【精編匯總版】特征矢量概論合集

1、【精編匯總版】特征矢量概論合集】14/14【精編匯總版】特征矢量概論合集特征矢量概論目錄1定義2例廣OO 2.2其他例子3特征值方程4譜定理5矩陣的特征值和特征矢量o 5.1盤算矩陣的特征值和杼征矢量5.1.1方式盤算5.1.2數(shù)值計(jì).算o 5.2性質(zhì)521代數(shù)重次522 普通矩陣分化定理523特征值的一些此外的屬性o 5.3共惋持征矢景o 54廣義特征值成就o 5.5系數(shù)為環(huán)中元素6無窮維空間7應(yīng)用o 7薛定譚方程o 7.2分f軌域o 7.3因子剖析o 7.4振動(dòng)剖析o 7.5特征臉o 7.6慣性張吊:o 7.7應(yīng)力張量o 7.8圖的特征値8注釋9參考起原10參考冊(cè)本11外部鏈接在數(shù)學(xué)上,出

2、格是線性代數(shù)中,對(duì)于一個(gè)給定的線性變卦,它的 特征矢量（本征矢量或稱正規(guī)正交矢量）是這樣一個(gè)非零的矢量 匕當(dāng)P顛末這個(gè)線性變卦皿的作用之后，得到的新矢量（長(zhǎng)度 概略改動(dòng)）仍然與本來的P保持在同一條直線上。一個(gè)特征矢 量的長(zhǎng)度在該線性變卦下縮放的比例稱為其特征值（本征值）. 如果特征值為正，則表格模板示V在顛末線性變卦的作用后偏向也不 變；如果特征值為負(fù)，剖析偏向會(huì)反轉(zhuǎn)；如果特征值為0,則是 表格模板示縮回零點(diǎn)。但非論怎樣，仍在同一條直線上。圖1給出了一 個(gè)以出名油畫蒙娜麗莎為題材的例子。在肯定前提下（如建 陣方式為實(shí)對(duì)稱矩陣的線性變卦）,一個(gè)變卦可以由其特征值和 特征矢量完全表格模板述。一個(gè)特

3、征空間是不異特征值的特征矢量的集 查，可以表格模板明該鳩合是一個(gè)線性子空間。這些概念在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多局限中都有重要的應(yīng)用。在 線性代數(shù)和泛函剖析之外,甚至在一些非線性的情況下,這些概 念都是非常重要的，“特征” 一詞來自德造的eigen,由希爾伯特在1904年起首在 這個(gè)意義下使用（亥爾姆霍爾茲在更早的時(shí)候也在類似意義下使 用過這一概念）。eigen一詞可翻譯為“本身的”，“特定于. 的”，“有特征的”概略“個(gè)體的”一這夸張了特征值對(duì)于定義 特定的變卦被認(rèn)為是很重要的。殳”編纂定義參見：特征平面給定一個(gè)矢量空間,從到本身的線性變卦是一個(gè)保持矢量加法和 標(biāo)量乘法的函數(shù),比如扭轉(zhuǎn)、反射、拉

4、伸壓縮,概略這些變卦的 組合等等卬。一個(gè)線性變卦可以通過它們?cè)谌チ可系淖饔脕砜梢?化。普通來說，一個(gè)矢量在顛末映射之后可以釀成任何概略的矢 量，而特征矢量具有更好的性質(zhì)一個(gè)線性變卦的特征矢量P是在這個(gè)線性變卦下龐大地乘以一 個(gè)標(biāo)量入的非零矢量皿久 也就是說人滿足：其中的縮放因子稱為這個(gè)特征矢量的特征值，概略說是線性變卦 的特征值.反過來，一個(gè)實(shí)數(shù)人是線性變卦的一個(gè)特征值，當(dāng)且 僅當(dāng)有一個(gè)非零矢量。滿足上面的式子m及。所有具有不異的特征值入的特征矢量和零矢量一起，組成了一個(gè) 矢量空間,稱為線性變卦的一個(gè)特征空間，普通記作巴 這個(gè)特 征空間如果是有限維的，那么它的維數(shù)叫做人的多少重次。變卦的主特征

