小學(xué)奧數(shù)專題-組合之插板法.教師版

1、 m m n m n 07-5-4. 之 m m n m n 0教學(xué)目使學(xué)生確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；了解組數(shù)的意能根據(jù)具體的問,出符合要求的組合；掌握組的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；會(huì)分析數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問以及與其他專題的綜合運(yùn),養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)對組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié),點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別,掌握一些組合技巧, 如排除法、插板法等知識要一、組合問題日常生活中有很分組”問題如體育比把參賽隊(duì)分為幾,全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活 動(dòng)等等這種分問題就是我們將要討論的組合問這里我們將著重研究多少種分組方法的問題一般地, 個(gè)不同元素中取出

2、m )元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序 叫從 個(gè)同元素 中取出 個(gè)素的一個(gè)組合從排列和組合的定義可以知,列與元素的順序有而合與順序無關(guān)果個(gè)組合中的元素完全相 同,那么不管元素的順序如,是相同的組合,有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同,是不同的組合從 個(gè)同元素中取出 元素 ( m )的有組合的個(gè)數(shù) ,叫做從 n 不同元素中取出 個(gè)同元素的 組合數(shù)記作 一般地求從 n 個(gè)同元素中取出的 m 個(gè)素排列數(shù) P可分成以下兩步:第一步從 n 個(gè)同元素中取出 個(gè)元素組成一組共 C種方法；第二步將一個(gè)組合中的 m 元素進(jìn)行全排共有 種排法根據(jù)乘法原得到 mP 因此組合數(shù) C n P mm這個(gè)公式就是組合數(shù)公式二

3、、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地組合數(shù)有下面的重要性質(zhì) C n( m )這個(gè)公式的直觀意義: 表示從 n 個(gè)素中取出 個(gè)素組成一組的所有分組方法 表示從 n 個(gè) 元素中取出( n )個(gè)元素組成一組的所有分組方法顯, n 個(gè)元素中選出 m 個(gè)素的分組方法恰是從 n 元素中選 m 個(gè)素剩下( )個(gè)素的分組方法例如從 5 人選 人開會(huì)的方法和從 人選出 2 人不去開會(huì)的方法是一樣多的,即 C規(guī)定 C n例題精C插板法一般用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的方法的總使用插板法一般三個(gè)要求:所要分7-5-4.組合之插板法.題庫教師版page 1 5 3 3 7 解的物體一般是相同:要分解的物體必須全部分完:參與

4、分物體的組至少都分到 1 個(gè)物體不能有沒分 到物體的組出現(xiàn) 3 3 7 在有些題目中 已知條件與上面的三個(gè)要求并不一定完全相符 ,對此應(yīng)當(dāng)對已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,使 得它與一般的要求相再適用插板法使插法般如三類 個(gè)人分 n 個(gè)西,求每個(gè)人至少有一個(gè)這個(gè)時(shí)候我們只需要把所有的東西排成一排 在其中的 ( 個(gè)空隙中放上 ( 個(gè)板所以分法的數(shù)目為 C 個(gè)分 n 個(gè)東西要求每個(gè)人至少有 個(gè)個(gè)時(shí)候,們先發(fā)給每個(gè)人 ( 個(gè)還下 n ( 個(gè)西,這個(gè)時(shí)我們把剩下的東西按照類處理就可以了所以分法的數(shù)目為 n 個(gè)分 n 個(gè)東西允許有人沒有分到時(shí),們不妨先借來 m 東每個(gè)人多發(fā) 1 個(gè)這樣就和類型一樣了不過這時(shí)候

5、物品總數(shù)變成了 n ) 個(gè)因分法的數(shù)目為 Cm 【 1 將三同的花四同樣黃擺成排 ,求盆花不相 共 法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度2 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】希望五年級一, 18 種同放【解析】 四盆花擺好,剩下 5 個(gè)子可插進(jìn)紅選三個(gè)位置將三盆紅花插, C =5種選擇 =10 ,以有 【答案】 10 種【 2 在 23, 的意列使相兩互的列式有_ 種【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理 【難度4 星 【型】解答【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【析 這 數(shù)之間如果有公因,那么無非是 3 數(shù)中的 4 個(gè)偶數(shù)一定不能相鄰對于這類多個(gè)元素不相鄰的排列問考慮使插入法即首先忽略偶數(shù)的存對奇數(shù)進(jìn)行排列然將偶數(shù)插入但在偶數(shù)插入時(shí),要考慮

