考研高等數(shù)學(xué)全面復(fù)習(xí)資料(電子版)

1、1、集合的概念A(yù)BbAAAAA+RABABABABABBAABBAABABABABBAABAAABABBAABABABABABABABABABABAAAAAAAAABB)ABABAB3BBAABABAB2、常量與變量區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，a，baxb（a，b）axb（a，b或a，b）a，+)：表示不小于(-，b)：表示小于(-，+)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-x+0.滿足不等式x-2、函數(shù)函數(shù)。注：,它們是可以a)：b)：c)：r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：3、函數(shù)的簡單性態(tài)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是在區(qū)間

2、(a,b)內(nèi)隨著在區(qū)間(a,b)內(nèi)是，則ll4、反函數(shù)上確定，且嚴(yán)格增(減).在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在.若我們不在此要求下嚴(yán)格增(減).5、復(fù)合函數(shù)(-,+)中的任何6、初等函數(shù)(1,0)點(diǎn)域內(nèi)單調(diào)增.(正弦函數(shù))(反正弦函數(shù))們此函數(shù)值限制在-/2,/2上,7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(diǎn)(0,1)；a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線是奇函數(shù)，cosxa)：反雙曲正弦函數(shù)b)：反雙曲余弦函數(shù)c)：反雙

3、曲正切函數(shù)其定義域?yàn)椋?-,+)；其定義域?yàn)椋?-1,+1)；8、數(shù)列的極限注：我們也可以把數(shù)列；依次循下去(一般把內(nèi)接正)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)(讀作趨近于無窮大)上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。nN鄰域即開區(qū)間(a-，a+)，如下圖所示：nN間(a-，a+)內(nèi)，而只有有限個(至多只有M，使得一切1，-1，1，-1，(-1)9、函數(shù)的極限若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大

4、；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適x，所對應(yīng)的函數(shù)值0，N，對于x，都滿足A，記：b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.有多接近.或說：只，就一定可以找到一個，當(dāng)A，如果對任意給定的，當(dāng)0 xxA，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的A，其證明方法是怎樣的呢a):先任取0；b):寫出不等式c):解不等式能否得出去心鄰域0d):則對于任給的0，總能找出010、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則僅從左側(cè)(xx)趨近.記：僅從右側(cè)(xx)趨近.記：x，x點(diǎn)本身可以除外

5、(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有x=-2t，因?yàn)榈臄?shù))，總可找到正數(shù)(一個任意大N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M(不論它多么小)，總存在正數(shù)(或正數(shù)M)，使得對(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式(或(或0.無窮大量與無窮小量是互(或(或a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；窮小量的積也是無窮小量.a)：如果b)：如果c)：如果1.求axaxbxbx2.求eqoac(,x)eqoac(,增量)eqoac(,x)eqoac(,x)eqoac(,y)連續(xù)點(diǎn).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在點(diǎn)右連續(xù)，ba，b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為a)：

6、b)：c)：1：2：與+13：第二類間斷點(diǎn).a)：有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)；在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)a，即：.而函數(shù).即：一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明)處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間0，2上其它各點(diǎn)出的函之間，則在a，b間一定有一個：設(shè)一質(zhì)點(diǎn).若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動的則這就是在在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量在區(qū)間(a,b)對于

7、區(qū)間(a,b)注：u、v：已知在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!正確嗎?,則,它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間，或.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做=a，故我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y=sinx，F(xiàn)(x,y)=0，求a)：若方程F(x,y)=0，能化為b)：若方程F(x,y)=0，不能化為x0，求解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)eqoac(,0)x，面積為A，則eqoac(,0)dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：u，根據(jù)微分形式不變性，則公

8、式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.1.025(精確值為可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，c，使在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且c，使在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且c，使我們?nèi)菀字?，對于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用商的極限等于極限的商這個法則來羅彼塔(LHospital)xa(或的某個去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)xN)時，這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式

9、的方法，就是所謂的羅彼塔(LHospital)注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當(dāng)我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).a)：如果在(a,b)內(nèi)b)：如果在(a,b)內(nèi)0，那末函數(shù)0，那末函數(shù)在a,b上單調(diào)增加；在a,b上單調(diào)減少.的增減區(qū)間.0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,)；0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-,0)；左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點(diǎn)x=1的.因此存在著點(diǎn)的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點(diǎn)也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢？