5、矢量是對(duì)應(yīng)特征值最大的特征矢量應(yīng)。有限維矢量 空間上的一個(gè)變卦的譜是其所有特征值的鳩合2特征矢量也可以看做是關(guān)于系數(shù)人的方程：的非零解。顯然只有在人是變卦的特征值之時(shí)，方程才有非零解8編纂例子編纂線性變卦最龐大的例子是恒等變卦的特征矢量。由于對(duì)所有的非零矢量 匕所以所有的非零矢量都是恒等變卦的特征矢量，對(duì)應(yīng)著特征值 1。恒等變卦的特征空間只有一個(gè)，就是整個(gè)空間，對(duì)應(yīng)著特征 值1。類似地，數(shù)乘變卦的特征矢量也是所有非零矢量，因?yàn)?按照定義，對(duì)所有的非零矢量K,如果一個(gè)變卦可以寫成對(duì)角矩陣，那么它的特征值就是它對(duì)角線 上的元素，而特征矢量就是相應(yīng)的基。比如矩陣：的特征值就是2和4。2對(duì)應(yīng)的特征矢量

6、是所有形同（a, & 0）7的 非零矢量，而4對(duì)應(yīng)的特征矢量是所有形同（0, 0, c）的非零矢 量。2對(duì)應(yīng)的特征空間是一個(gè)2維空間，而4對(duì)應(yīng)的特征空間是 一個(gè)1維空間。矩陣的譜是。對(duì)于更龐大的矩陣，特征矢量和特征值就不是顯然的了。右圖中 的例子是一個(gè)二維平面上的一個(gè)錯(cuò)切變卦，其矩陣可以表格模板示為：的特征矢量，按照定義，是在變卦的作用下會(huì)得到本身的多少倍 的非零矢量。假設(shè)在的作用下釀成了本身的人倍，也就是在等式兩邊的左側(cè)乘以單元矩陣/,得到因此憑證線性方程組理論,為了使這個(gè)方程有非零解，佚巨陣的彳亍列式 必需是零：按照行列式的展開定義，上面式子的左端是一個(gè)關(guān)于人的多項(xiàng) 式，稱為特征多項(xiàng)式。這

7、個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)只和有關(guān)。在這個(gè)例子 中，可以盤算這個(gè)特征多項(xiàng)式：在這種情況下特征多項(xiàng)式的方程釀成（1 一入）2 = 0。它的獨(dú)一 的解是：入=1。這就是矩陣的特征值。找到特征值入=1后，便可以找出的非零解，也就是特征矢量了。在例子中：將入=1代入，就有解這個(gè)新矩陣方程，得到的解如下方式的矢量:這里的C是任意非零常量。因此，矩陣的特征矢量就是所有豎 直偏向的矢量（比如圖中赤色箭頭代表格模板的矢量）。普通來說，2x2的非奇異矩陣有兩個(gè)相異的特征值,因此有兩 個(gè)差異的特征矢量。而多數(shù)矢量的長(zhǎng)度和偏向二者都市被矩陣所 改動(dòng)，特征矢量只改動(dòng)它們的長(zhǎng)度，并不改動(dòng)它們的偏向，除了 概略有通過原點(diǎn)的翻轉(zhuǎn)。還有

