性。例18計算曲面積分，其中是長方體的整個表面的外側(cè)，.分析一 所求積分為第二類曲線積分，由于被積函數(shù)且積分區(qū)域均比較簡單，可用以下常規(guī)的投影法求解。解一把有向曲面分成以下六個部分： ：()的上側(cè)； ：()的下側(cè)； ：()的前側(cè)； ：()的后側(cè)； ：()的右側(cè)； ：()的左側(cè)。其中、在面上的投影為零，

15、因此 所以分析二由于是長方體的整個表面的外側(cè)，易知是分片光滑的，又被積函數(shù)在上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，于是用高斯公式求解。解二因為長方體的整個表面的外側(cè)，由高斯公式且， 原式 方法小結(jié) 在考慮第二類曲面積分時，投影法和使用高斯公式求解都是常用的方法。但在用高斯公式時應(yīng)驗證積分區(qū)域和被積函數(shù)是否滿足條件，否則很容易出錯。例19 證明：對于曲線積分的估計式為 式中為積分曲線段長度， 利用這個不定積分估計： 并證明分析一由于所求不等式的右邊是曲線段的長度和的乘積，因此可利用第二類曲線積分的定義以及兩向量的向量積，估計不等式。對，一般可利用參數(shù)進(jìn)行計算。證一 因為 這里所以 設(shè) 于是 在曲線上， 因此

16、于是分析二 在估計曲線積分值時，結(jié)合已知的不等式常常會帶來方便，以下用此法估計.證二 因為由不等式（見證一），易得于是方法小結(jié) 在估計第二類曲線積分值時，利用向量的計算和一些已知不等式，往往是有效的。例20 計算 其中為曲線 其方向是從軸正向看去為逆時針方向。分析 為一條空間曲線，本題若采用將其方程參數(shù)化進(jìn)行求解是比較麻煩的，以下用斯托克斯公式來計算。解答 設(shè)上圓的內(nèi)部區(qū)域為 法向量取向上。由斯托克斯公式： 易知指定側(cè)的單位法向量為所以 其中為的方向角。由第一、二類曲面積分的聯(lián)系，得其中為圓的面積。易知的半徑 從而 因此 方法小結(jié) 在計算空間曲線積分時，將其方程參數(shù)化后進(jìn)行求解是一種基本方法，

17、但一般來說，計算比較麻煩。而用斯托克斯公式來計算往往較簡捷，但應(yīng)注意斯托克斯公式關(guān)于符號的規(guī)定。四、考研試題分析例21(2003年高數(shù)一)已知平面區(qū)域為的正向邊界，試證.分析一 等式的兩邊均為第二類曲線積分，可分別對兩邊直接積分，比較積分值，得結(jié)果。 證一 左邊 右邊 于是.分析二 對于第二類曲線積分，常考慮用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分求解，由于被積函數(shù)在全平面上都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，故可利用格林公式進(jìn)行求證。證二由格林公式，由于關(guān)于對稱，故于是.例22(1993年高數(shù)一、二)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則等于.（A） （B） （C） （D）.答案 (B)分析 本題的關(guān)鍵在于由條件“

18、曲線積分與路徑無關(guān)”導(dǎo)出所滿足的微分方程, 由此求出求的表達(dá)式。解答 設(shè) 由于 在全平面上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，因此即滿足方程 （1）由初始條件，得（1）的特解例23(2000年高數(shù)一)設(shè)為在第一卦限中的部分，則有.（A） （B）， （C）， （D）.答案 (C)分析一 本題可采用排除法進(jìn)行判別。由于(A), (B)兩個式子在形式上只是將換成了由和的表達(dá)式知，的地位完全相當(dāng)，因此(A), (B)兩式或全對或全錯，由于這里只有一個對的答案，故(A), (B) 全錯。又(D)式左端的被積函數(shù)在區(qū)域上的符號不同，因此積分值應(yīng)有所抵消，而右端的被積函數(shù)在上非負(fù)，故(D)式左端的值不可能

19、是在第一象限上積分的四倍，即(D)不可能成立。由此只能選擇(C)。分析二 本題也可通過計算進(jìn)行選擇，但這樣比較煩瑣。例24(1989年高數(shù)一、二)設(shè)平面曲線為下半圓周 則曲線積分分析一只要準(zhǔn)確地寫出曲線的參數(shù)方程，即可求出該積分。解一 的參數(shù)方程為故因此分析二本題若注意到在上變化時滿足 則立即可得結(jié)果。 解二 例25(2005年高數(shù)一)設(shè)是由錐面與半球面圍繞的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側(cè)，則 答案 分析一 對第二類曲面積分，用高斯公式求解往往較為簡捷，由于易知本題的積分區(qū)域以及被積函數(shù)滿足用高斯公式求解的條件，于是首先考慮采用高斯公式求解。解一因為是的整個邊界的外側(cè)，根據(jù)高斯公式可得： 令可得

20、交線在平面上的投影區(qū)域為： 于是 故 分析二 計算第二類曲面積分，在直角坐標(biāo)下采用投影法化為二重積分進(jìn)行計算是常用的基本方法，本題也可用此法計算，但計算量比較大。（解略）例26(1996年高數(shù)一、二)計算曲面積分其中是有向曲面 其法向量與軸正向的夾角為銳角。分析一由于被積函數(shù)在空間任意光滑封閉曲面所圍區(qū)域上滿足高斯公式條件，故采用添加有向曲面，利用高斯公式計算。這里應(yīng)注意在高斯公式中，曲面積分是沿著封閉曲面外側(cè)進(jìn)行的，因此本題沿著封閉曲面內(nèi)側(cè)的積分應(yīng)加負(fù)號。解一 記為法向量指向軸的負(fù)向的有向平面，為在平面上的投影區(qū)域，則 設(shè)為所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式知因此原式 分析二 對此第二類曲面積分

21、，可用“一投、二代、三投影”步驟求解。應(yīng)注意按照投影法確定符號。解二設(shè) 為在平面上的投影區(qū)域，則其中令則上式又所以例27(2003年高數(shù)一)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為 終點(diǎn)為 記證明曲線積分與路徑無關(guān)；當(dāng)時，求的值。分析一 由題設(shè)，第一問可利用平面上曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件給予證明。在第一問的基礎(chǔ)上，通過求原函數(shù)，并求原函數(shù)的改變量，求得的值。解一 （1）記，則，于是滿足：在時，且 所以曲線積分與路徑無關(guān)。曲線積分與路徑無關(guān)，故存在原函數(shù)使得且：由于連續(xù)，所以存在，使得 于是所以原函數(shù)為取 得 于是分析二 在第一問的基礎(chǔ)上，第二問的值，可通過如下取積分路徑為折線路徑，分段化為定積分求得。解二 （2）由于曲線積分與路徑無關(guān)，取為從到的折線段，于是例28(2004