2022-2023年高中物理競(jìng)賽 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 電勢(shì)課件

1、一、靜電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)1單個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng) 在點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中,電場(chǎng)力將試探電荷q從a點(diǎn)沿某一路徑移到b點(diǎn). 在路徑上取一無(wú)限小位移（稱為元位移）,其上場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向可視為不變.在此元位移上,電場(chǎng)力對(duì)q所做的元功為Qq r1r2ba由圖可知： 電場(chǎng)力所做的總功為 在點(diǎn)電荷Q的電場(chǎng)中,電場(chǎng)力對(duì)試探電荷所做的功與連接起點(diǎn)、終點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān),只依賴于試探電荷的大小和起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置.即靜電力是保守力(conservative force). 2任意帶電體所產(chǎn)生的電場(chǎng) 將試探電荷沿任意路徑L從a移到b時(shí),電場(chǎng)力所做的總功為（用疊加原理） 上式中每一項(xiàng)都與路徑無(wú)關(guān),故各項(xiàng)之和（總功）也與路徑無(wú)關(guān)

2、,只與試探電荷大小和始末位置有關(guān). 試探電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí),電場(chǎng)力所做的功,只與試探電荷電荷量的大小以及路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān),而與路徑無(wú)關(guān).這是靜電場(chǎng)的一個(gè)重要性質(zhì),叫做有勢(shì)性,具有這種性質(zhì)的場(chǎng)叫做勢(shì)場(chǎng)（或稱位場(chǎng),也稱保守場(chǎng)）.因此靜電場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)（位場(chǎng)或保守場(chǎng)）,靜電力是保守力. 二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 1. 靜電場(chǎng)中一閉合曲線L,a、b兩點(diǎn)將L分成兩部分,電場(chǎng)力將試探電荷q沿l1和l2從a點(diǎn)移到b點(diǎn)時(shí),電場(chǎng)力所做的功相等,即 結(jié)論abqcl2dl1令 ,則有 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 靜場(chǎng)強(qiáng)沿任一閉合曲線的環(huán)路積分為零. 靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)沿任何閉合環(huán)路的線積分為零.習(xí)慣上稱為場(chǎng)強(qiáng)沿任一閉合環(huán)路的

3、環(huán)流等于零,這是靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)之一,它反映了靜電場(chǎng)是一個(gè)保守力場(chǎng)(conservative force field). 必須指出:此式僅在靜電場(chǎng)的情況下才是正確的,對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的電場(chǎng) ,此式是不成立的.2. 用環(huán)路定理證明電場(chǎng)線的性質(zhì)2 用反證法.設(shè)某條電場(chǎng)線構(gòu)成了閉合曲線,沿此閉合曲線（電場(chǎng)線）計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的線積分得 這與環(huán)路定理矛盾,所以電場(chǎng)線不能構(gòu)成閉合曲線. 三、電勢(shì)和電勢(shì)差 靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)（或有勢(shì)場(chǎng)）.與靜電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的勢(shì)能稱為電勢(shì)能（electric potential energy）. 電荷在電場(chǎng)中一定位置處,具有一定的電勢(shì)能,把電場(chǎng)力對(duì)試探電荷q0所做的功作為電勢(shì)能改變的量度,即靜電力

4、所做的功等于系統(tǒng)電勢(shì)能增量的負(fù)值或電勢(shì)能的減少. 1電勢(shì)能令靜電力做負(fù)功系統(tǒng)電勢(shì)能增加. 靜電力做正功系統(tǒng)電勢(shì)能減少. 通常將試探電荷 q0在無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)能取為零,并作為電勢(shì)能的參考點(diǎn),即取 ,則有 即電荷 q0在電場(chǎng)中某點(diǎn) a 處的電勢(shì)能等于將 q0從a點(diǎn)處移到參考點(diǎn)（或無(wú)限遠(yuǎn)）時(shí)靜電力所做的功. （1）電勢(shì)能是屬于一定系統(tǒng)的.（2）電勢(shì)能不僅與電場(chǎng)有關(guān)還與試探電荷有關(guān). 2電勢(shì)說(shuō)明 （與P、P0、q有關(guān)） 令q=+1,且P0點(diǎn)選作參考點(diǎn)固定下來(lái)（如可選P0點(diǎn)在“無(wú)窮遠(yuǎn)處”）,A就只與P點(diǎn)有關(guān),說(shuō)明此功A反映了靜電場(chǎng)中P點(diǎn)的性質(zhì). 電場(chǎng)力做功 3、電勢(shì)差 靜電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)電勢(shì)的差值,稱為電

5、勢(shì)差或電壓（electric potential difference ） 定義：?jiǎn)挝徽姾蓮腜點(diǎn)移到參考點(diǎn)P0時(shí),電場(chǎng)力所做的功,稱為P點(diǎn)的電勢(shì)（或電位）,記作V,表達(dá)式為 上式是電勢(shì)的定義式,也是電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系,它說(shuō)明一點(diǎn)的電勢(shì)與整個(gè)積分路徑上的場(chǎng)強(qiáng)均有關(guān). 電勢(shì)是標(biāo)量點(diǎn)函數(shù),參考點(diǎn)確定后,場(chǎng)中每一點(diǎn)都有確定的電勢(shì)值,而參考點(diǎn)的電勢(shì)顯然是零. 如對(duì)場(chǎng)中A、B兩點(diǎn)有 靜電場(chǎng)中A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差,在數(shù)值上等于單位正電荷在電場(chǎng)中從A點(diǎn)經(jīng)過(guò)任意路徑到達(dá)B點(diǎn)時(shí),電場(chǎng)力所做的功. 點(diǎn)電荷q在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),電場(chǎng)力所做的功 說(shuō)明（1）電勢(shì)是描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量.電勢(shì)由電場(chǎng)確定,而電勢(shì)差由電場(chǎng)完全確定