8、，特征值是不為1的某個(gè)數(shù)是常見 情況，所以特征矢量將被這個(gè)矩陣?yán)?、擠壓或翻轉(zhuǎn)。編纂其他例子隨著地球的自轉(zhuǎn)，每個(gè)從地心往外指的箭頭都在扭轉(zhuǎn)，除了在轉(zhuǎn) 軸上的那些箭頭?？紤]地球在一小時(shí)自轉(zhuǎn)后的變卦：地心指向地 理南極的箭頭是這個(gè)變卦的一個(gè)特征矢量，可是從地心指向赤道 任何一處的箭頭不會(huì)是一個(gè)特征矢量。因?yàn)橹赶蝽旤c(diǎn)的箭頭沒有 被地球的自轉(zhuǎn)拉伸，它的特征值是L另一個(gè)例子是，薄金屬板關(guān)于一個(gè)固定點(diǎn)平均伸展，使得板上每 一個(gè)點(diǎn)到該固定點(diǎn)的距離翻倍，這個(gè)伸展是一個(gè)有特征值2的變 換。從該固定點(diǎn)到板上任何一點(diǎn)的矢量是一個(gè)特征矢量，而相應(yīng) 的特征空間是所有這些矢量的鳩合.圖2.一個(gè)兩端固定的繩子上的駐遺可以視

9、為特征矢量的一個(gè)例 子，更精確的講，它是一個(gè)絕對(duì)于時(shí)間流逝的變卦的特征函數(shù)。 隨著時(shí)間流逝，駐波被縮放,可是它的形狀不變。在這個(gè)例子中， 特征值是依賴于時(shí)間的。可是，三維多少空間不是獨(dú)一的矢量空間。比如，考慮兩端固定 的拉緊的繩子，就像弦樂器的振動(dòng)弦那樣（圖2. ） .振動(dòng)弦的 原子到它們?cè)谙异o止時(shí)的地位之間的帶標(biāo)志那些距離視為一個(gè) 空間中的一個(gè)矢量的殳量，那個(gè)空間的維數(shù)就是弦上原壬的個(gè) 數(shù)。如果考慮繩子隨著時(shí)間流逝發(fā)作的變卦，它的特征矢量，概略說 特征函數(shù)（如果將繩子假設(shè)為一個(gè)持續(xù)前言）,就是它的駐波一 也就是那些通過空氣的傳布讓人們聽到弓弦和吉他的撥動(dòng)聲的 振動(dòng)。駐波對(duì)應(yīng)于弦的特定振動(dòng)，它

10、們使得弦的形狀隨著時(shí)間變 化而伸縮一個(gè)因子（特征值）。和弦相關(guān)的該矢量的每個(gè)份量乘 上了一個(gè)依賴于時(shí)間的因子。駐波的振幅（特征值）在考慮到國(guó) 星的情況下逐漸減弱。因此可以將每個(gè)特征矢量對(duì)應(yīng)于一個(gè)麥 金，并將特征矢量的概念和共攝的概念聯(lián)系起來。編纂特征值方程從數(shù)學(xué)上看，如果矢量v與變卦滿足則稱矢量V是變卦的一個(gè)特征矢量，入是相應(yīng)的特征值。其中是 將變卦作用于V得到的矢量。假設(shè)是一個(gè)線性變卦,那么V可以由其地址矢量空間的一組基表格模板 示為：其中匕是矢量在基矢量上的投影（即坐標(biāo)），這里假設(shè)矢量空 間為刀縫。由此，可以直接以坐標(biāo)矢量表格模板示。操作基矢量，線 性變卦也可以用一個(gè)龐大的矩陣乘法表格模板

11、示。上述的特征值方程可 以表格模板示為：可是，偶然候用矩陣方式寫下特征值方程是不自然甚或不成能 的。比如在矢量空間是無窮維的時(shí)候，上述的弦的情況就是一例。 取決于變卦和它所作用的空間的性質(zhì),偶然將特征值方程表格模板示為 一組微分方程更好。若是一個(gè)微分算子,其特征矢量凡是稱為該 微分算子的特征函數(shù)。比如，微分本身是一個(gè)線性變卦因?yàn)椋ㄈ?川和”是可微函數(shù),而a和力是常數(shù)）考慮對(duì)于時(shí)間的微分。其特征函數(shù)滿足如下特征值方程：其中a是該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的特征值。這樣一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，如果入 =o,它就不變，如果人為正，它就按比例增長(zhǎng)，如果人是負(fù)的，它就按比例衰減。比如，理想化的兔子的總數(shù)在兔子更多的地方 繁衍更