10、是(a,b)內(nèi)一點(diǎn).0，當(dāng)0，點(diǎn)取極大值。0，當(dāng)0，點(diǎn)取極小值。a)：求b)：求c)：判斷時，x=-2、1、-4/5則：a)：當(dāng)b)：當(dāng)0，函數(shù)0，函數(shù)c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來判定.0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)；0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)。產(chǎn)品最多、用料最省、成本最低等。，在區(qū)間-3，3/2的最大值、最小值。在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：若在(a,b)內(nèi)，若在(a,b)內(nèi)，在a,b對應(yīng)的曲線是下凹的；在a,b對應(yīng)的曲線是上凹的；0，在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定(1)：求(2)：令=0，解出此方程在區(qū)

11、間(a,b)內(nèi)實(shí)根；=0，得F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有dF(x)=f(x)dx，F(xiàn)(x)為函數(shù)例：sinxF(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，即：F(x)=f(x)，f(x)的原函數(shù)，f(x)的不定積分，F(xiàn)(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末Fg(x)是即有換元公式:cos2x=cosu，du=2dx，因此：fg(t)g(t)具有原函數(shù)f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）x=asint

12、(-/2t/2)，那末，dx=acostdt,于是有：(uv)=uv+uv，移項(xiàng)，得uv=(uv)-uv，對其兩邊求不定積分得：這就是分部積分公式u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：dv，否則就會南轅北轍。選取有理函數(shù)是指兩個多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項(xiàng)的次數(shù)大于分母最高項(xiàng)的次數(shù)時稱之為假分式，反之為真分式。u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我+1，dx=2udu，從而所求積分為：x=a、x=b果把區(qū)間a,b分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點(diǎn)的高來近似代替同一個小區(qū)間上的窄曲變顯然：把區(qū)間a,b分的越細(xì)，所求出的

13、面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干個分點(diǎn)把區(qū)間a,b分成，上任取一點(diǎn)I，f(x)在區(qū)間a,b上的f(x)滿足什么條件時才可積？（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。（2）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間a,b上，f(x)g(x)，則m(b-a)M(b-a)性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)注：此性質(zhì)就是定積分中值定理f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，

14、并且設(shè)為a,b上的一點(diǎn).現(xiàn)在我們來考察f(x)在部分區(qū)間a,x上,我們知道f(x)在a,x上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。定理(1)：f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在a,b上具有導(dǎo)數(shù)，(2)：f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在a,b上的一個定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間牛頓-萊布尼茲公式定理(3)：F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，則此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。例題：求解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：通常也把牛頓-萊布尼茲公式稱作微積分基本公

15、式。f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間m,n上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)m,n上變化時，x=g(t)的值在a,b上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:例題:計(jì)算解答:設(shè)dx=acostdt,且當(dāng)例題：計(jì)算解答：設(shè)時，t=1.由前面的換元公式得：dt,則積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是廣義積分。類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-，b上連續(xù)，取f(x)在無窮區(qū)間(-，b上的廣義積分，(-,+)上的廣義積分，f(x)在無窮區(qū)間f(x)在(a,b上連續(xù)，而.取f(x)在(a,b上的廣義積分，收斂.取f(x)在a,b上除點(diǎn)c(ac

16、b)外連續(xù)，而.如果兩個廣義積分發(fā)散。O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以(縱軸)、(豎軸)；統(tǒng)稱.通常把軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住zx,y,z.這組數(shù)x=0；同樣，zOx面上的點(diǎn)，y=0；如果點(diǎn)y=z=0；如果x=y=z=0，等。)為空間兩點(diǎn)，為了用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表達(dá)它們間的距離A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形ABC.記作.通過原點(diǎn)作一與其平行且同向的有向線段.將.其中是空間的任意兩條直線，它們可能相交，也可能不相交.通過原點(diǎn).則線段的一組方向數(shù)為A,B,CA的方向數(shù)為3，-4，8，求通過點(diǎn)(2,1,-4)且垂直于直線1、通過原點(diǎn)2、