6、.（2）電勢(shì)、電勢(shì)差的區(qū)別：電勢(shì)是一標(biāo)量點(diǎn)函數(shù),電勢(shì)差是標(biāo)量,但不是點(diǎn)函數(shù)；電勢(shì)與參考點(diǎn)的位置有關(guān),而電勢(shì)差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān). （3）電勢(shì)差是絕對(duì)的,與電勢(shì)零點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)；電勢(shì)大小是相對(duì)的,與電勢(shì)零點(diǎn)的選擇有關(guān).電勢(shì)參考點(diǎn)的選取原則上說(shuō)是任意的,但必須保證在參考點(diǎn)選定之后,計(jì)算出的電勢(shì)值是確定的,有限的.參考點(diǎn)的電勢(shì)值也可取為非零的任意有限值. 電勢(shì)零點(diǎn)選擇方法：（4）電勢(shì)具有疊加性 幾個(gè)點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)a產(chǎn)生的電勢(shì)等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和. 場(chǎng)源電荷分布在有限區(qū)域內(nèi),選無(wú)限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn),且 電荷分布在無(wú)限遠(yuǎn)處,參考點(diǎn)選在有限區(qū)域,一般選在無(wú)限長(zhǎng)帶電線上,無(wú)限長(zhǎng)圓柱面上或

7、軸線上. 實(shí)際應(yīng)用中,常把大地或儀器機(jī)殼選為電勢(shì)參考點(diǎn),并令其電勢(shì)為零.如“接地” 幾個(gè)點(diǎn)電荷在某點(diǎn)P的電勢(shì)等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)的電勢(shì)的代數(shù)和. （5）電勢(shì)沿電場(chǎng)線方向不斷減小 而沿電場(chǎng)線方向,永遠(yuǎn)有 VAVB 對(duì)場(chǎng)中某點(diǎn)P,如有幾個(gè)電荷在此激發(fā)電場(chǎng),則AB四、電勢(shì)的計(jì)算1點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電勢(shì) PQ選參考點(diǎn)：P0在無(wú)限遠(yuǎn)處,且令選路徑：靜電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),只與P和P0 點(diǎn)的位置有關(guān),所以選矢徑直線為積分路徑. 從點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電勢(shì)公式出發(fā),利用電勢(shì)的疊加原理求解. （1）點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電勢(shì) 求點(diǎn)電荷Q的電場(chǎng)中距Q為r處的P點(diǎn)的電勢(shì). （已知q、,求V） （已知,求V） 點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生

8、的電場(chǎng)中電勢(shì)的分布公式為 在點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中,以Q為球心,以r為半徑的球面上各點(diǎn)電勢(shì)是相等的. （2）點(diǎn)電荷系(組）的電場(chǎng)中的電勢(shì) （3）任意帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)中的電勢(shì) 參考點(diǎn)為 2、場(chǎng)強(qiáng)積分法 注意：選好參考點(diǎn)； 在整個(gè)積分路徑上,場(chǎng)強(qiáng)要已知,若各的分布函數(shù)不同,應(yīng)分段積分. 段上【例1補(bǔ)充】求均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P的電勢(shì).圓環(huán)半徑為R,所帶電荷總量為q.電荷線密度為 ,參考點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn). 解：電荷元dq在圓環(huán)軸線上P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)dqxxPqRO 因參考點(diǎn)選在無(wú)限遠(yuǎn)處,所以用第1種方法求解. 整個(gè)帶電圓環(huán)產(chǎn)生在P點(diǎn)的電勢(shì) 當(dāng)P點(diǎn)位于軸線上相當(dāng)遠(yuǎn)處,即xR 當(dāng)x=0時(shí)（待求點(diǎn)P位于環(huán)心）

9、（電勢(shì)最高點(diǎn)在環(huán)心處）例2（P33例1）：求帶電圓盤(pán)軸線上任一點(diǎn)的電勢(shì). PxxO解：取寬度為dr的某一帶電圓環(huán),則dq在軸線上任一點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為整個(gè)圓盤(pán)的電場(chǎng)中P點(diǎn)的電勢(shì)為 方法一用第2種方法求解 參考點(diǎn)：無(wú)限遠(yuǎn) 積分路徑：選圓盤(pán)軸線 【例3(P34例2)】電荷q均勻分布于半徑為R的球面上,求球面內(nèi)外的電勢(shì)分布. 解：由高斯定理求得球面內(nèi)外電場(chǎng)的分布 P1 O R 球面外距球心r處的P1點(diǎn)的電勢(shì)（參考點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn),積分路徑沿徑向） 球內(nèi)P2 點(diǎn)的電勢(shì) 上式說(shuō)明球內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)相同,且等于球面處的電勢(shì). RrP2OURrORrO球面電勢(shì)分布 注意：求電勢(shì)時(shí)究竟利用哪種方法應(yīng)視問(wèn)題而定,沒(méi)有絕對(duì)的含義.已知電荷分布,容易求出各個(gè)點(diǎn)電荷或電荷元在場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)時(shí),用方法1；容易求出場(chǎng)強(qiáng)時(shí)用方法2. 解：建立如圖所示坐標(biāo)系,空間各區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度為 選x=0處為