12、快，從而滿足一個(gè)正入的特征值方程。該特征值方程的解是力=exp （入）,也即扌旨數(shù)函數(shù);這樣，該 函數(shù)是微分算子d/dt的特征值為A的特征函數(shù)。若A是一個(gè)負(fù) 數(shù)，我們稱小的演釀成一個(gè)指數(shù)衰減;若它是負(fù)數(shù)，則稱指數(shù)增 達(dá)。入的值可以是一個(gè)任意單數(shù)。因此d/次的譜是整個(gè)復(fù)平面。 在這個(gè)例子中，算子d/力作用的空間是單變量可微函數(shù)的空間。 該空間有無窮維（因?yàn)椴皇敲恳粋€(gè)可微函數(shù)都可以用有限的基西 數(shù)的線性組合來表格模板達(dá)的）?？墒牵總€(gè)特征值；I所對(duì)應(yīng)的特征空 間是一維的。它就是所有形為力=%exp（人力的函數(shù)的鳩合。No 是任意常數(shù)，也就在=4的初始數(shù)量。編纂譜定理更多材料：譜定理譜定理在有限維的

13、情況，將所有可對(duì)角化的矩陣作了分類：它顯 示一個(gè)矩陣是可對(duì)角化的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)正端方陣。注意這 包括自共朝（厄爾米特）的情況。這很有用，因?yàn)閷?duì)角化矩陣T 的函數(shù)f（T）（比如波萊爾函數(shù)f）的概念是分明的。在采用更一 般的矩陣的函數(shù)的時(shí)候譜定理的作用就更分明了。比如，若f 是剖析的，則它的方式森級(jí)數(shù)，若用T代替x,可以看做在矩陣的巴拿赫空間中絕對(duì)收斂。譜定理也答允方便地定義正駐的唯一的平方根。譜定理可以推廣到希爾伯特空間上的有界正規(guī)算子，概略無界直 共朝算子的情況。編纂矩陣的特征值和特征矢量編纂盤算矩陣的特征值和特征矢量假設(shè)我們想要盤算給定矩陣的特征值。若矩陣很小，我們可以用 特征多項(xiàng)式舉行

14、標(biāo)志演算。可是，對(duì)于大型矩陣這凡是是不成行 的，在那種情況我們必需采用數(shù)值方式.編纂方式盤算更多材料：矩陣特征值的標(biāo)志演算描述正方形矩陣的特征值的重要器材是特征多項(xiàng)式:就如之前的 例子一樣，說久是/的特征值等價(jià)于說線性系統(tǒng)（4- AI） v =0 （其中/是單元矩陣）有非零解。（一個(gè)特征矢量），因此等 價(jià)于說行列式:函數(shù):是一個(gè)關(guān)于久的多項(xiàng)式,稱為力的特征多項(xiàng)式。矩陣的特 征值也就是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)。求一個(gè)矩陣A的特征值可以通 過求解方程.（入）=0來得到，若/是一個(gè) X”矩陣，則4為刀次多項(xiàng)式，因而力最多有刀個(gè) 特征值。反過來，如果總的系數(shù)是在一個(gè)代數(shù)閉域里面（比如 說復(fù)教域），那么代數(shù)基

