大學(xué)高等數(shù)學(xué)-15二重積分概念-二重積分計(jì)算-三重積分

1、章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線(xiàn)積分曲面積分重積分三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例 二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的概念與性質(zhì) 第九章 解法: 類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線(xiàn) , 母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)“大化小”用任意曲線(xiàn)網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)

2、小曲頂柱體機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4)“取極限”令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線(xiàn)網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1) 解決問(wèn)題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變,

3、 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線(xiàn)來(lái)劃 記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線(xiàn)外都連續(xù)

4、 ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、二重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別, 由于則5. 若在D上6. 設(shè)D 的面積為 ,則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7.(二重積分的中值定理)證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 比較下列積分的大小:其中解: 積分域 D 的邊界為圓周它與 x

5、 軸交于點(diǎn) (1,0) ,而域 D 位從而于直線(xiàn)的上方, 故在 D 上 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 判斷積分的正負(fù)號(hào).解: 分積分域?yàn)閯t原式 =猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 估計(jì)下列積分之值解: D 的面積為由于積分性質(zhì)5即: 1.96 I 2D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8. 設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng), 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng),則則有類(lèi)似結(jié)果.在第一象限部分, 則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、曲頂柱體體積的計(jì)

6、算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱(chēng)性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)解: 由它們的積分域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

7、下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序?yàn)?( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 證明:其中D 為解: 利用題中 x , y 位置的對(duì)稱(chēng)性, 有又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)備用題1. 估計(jì) 的值, 其中 D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值的最小值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 判斷的正負(fù).解：當(dāng)時(shí)，故又當(dāng)

8、時(shí)，于是機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 *三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的計(jì)算法 第九章 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí), 由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若

9、干X-型域或Y-型域 , 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 計(jì)算其中D 是直線(xiàn) y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 計(jì)算其中D 是拋物線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線(xiàn)則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 計(jì)算其中D 是直線(xiàn) 所圍成的閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :先對(duì) x 積分不行, 說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 交換下列積分順序解

10、: 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5. 計(jì)算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線(xiàn) =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)則特別, 對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若 f 1 則可求得D 的面積思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試答: 問(wèn) 的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

11、回 結(jié)束 例6. 計(jì)算其中解: 在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上, 當(dāng)D 為 R2 時(shí),利用例6的結(jié)果, 得故式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例7. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對(duì)稱(chēng)性可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分換元法*三、二重積分換元法 滿(mǎn)足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3) 變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可

12、逆. 用平行于坐標(biāo)軸的 直線(xiàn)分割區(qū)域 任取其中一個(gè)小矩形, 其頂點(diǎn)為通過(guò)變換T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊形, 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理得當(dāng)h, k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: 例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí), 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例8. 計(jì)算其中D 是 x 軸 y 軸和直線(xiàn)所圍成的閉域. 解: 令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例9. 計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解: 令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

13、 返回 結(jié)束 例10. 試計(jì)算橢球體解: 由對(duì)稱(chēng)性令則D 的原象為的體積V.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)閯t 若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則(2) 一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫(huà)出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫(xiě)出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線(xiàn)被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線(xiàn), 后掃積分域 )充分利用對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

14、結(jié)束 思考與練習(xí)1. 設(shè)且求提示:交換積分順序后, x , y互換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 交換積分順序提示: 積分域如圖機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解：原式備用題1. 給定改變積分的次序.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 計(jì)算其中D 為由圓所圍成的及直線(xiàn)解：平面閉區(qū)域.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

15、結(jié)束 第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三重積分 第九章 一、三重積分的概念 類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義. 設(shè)存在,稱(chēng)為體積元素, 若對(duì) 作任意分割: 任意取點(diǎn)則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì): 例如 下列“乘中值定理.在有界閉域 上連續(xù),則存在使得V 為 的體積, 積和式” 極限記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

16、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、三重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次積分法 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為微元線(xiàn)密度記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法2. 截面法 (“先二后一”)為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 投影法方法3.

17、三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí), 因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”方法3. “三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中 為三個(gè)坐標(biāo)例1. 計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 計(jì)算三重積分解: 用“先二后一 ” 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

18、頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱(chēng)為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中為由例3. 計(jì)算三重積分所圍解: 在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 計(jì)算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面其中由拋物面原式 =機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱(chēng)為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5. 計(jì)算三重積分解: 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中