6、6 相的況奇數(shù)的排列一共有 24 種對任意一種排列 4 個(gè)形成 空,將 6 插入,以有符合條件的 個(gè)位置可以插再在剩下的四個(gè)位置中插入 、8,一共有 24 種所以一共有 24 種【答案】 1728【 3 有 10 粒,分三吃,每天至吃粒共有少不的法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度2 星 【型】解答【析 如圖 eq oac(,:)| eq oac(,) 將 粒如下圖所示成一這樣每兩顆之間共有 9 個(gè),從頭開始吃若相鄰 兩塊糖是分在兩天吃就在其間畫一條線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉, 個(gè)空中畫兩條豎一共有 種法【答案】 36【固小有 塊糖每至吃 塊7 天完她共多種同吃？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法

7、 【度3 星 【型】解答【析 分三情況來考慮: 當(dāng)紅最多一天吃 塊時(shí) 余各每天吃 1 塊 吃 塊這天可以是這七天里的任何一天 ,有 7 種吃 法； 當(dāng)紅最多一天吃 時(shí) 有一天吃 2 塊 其余五天每天吃 塊 先選吃 塊那天 ,有 7 種選擇 , 選吃 2 塊那天有 6 種擇由法原理有 7 42 吃法； 當(dāng) 小 紅 最 多 一 天 吃 2 塊 時(shí) , 必 有 三 天 每 天 吃 2 塊 , 四 天 每 天 吃 塊 , 從 天 中 選 天 有 C (種)法 根據(jù)加法原小紅一共有 42 (種不同的吃法7-5-4.組合之插板法.題庫教師版page 2 56 3 5 5 2 另外還可以用擋板法來解這道 塊

8、有 9 個(gè)選 空放擋板, C6 3 5 5 2 9【答案】 9 種不同的吃法【固有 12 塊糖小光 天吃,每天至要一塊問共 種吃【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析 將 12 塊排成一,間共有 11 個(gè)空, 個(gè)中挑出 個(gè)插擋,把 塊糖分成 6 堆則樣的每一種分法即對應(yīng)一種吃,所以共有 C 11 462 【答案】 462【固把 5 件同禮全部給 3 個(gè)朋 ,要使個(gè)朋都到物 則禮的同法共 種【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【關(guān)鍵詞】十三小升初入測試【解析 把 件同的禮排成一,中間有 個(gè)間隔現(xiàn)用兩個(gè)板去,每個(gè)間隔最多放一個(gè)板這 個(gè) 的每一種放法都把 5 件

9、物分成 3 份所這兩個(gè)板的每一種放法都應(yīng)一種分禮物的方法而板的 放法有 C 種所以分禮物的不同方法有 6 種【答案】 【固把 7 支完全同鉛分甲乙丙 個(gè)人每至 支,問有少方？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【析 將鉛筆成一排 兩塊擋板將這一排鉛筆隔開成三份 , 后分與甲、乙、丙 ,擋可插入的位置一共 有 7 個(gè) 個(gè)置中安插兩個(gè)不分次序的擋板一共有 6 種法處理分東西的問題用 隔板擋)可以順利解決【答案】 15【固學(xué)合團(tuán)從 個(gè)班補(bǔ) 名同,每個(gè)至 1 名共多種抽方？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【析 插板法8 名同學(xué)之間有 7 個(gè), 5 板,共有 77 (種)方法【答案】