15、本定理剖析這個(gè)方程恰恰有刀個(gè)根（如 果重根也盤算在內(nèi)的話）。所有奇數(shù)次的多項(xiàng)式必有一個(gè)實(shí)數(shù)根, 因此當(dāng)n為奇數(shù)的時(shí)候，每個(gè)n維實(shí)系數(shù)矩陣至少有一個(gè)實(shí)數(shù)特 征值。當(dāng)矩陣系數(shù)是實(shí)數(shù)的時(shí)候，非實(shí)數(shù)的特征值會(huì)成共輒對(duì)出 現(xiàn)e一旦找到特征值入，相應(yīng)的特征矢量便可以通過求解如下方程得 到：實(shí)系數(shù)的矩陣不用定有實(shí)數(shù)特征值。比如對(duì)于以下的矩陣（表格模板示 二維平面上的順時(shí)針90。的一個(gè)旋變化卦）：其特征多項(xiàng)式是入2 + 1,因此其特征值成復(fù)共軻對(duì)泛起，分辯 是/和-工而沒有實(shí)數(shù)特征值。相應(yīng)的特征矢量也是非實(shí)數(shù)的。編纂數(shù)值盤算更多材料：特征值算法在實(shí)踐中，大型矩陣的特征值無法通過特征多項(xiàng)式盤算。盤算該 多項(xiàng)式本

16、身相當(dāng)費(fèi)資源，而根的精確表格模板達(dá)式對(duì)于高次的多項(xiàng)式來 說很難盤算和表格模板達(dá)：阿貝爾-魯菲尼定理浮現(xiàn)五次或更高次的多 項(xiàng)式的根無法用力次方根來龐大表格模板達(dá)。對(duì)于估算多項(xiàng)式的根的有效算法是有的，但特征值中的龐大偏向可以導(dǎo)致特征矢量的龐大 偏向。因此，尋找特征多項(xiàng)式和特征值的普通算法，是迭代法。 最龐大的方式是賽法:取一個(gè)隨機(jī)矢量匕然后盤算如下的一系 列單元矢量這個(gè)莊到幾乎總是收斂于最大絕對(duì)值的特征值所對(duì)應(yīng)的特征矢 量。這個(gè)算法很龐大，可是本身不是很有用?？墒牵驫R算法 這樣的算法恰是以此為底子的3編纂性質(zhì)編纂代數(shù)重次A的一個(gè)特征值人的代數(shù)重?cái)?shù)是人作為力的特征多項(xiàng)式的根的次 數(shù)；換句話說，若

17、r是一個(gè)該多項(xiàng)式的根，它是一次多項(xiàng)式因子 (A -r)在特征多項(xiàng)式中在因式分化后中泛起的次數(shù)。如果將 代數(shù)重次盤算在內(nèi)的話，一個(gè)“X /?矩陣有刀個(gè)特征值，因?yàn)槠?特征多項(xiàng)式次數(shù)為九一個(gè)代數(shù)重次1的特征值為“單特征值”.在關(guān)于矩陣?yán)碚摰臈l目中,概略會(huì)碰著如下的表格模板示方式：“一個(gè)矩陣A的特征值為4, 4, 3, 3, 3,2,2, 1,表格模板示4的代數(shù)重次為二，3的是三，2的是二，而1的是L這 樣寫是因?yàn)榇鷶?shù)重次對(duì)于矩陣?yán)碚撝械暮芏鄶?shù)生迴很重要而 被多量使用。和代數(shù)重?cái)?shù)絕對(duì)的是特征值的多少重?cái)?shù)：特征值絕對(duì)應(yīng)的特征空 間（也就是入1 4的零空間）的維數(shù)。代數(shù)重次也可以視為 一種維數(shù)：它是相應(yīng)

18、廣義特征空間的維數(shù)，也就是當(dāng)自然數(shù)k 富足大的時(shí)候矩陣（入I - /） ”的零空間。也就是說，它是所 有“廣義特征矢量”組成的空間，其中一個(gè)廣義特征矢量是任何 一個(gè)如果入I 力作用持續(xù)作用富足多次就“最終”會(huì)變。的 矢量。任何特征矢量都是一個(gè)廣義特征矢量，以此任一個(gè)特征空 間都被包含于相應(yīng)的廣義特征空間。這給了 一個(gè)多少重次總是小 于代數(shù)重次的龐大證明。比如：它只有一個(gè)特征值，也就是入=1。其特征多項(xiàng)式是（入-1） 所以這個(gè)特征值代數(shù)重次為2?？墒?，相應(yīng)特征空間是凡是稱為 *軸的數(shù)軸，由矢量線性生成,所以多少重次只是1。廣義特征矢量可以用于盤算一個(gè)矩陣的若爾當(dāng)尺度型（參看下面 的討論）。若爾當(dāng)