17、平行于坐標(biāo)軸3、通過坐標(biāo)軸Ax+Cz=0，Ax+By=0.4、垂直于坐標(biāo)軸x、y、zAx+D=0，By+D=0，Cz+D=0.任一給定的直線都有著確定的方位.但是,具有某一確定方位的直線可以有無窮多條,它們的方向數(shù)為l,m,n，又知個動點(diǎn)或一條動曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運(yùn)動而產(chǎn)生的軌跡。1、柱面2、旋轉(zhuǎn)面C，繞著同一平面內(nèi)的一條直線稱為自變量，函數(shù)稱為函數(shù)的定義域。我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個或幾個區(qū)間.二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的連通的部分平面.這樣的部分在平面稱為區(qū)域.圍成區(qū)域的曲線稱M，則稱為有界區(qū)域；z=f(x,y)的D；再過M(x,y)作垂

18、直于MP,使其值為與(x,y)對應(yīng)z；的幾何圖形.它通常是一張曲A，f(x,y)當(dāng)(x,y)(,)時的極限。二重極限。-f(x,y)跟一個確定的常數(shù)的一切(x,y)都使不等式f(x,y)當(dāng)(x,y)(,)時的如果當(dāng)（x,y)(,)時，f(x,y)A，g(x,y)B.那末(1)：f(x,y)g(x,y)AB；(2)：f(x,y)B；(3)：f(x,y)/g(x,y)A/B；其中如果當(dāng)點(diǎn)(x,y)趨向點(diǎn)(x)時，函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(diǎn)(x)處的函數(shù)值f(x,y)在點(diǎn)(x)處連續(xù).如果連續(xù)。z=f(x,y)在(x)不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x)是點(diǎn)。它除了有間斷點(diǎn)，還有

19、間斷線。二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零）和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù))沿不f(x,y)的變化快慢一般說來時不同的，因此就需要研究)點(diǎn)在這里我們只學(xué)習(xí)(x,y)沿著平行于f(x,y)的變化率。)是其定義域z=f(x,y)有增量(稱為對的偏增量)eqoac(,x)eqoac(,0)x)-f(xeqoac(,x)的偏導(dǎo)數(shù)。)或z=f(x,y)在(x)在,讓z=(x,y)在(x的偏導(dǎo)數(shù).)或z=f(x,y)在(x)的兩個偏導(dǎo)數(shù))與)都存在時，f(x,y)在(x)處可導(dǎo)。如果函數(shù)f(x,y)在域可導(dǎo)。的每一點(diǎn)(x,y)，必有一個對y)的偏導(dǎo)函數(shù)。簡稱偏導(dǎo)數(shù)。(x,y)與z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

20、二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個：fxx，fxy，fyx，fyy.次序無關(guān)。的二階偏導(dǎo)數(shù).z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)eqoac(,y)(x,y)分別與自變量的增量eqoac(,y)z=f(x,y)在(x,y)處(關(guān)于x,y)的eqoac(,x)eqoac(,y)eqoac(,y)時的無窮小)變到eqoac(,0)eqoac(,0)變到點(diǎn)(xeqoac(,0)y)，再變到點(diǎn)(xeqoac(,0)(x,y)連續(xù)，那末可微。那末,復(fù)合函數(shù)均在(x,y)處可導(dǎo),函數(shù)z=F(u,v)在對應(yīng)的(u,v)處有連續(xù)的一在(x,y)處可導(dǎo),且有鏈導(dǎo)公式：z=f(u,v)和兩個一元函數(shù)的一元函數(shù).此時的鏈導(dǎo)公式為:,

21、稱為v，u=cosx，v=sinx，求)的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)(x,y)恒有等式：)處取得)；如果恒有等式：)處取得.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)(x)稱為二元可導(dǎo)函數(shù)在(x)取得極值的條件是：的點(diǎn)(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的.可導(dǎo)函數(shù)的極值z=f(x,y)在(x)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).如果f(x,y)在(x)取得極值的條件如下表所示：A0A0,則，得駐點(diǎn)(1,1),(0,0).,故6=-270，A=60在點(diǎn)(1,1)取得極小值,故在點(diǎn)(0,0)不取得極值.a)：b)：c)：最小的問題.但是z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系:,-x+,-yb)：求駐點(diǎn)在所給平面上

