大學高等數(shù)學-15二重積分概念-二重積分計算-三重積分

1、章一元函數(shù)積分學多元函數(shù)積分學重積分曲線積分曲面積分重積分三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例 二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計算 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二重積分的概念與性質(zhì) 第九章 解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點

2、小曲頂柱體機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4)“取極限”令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 平面薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計算該薄片的質(zhì)量 M .度為設D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 兩個問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結構式相同“大化小, 常代變,

3、 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃 記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù)

4、 ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、二重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別, 由于則5. 若在D上6. 設D 的面積為 ,則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 7.(二重積分的中值定理)證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使使連續(xù),因此機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例1. 比較下列積分的大小:其中解: 積分域 D 的邊界為圓周它與 x

5、 軸交于點 (1,0) ,而域 D 位從而于直線的上方, 故在 D 上 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例2. 判斷積分的正負號.解: 分積分域為則原式 =猜想結果為負 但不好估計 .舍去此項機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例3. 估計下列積分之值解: D 的面積為由于積分性質(zhì)5即: 1.96 I 2D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 8. 設函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當區(qū)域關于 y 軸對稱, 函數(shù)關于變量 x 有奇偶性時, 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關于x 軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分, 則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、曲頂柱體體積的計

6、算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例4. 求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.解: 設兩個直圓柱方程為利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內(nèi)容小結1. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 被積函數(shù)相同, 且非負, 思考與練習解: 由它們的積分域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關系:機動 目錄 上頁

7、下頁 返回 結束 2. 設D 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序為 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 計算解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 證明:其中D 為解: 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有又 D 的面積為 1 , 故結論成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)備用題1. 估計 的值, 其中 D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值的最小值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 判斷的正負.解：當時，故又當

8、時，于是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二重積分的計算法 第九章 一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時, 由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.則有(2) 若積分域較復雜,可將它分成若

9、干X-型域或Y-型域 , 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例1. 計算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例2. 計算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,及直線則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例3. 計算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :先對 x 積分不行, 說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例4. 交換下列積分順序解

10、: 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例5. 計算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對應有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設則特別, 對機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若 f 1 則可求得D 的面積思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答: 問 的變化范圍是什么?(1)(2)機動 目錄 上頁 下頁 返

11、回 結束 例6. 計算其中解: 在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角由于故坐標計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上, 當D 為 R2 時,利用例6的結果, 得故式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例7. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設由對稱性可知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定積分換元法*三、二重積分換元法 滿足一階導數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3) 變換則定理:變換:是一一對應的 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可

12、逆. 用平行于坐標軸的 直線分割區(qū)域 任取其中一個小矩形, 其頂點為通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊形, 其對應頂點為則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同理得當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式: 例如, 直角坐標轉化為極坐標時, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例8. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成的閉域. 解: 令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例9. 計算由所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解: 令則機動 目錄 上頁 下頁

13、 返回 結束 例10. 試計算橢球體解: 由對稱性令則D 的原象為的體積V.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內(nèi)容小結(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為則 若積分區(qū)域為則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則(2) 一般換元公式且則極坐標系情形: 若積分區(qū)域為在變換下機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3) 計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應用換元公式機動 目錄 上頁 下頁 返回

14、結束 思考與練習1. 設且求提示:交換積分順序后, x , y互換機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 交換積分順序提示: 積分域如圖機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解：原式備用題1. 給定改變積分的次序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 計算其中D 為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.機動 目錄 上頁 下頁 返回

15、結束 第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三重積分 第九章 一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用引例: 設在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義. 設存在,稱為體積元素, 若對 作任意分割: 任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì): 例如 下列“乘中值定理.在有界閉域 上連續(xù),則存在使得V 為 的體積, 積和式” 極限記作機動 目錄 上頁

16、 下頁 返回 結束 二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次積分法 先假設連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 該物體的質(zhì)量為細長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 方法2. 截面法 (“先二后一”)為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 投影法方法3.

17、三次積分法設區(qū)域利用投影法結果 ,把二重積分化成二次積分即得:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當被積函數(shù)在積分域上變號時, 因為均為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 小結: 三重積分的計算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”方法3. “三次積分”具體計算時應根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中 為三個坐標例1. 計算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例2. 計算三重積分解: 用“先二后一 ” 機動 目錄 上頁 下

18、頁 返回 結束 2. 利用柱坐標計算三重積分 就稱為點M 的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如圖所示, 在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中為由例3. 計算三重積分所圍解: 在柱面坐標系下及平面柱面成半圓柱體.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例4. 計算三重積分解: 在柱面坐標系下所圍成 .與平面其中由拋物面原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 利用球坐標計算三重積分 就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系坐標面分別為球面半平面錐面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如圖所示, 在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例5. 計算三重積分解: 在球面坐標系下所圍立體.其中