19、塊凡是不是對(duì)角化而是養(yǎng)塞的這個(gè)究竟與特征 矢量和廣義特征矢量之間的差異直接相關(guān)。編纂普通矩陣分化定理如上所述，譜定理表格模板明正方形矩陣可以對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)它是正規(guī) 的。對(duì)于更普通的未必正規(guī)的矩陣，我們有類似的成果。當(dāng)然在 普通的情況，有些要求必需放松，比如西等價(jià)性概略最終的矩陣 的對(duì)角性。所有這些成果在肯定程度上操作了特征值和特征矢 量。下面列出了一些這樣的成果：.舒爾三角方式表格模板明任何矩陣酉等價(jià)于一個(gè)上三角矩陣;奇異值分化定理,4 = P .其中為對(duì)角陣，而厶V為 酉矩陣，力=廣的對(duì)角線上的元素非負(fù)，而正的項(xiàng)稱 為A的奇異值。這對(duì)非正方形矩陣也成立；若爾當(dāng)尺度型,其中力=-其中A不是對(duì)角

20、陣，但 是分塊對(duì)角陣，而是酉矩陣。若爾當(dāng)塊的巨細(xì)和個(gè)數(shù)由 特征值的多少和代數(shù)重次抉擇。若爾當(dāng)分化是一個(gè)基本的 成果。從它可以當(dāng)即得到一個(gè)正方形矩陣可以完全用它的 特征值包括重次來表格模板述，最多只會(huì)相差一個(gè)酉等價(jià).這表格模板 示數(shù)學(xué)上特征值在矩陣的研究中有著極端重要的作用。.作為若爾當(dāng)分化的直接成果，一個(gè)矩陣/I可以“獨(dú)一”地 寫作4=S +及其中S可以對(duì)角化，”是第零的（也即， 對(duì)于某個(gè),，川=0）,而S和“可交換（S=嶺）。任何可逆矩陣/可以獨(dú)一地寫作4 = S/,其中S可對(duì)角化 而丿是么森矩陣（也即，使得特征多項(xiàng)式是（A-1）的賽, 而S和/可交換）。編纂特征值的一些此外的屬性譜在相似變

21、卦下不變:矩陣A和84戶有不異的特征值，這對(duì)任何 矩陣力和任何可逆矩陣 產(chǎn)都成立。譜在轉(zhuǎn)置之下也不變:矩陣力 和d有不異的特征值。因?yàn)橛邢蘧S空間上的線性變卦是巡射當(dāng)且僅當(dāng)它是里射，一個(gè)矩 陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)所有特征值都不是仇若爾當(dāng)分化的一些更多的成果如下：.一個(gè)矩陣是對(duì)角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)代數(shù)和多少重次對(duì)于所有特 征值都相等。出格的有，一個(gè)口 0 for all vectors v) 的所有監(jiān)征值是負(fù)數(shù)；所有斜埃爾米特矩陣(力=一寸)的特征值是純虛數(shù)；.所有酉矩陣(J1 = 4)的特征值絕對(duì)值為1;假設(shè)力是一個(gè)頂乂刀矩陣，其中加刀，而8是一個(gè)m矩陣。 則陰有和不異的特征值加上n 加個(gè)等于0的特征值。每個(gè)