10、 【 4 只無差的子到 3 個(gè)同盤里允許的子著請一有少不的法？ 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 把 10 只差別的橘子放到 個(gè)同的盤子里允許有的盤子空著然后在每個(gè)盤子里再加一個(gè)橘 這就變成了把 13 只差別的橘子放到 3 個(gè)同的盤子里不允許任何一個(gè)盤子空著反過來也是一 樣把 只橘子放到 3 個(gè)子不允許任何一個(gè)盤子空著,從每一個(gè)盤子中取出一個(gè)橘,這就變回 題目中的放法所以把 10 只差別的橘子放到 個(gè)同的盤子里且允許有的盤子空著的放法數(shù) 和把 只無差別的橘子放到 個(gè)同的盤子里且不允許任何一個(gè)盤子空著的放法數(shù)目相同 我們現(xiàn)在來計(jì)算把 13 只無差別的橘子放到 個(gè)同的盤里且不允許

11、任何一個(gè)盤子空著的放法數(shù) 目這時(shí)我們用隔板地方,這 只子排成一則這 13 只子之間有 12 個(gè)隙我們只要選 定這 12 個(gè)空隙中的 2 個(gè)隙再兩個(gè)空隙中分別放一塊隔這樣就分成了 組就相當(dāng)于把這 只橘子分成了 堆,如下圖所以只要求出從 12 個(gè)隙中選出 2 個(gè)隙多少種方法就可以了 C ,所以題目中所求的不同的放法有 66 種【答案】 【鞏固 將1 個(gè)相的果放 3 個(gè)不的子,許盤空。共有 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯, 級第 【解析】 C 105 種【答案】 105 種種同放。7-5-4.組合之插板法.題庫教師版page 3 59 【 5 把 20 個(gè)果給 3 個(gè)

12、朋,每人最分 3 可有少不的法 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 【型】解答9 【解析 先每人 2 個(gè)還有 個(gè)果每至少分一個(gè)13 個(gè)插 板,有 C【答案】 種法【固三學(xué)組織次歡會(huì)共演 個(gè)目如果校少出 3 個(gè)節(jié),那么這所校出目 數(shù)不情共多種【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【析 由于校至少演出 個(gè)所以可以由每所學(xué)校先分出 2 個(gè)節(jié)目,下的 8 個(gè)目再由 3 學(xué)校分 也就是在 8 個(gè)體間插入 個(gè)板8 個(gè)物體一共有 個(gè)隔這樣的話一共有 法【答案】 【 6 (1小有 10 塊每至吃 1 塊, 天完共多種不吃()小明有 塊糖每至吃 1 塊, 天 8 天之吃,共有少種法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3

13、星 【型】解答【析 將 10 拆 自然數(shù)的有兩種拆法,若 8 天中有 7 天每天吃一,外一天吃三有 8 種法若 8 天中有 6 天每天吃一,外 天天吃兩塊有 種法所以共 種法（2考慮有 n 塊每至少吃 1 塊 天內(nèi)吃完的情況將 n 塊排成一行,樣在 n 塊之間就 產(chǎn)生了 個(gè)隙可以在這些空隙中插入豎如果一條豎線都沒有,代表著 天把所有的糖吃 完如果每個(gè)空隙都插入豎線 ,代表著每天吃一塊糖 天完每個(gè)空隙都可以選擇插或者不插 ,這樣每一種插法都代表著一種吃法每個(gè)空隙都有插或者不插兩個(gè)選所以 個(gè)隙有 2n-1種插法即 塊每天至少吃 1 塊一有 n-1種不同的吃法 塊時(shí) 之內(nèi)吃完共有 9=512種吃法

14、糖 9 天吃完時(shí),其中 天吃 2 塊其余 8 每天吃 共有 9 種法10 糖 10 天完時(shí)每 天吃 1 塊有 種吃法512-9-1=502,以 塊糖 天或 8 天之內(nèi)吃完,共有 502 種法【答案】 502【固有 粒每至吃粒吃為共多種同吃？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【析 初看題似乎覺得很好入手比可以按天數(shù)進(jìn)行分類枚: 吃完的有 1 種法這吃 10 ；2 天完的有 9 種法,；當(dāng)枚舉到 天吃完的時(shí)情就有點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜,叫人無所適從所以我們必須一種角度來思考 不妨從具體的例子入手來分析,如這 10 塊分 4 天完第 1 天吃 2 塊第 天吃 塊第 3 吃 1 塊第 天吃 4 塊我們可