22、,故c)：結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值且這個最小值就是極小值.而函數(shù)僅有唯一的駐點(diǎn).所以，平面上與原點(diǎn)距離最短的點(diǎn)為下的最小值.一個多元函數(shù)在一個或幾個約束條件下的極值稱為(1)把區(qū)域()任意劃分成eqoac(,k)(k=1,2,3,n）,其面積記作(2)在每一個子域(eqoac(,k)上任取一點(diǎn)(3)把所有這些乘積相加,即作出和數(shù)(4)記子域的最大直徑d.如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取,上述和數(shù)當(dāng)極限存在,那末稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域()上的.記作:f(x,y)稱為對于二重積分的定義,我們并沒有的限.容易看出,當(dāng)z=f(x,y)為曲頂，以()為底且母線平行于f(x,y)在積分區(qū)域(

23、)上連續(xù)，那末二重積分(1).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去.(2).有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和.(3).如果把積分區(qū)域()分成兩個子域()與(),那末:(4).如果在()上有f(x,y)g(x,y),那末:(5).設(shè)f(x,y)在閉域()上連續(xù),則在()上至少存在一點(diǎn)(,),使是區(qū)域()的面積.軸(或軸)方向的正規(guī)區(qū)域.如果()即是沿軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末()就稱為正規(guī)區(qū)域.下圖所示的即為正規(guī)區(qū)域:關(guān)于累次積分上下限的取法如下所述:(x)，積分上限是上部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)(y)，積分上限是右部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)軸方向的正規(guī)區(qū)域,也不是沿軸方向的正

24、規(guī)區(qū)域,那末總可以把它化分成幾塊沿如果二重積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域()的邊界方程均由極坐標(biāo)的形式給出,那末我們?nèi)绾斡?jì)算呢?下面我們給出極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算公式.(),則積分公式如下:=R(),02,則積分公式如下:,則積分公式如下:二重積分的被積函數(shù)是一個二元函數(shù)，它的積分域是平面區(qū)域.如果考慮三元函數(shù)f(x,y,z)在一空間區(qū)域(V)上的積分，就可得到三重積分的概念。u=f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域(V)任意劃分成eqoac(,1)eqoac(,2)eqoac(,3)在域(V)上的,記作：，其中(V)是由平面所圍成的區(qū)域.軸所圍成的三角區(qū)域.積分限,在()固定點(diǎn)(x,y),通過此點(diǎn)作

25、一條平行于的直線,它與(V)上下點(diǎn)的豎坐標(biāo)：z=0z=1-x-y，這就是對可以用極坐標(biāo)(,)來確定,因此空間中的點(diǎn)可用數(shù)組(,z)來表示.顯然，空間的點(diǎn)數(shù)組(,z)之間的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)關(guān)系,數(shù)組(,z)稱為空間點(diǎn).它與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：=常數(shù)：與已知一條曲線過點(diǎn)(1,2)，且在該直線上任意點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率為y=y(x)，我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知y=y(x)應(yīng)滿足方程：來確定任意常數(shù)以從一般解得出一個特解的附加條件的個數(shù)也與微分方程的階數(shù)相同.，其中，p,q有關(guān).它對y而言是一次的，故被稱之為c，使它能滿足非齊次微分方程。因此：c=x(x+1)1.右端僅含的方程：y=f(x)2.右端不顯含的方程：y=f(x,y)3.右端不顯含的方程：y=f(y,y)y=p，將由第一個方程解得：y=C;pII.如果1.特征方程有兩個不等的實(shí)根的情形2.特征方程有重根的情形的通解為:.于是方程3.特征方程有共軛復(fù)根的情形1.對照方程2.求出特征方程的兩個根：3.根據(jù)的求解方法.由前面我們知f(x)具有下列特殊情形時，來給出求其特解的公式：（1）：（2）：級數(shù).記作：的通項(xiàng).取級數(shù)最前的一項(xiàng)，兩項(xiàng)，n，S項(xiàng)的