22、矩陣可以被賦予一個(gè)算子范數(shù)。算子范數(shù)是其特征值的模的 上確界，因而也是它的譜半徑。該范數(shù)直接和盤算最大模的特征 值的寮法直接相關(guān)。當(dāng)一個(gè)矩陣是正規(guī)的，其算子范數(shù)是其特征 值的最大模，而且獨(dú)立于其定義域的范數(shù)。編纂共輒特征矢量一個(gè)共純特征矢量概略說共特征矢量是一個(gè)在變卦下成為其共 朝乘以一個(gè)標(biāo)量的矢量，其中那個(gè)標(biāo)量稱為該線性變卦的共輒特 征值概略說共特征值。共純特征變量和共純特征值代表格模板了和常規(guī) 特征矢量和特征值不異的信息和含義，可是在交替坐標(biāo)系統(tǒng)被使 用的時(shí)候泛起.對(duì)應(yīng)的方程是：比如，在相干電磁散射理論中，線性變卦/I代表格模板散射物體施行的 作用，而特征矢量表格模板示電磁波的極化狀態(tài)。在

23、光學(xué)中,坐標(biāo)系統(tǒng) 按照波的概念定義，稱為前向散射對(duì)齊(FSA),從而導(dǎo)致了常規(guī)的特征值方程，而在雷達(dá)中,坐標(biāo)系統(tǒng)按照雷達(dá)的概念定義, 稱為后向散射對(duì)齊（BSA）,從而給出了共輒特征值方程0編纂廣義特征值成就一個(gè)廣義特征值成就（第二種意義）有如下方式其中4和為矩陣。其廣義特征值（第二種意義）入可以通過 求解如下方程得到形如/一入8的矩陣的鳩合，其中人是一個(gè)單數(shù)，稱為一個(gè)“鉛 筆”。若8可逆，則最初的成就可以寫作如下方式也即尺度的特征值成就?？墒?，在很多情況下施行逆操作是不成 取的，而廣義特征值成就該當(dāng)如同其原始表格模板述來求解。如果力和冃是實(shí)系數(shù)的對(duì)稱矩陣，則特征值為實(shí)數(shù)。這在上面的 第二種等價(jià)

24、表格模板述中并不分明，因?yàn)榫仃?一力未必是對(duì)稱的。這里的一個(gè)例子是份子軌道應(yīng)用如下。編纂系數(shù)為環(huán)中元素在方矩陣4其系數(shù)屬于一個(gè)坯:的情況，入稱為一個(gè)右特征值如 果存在一個(gè)列矢量片使得力產(chǎn)入概略稱為一個(gè)左特征值如果 存在非零行矢量j使得川入。若環(huán)是可交換的,左特征值和右特征值相等，并簡(jiǎn)稱為特征值。否則，比如當(dāng)環(huán)是里無遨鳩合的時(shí)候，它們概略是差異的。編纂無窮維空間若矢量空間是無窮維的，特征值的概念可以推廣到遵的概念.譜 是標(biāo)量入的鳩合，對(duì)于這些標(biāo)量，沒有定義，也就是說它們使得 沒有有界逆。很分明，如果才是T的特征值，入位于T的譜內(nèi)。普通來講，反 過來并不成立。在希爾伯特空間概略巴拿赫空間上有一些算

25、子完 全沒有特征矢量。這可以從下面的例子中看到，在希爾伯特空 間（所有標(biāo)量級(jí)數(shù)的空間，每個(gè)級(jí)數(shù)使得收斂）上的雙向平移沒有 特征矢量卻有譜值。在無窮維空間，有界算子的譜系總是非空的,這對(duì)無界自共輾算 壬也成立。通過查驗(yàn)譜測(cè)度,任何有界或無界的自共朝算子的譜 可以分化為絕對(duì)持續(xù),離散,和孤立部份。指數(shù)增長(zhǎng)概略衰減是 持續(xù)譜的例子，而振動(dòng)弦駐波是離散譜例子,氫原子是兩種譜都 有泛起的例子。氫原子的叢縛態(tài)對(duì)應(yīng)于譜的離散部份,而離子化 狀態(tài)用持續(xù)譜表格模板示.編纂應(yīng)用編纂薛定謗方程圖3、電子的概率密度繪圖,橫向展示差異的角量子數(shù),豎向展 示差異的能級(jí)（n）。叢縛于氫原子內(nèi)的電子的波函數(shù)可以視為 氫原子的