15、以將 10 eq oac(,“)代 10 粒把 個(gè) eq oac(,“)排一排, eq oac(,“)之共 個(gè)位若鄰兩塊糖是分在兩 天吃的就在其間畫一條豎線如下圖| eq oac(,)| 比如上圖就表示第 1 天 塊；第 2 天 ；第 天吃 塊第 天 4 這樣一每一種吃糖的方法就對應(yīng)著一在 9 個(gè)位中插入若干個(gè)|的方法要求有多少個(gè)不同的 吃法就是要求在這 個(gè)空位中插入若干“的法數(shù)由于每個(gè)空位都有畫|與不兩可能:每個(gè)空位都有畫“|”與不畫“”兩種可能根據(jù)乘法原理,在這 個(gè)位中畫若干“的方法數(shù)有: 這也就說明吃完 顆糖共有 512 種同的吃法 【答案】 97-5-4.組合之插板法.題庫教師版pag

16、e 4 52 2 2 【 7 馬路有號 1 , 10 的十只路 為約電能清面可把中三燈掉,但又 不同關(guān)相的只在兩的也能掉情下求滿條的燈法多種2 2 2 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 10 燈關(guān)掉 只,實(shí)際上還亮 只燈 而要求不關(guān)掉兩端的燈和相鄰的燈 題可以轉(zhuǎn)化為在 只著的路燈之間的 6 個(gè)檔中放入 只滅的, 【答案】 203620 種法【固 學(xué)新建一道上 12 盞燈,為節(jié)用而不響常照 可以滅中 盞 但端燈能滅也能滅鄰的 2 盞,么熄的法有少？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度3 星 【題型】解答【解析】 要熄的是除兩端以外 盞,不相鄰以看成有 0 盞,共有 空位,這 9 個(gè)位

17、中找 個(gè)空位的方法數(shù)就是熄滅 盞的方法,么熄燈的方法數(shù)有 9【答案】 369 36 (種【 8 在四數(shù)各數(shù)之是 4 的四數(shù)多？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 設(shè)四位數(shù)為 ,照題意,們有 A 但對 A 、 B 、 、 D 要求不,因?yàn)檫@是 一個(gè)四位數(shù),以應(yīng)當(dāng)有 A 而他三個(gè)字母都可以等于 0,樣就不能使用我們之前的插板法, 因此我們考慮將 B 、C 、 D 加上 這 B C 、 D 都少是 1,且這個(gè)時(shí)候它們的和為 4 即問題變成如下表達(dá):一個(gè)各位數(shù)字不為 0 的位數(shù)它的各位數(shù)字之和為 這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？采用插板法,有 6 個(gè),要插入 個(gè)可知這樣的四位有 C 個(gè)3620

18、個(gè),應(yīng)著原四位數(shù)也應(yīng)該有 【答案】 20【固大 2000 小于 3000 的位中字等于 9 的數(shù)有少？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 大 小 的位數(shù)首位數(shù)字只能為 所后三位數(shù)字之和為 后位數(shù)字都有可能為 0, 為使用隔板先將它們變成至少為 的可以將每個(gè)數(shù)都加上 這樣它們的和為 且個(gè)數(shù)都至少為 1,么采用隔板,相當(dāng)于在 9 個(gè)隔中選擇 2 個(gè)入隔板, C9位數(shù)有 36 個(gè)36 種法所以滿足題意的四【答案】 36【 9 兔媽摘 個(gè)相的菇分在 個(gè)相的子 ,果允有筐共多種同裝 法如分在 3 個(gè)不的筐里不允有筐又有少不的法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法 【度4 星 【型】解答【解析 裝在 個(gè)相同的筐子里,兩不同的裝法意味著這兩種裝法中 3 個(gè)子里的蘑菇數(shù)量不完全相 同可以進(jìn)行分類討:果每個(gè)筐至少有 個(gè), 1 種情況；果每個(gè)筐至少有 4 個(gè)則相當(dāng)于把 1 蘑菇分裝在 筐子,且至少有 1 個(gè)子是空 的否則沒有筐子是空,將與中的情況相同,(和0,1,2