26、哈密頓算子的特征矢量，同時(shí)也是角動(dòng)量算子的一個(gè)特 征矢量。它們對(duì)應(yīng)于能級(jí)（遞增:3一 .）和角動(dòng)量（遞增: s, a &.）的特征值。這里繪出了波函數(shù)絕對(duì)值的平方。更亮 地域?qū)?yīng)于地位的量子測(cè)量的更高概率密度。位于每幅圖的中心 是原子核,是一個(gè)質(zhì)子主條目：薛定謗方程在量子力學(xué)中,不含時(shí)薛定謗方程是一個(gè)以微分算子代表格模板的變卦 的特征值方程，可以描述一個(gè)粒子的量子舉動(dòng)：其中，是哈密頓算子,一個(gè)二階微分算子,是描述粒子的量子行 為的波函數(shù),對(duì)應(yīng)于特征值的特征函數(shù)，該值可以評(píng)釋為粒子的 能量。假設(shè)，我們只想尋找薛定謗方程的叢縛態(tài)（bound state）解，那 么，可以在平方可積函數(shù)的空間中尋找。

27、由于這個(gè)空間是希爾伯 特空間,有一個(gè)定義良好的標(biāo)量積,我們可以引入一個(gè)基鳩合, 然后表格模板示和為一個(gè)一維數(shù)組和一個(gè)矩陣。這樣，我們可以用矩陣 方式表格模板達(dá)薛定諾方程。（圖3表格模板示氫鹿壬哈密頓算子的最低能級(jí) 特征函數(shù)。）狄拉克標(biāo)志常常在這個(gè)上下文中使用，以夸張量子態(tài)的態(tài)矢量和 它表格模板示于地位空間的波函數(shù)之間的差異。采用狄拉克標(biāo)志，薛定 謗方程寫為并稱是的一個(gè)本征態(tài)（偶然候在入門級(jí)課本中寫作）,是一個(gè)自伴 算子（參看可察看量）.在上述方程中，懂得為通過作用于得到 的一個(gè)新的態(tài)矢量。編纂份子軌域在量子力學(xué)中,出格是在原子物理和份子物理中,在Hartree-Fock理論下,原子軌域和份子軌

28、域可以定義為Fock算 壬的特征矢量,相應(yīng)的特征值通過Koopmans定理可以評(píng)釋為曳 離勢(shì)能。在這個(gè)情況下，特征矢量一詞可以用于更普及的意義， 因?yàn)镕ock算子顯式地依賴于就道和它們地特征值。如果必要強(qiáng) 調(diào)這個(gè)特點(diǎn)，不以稱它為隱特征值方程.這樣地方程凡是采用送 代步驟求解，在這個(gè)情況下稱為自洽場(chǎng)方式。在量子化學(xué)中,經(jīng) 常會(huì)把Hartree-Fock方程通過非正交基鳩合來表格模板達(dá)。這個(gè)特定 地表格模板達(dá)是一個(gè)廣義特征值成就稱為Roothaan方程。編纂因子剖析在因素剖析中,一個(gè)協(xié)方差矩陣的特征矢量對(duì)應(yīng)于因素,而特征 值是因素負(fù)載。因素剖析是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)技術(shù),用于社會(huì)科學(xué)和市 場(chǎng)剖析、產(chǎn)物管理、運(yùn)籌現(xiàn)劃和其他措置方案多量數(shù)據(jù)的應(yīng)用科學(xué).其方針是用稱為因素的多量的不成觀測(cè)隨機(jī)變量來評(píng)釋在一些 可觀測(cè)隨機(jī)變量中的變卦。可觀測(cè)隨機(jī)變量用因素的線性組合來 建模，再加上“殘差項(xiàng)。編纂振動(dòng)剖析懸臂梁的幾種振動(dòng)模態(tài)在對(duì)于多自由度機(jī)械布局作振動(dòng)剖析時(shí),常常會(huì)碰著特征值問 題。顛末仔細(xì)剖析