控制工程基礎(chǔ)第二章數(shù)學(xué)模型

1、控制工程基礎(chǔ)第二章數(shù)學(xué)模型第1頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三控制工程基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與系統(tǒng)性能之間的內(nèi)在關(guān)系。作用：數(shù)學(xué)模型是設(shè)計和分析控制系統(tǒng)的依據(jù)。顯然，建立正確、合理的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵性的步驟。數(shù)學(xué)模型可分為兩大類：外部模型和內(nèi)部模型。外部模型也稱為輸入輸出模型。它著眼于系統(tǒng)激勵與響應(yīng)的關(guān)系，并不涉及系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況。因而，這種方法對于單輸入、單輸出系統(tǒng)較為方便。一般而言，描述線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，對連續(xù)系統(tǒng)是用常系數(shù)線性微分方程來描述，對離散系統(tǒng)是用常系數(shù)線性差分方

2、程來描述。內(nèi)部模型也稱為狀態(tài)變量描述法。它不僅可以給出系統(tǒng)的響應(yīng)，還可提供系統(tǒng)內(nèi)部各變量的情況，特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)。用這種方法建立的數(shù)學(xué)式為一階微分方程組形式，便于計算機求解。狀態(tài)變量分析法還適用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，已成為系統(tǒng)理論與現(xiàn)代控制工程的基礎(chǔ)。建?；痉椒ǎ航馕龇ê蛯嶒灧?。第2頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三數(shù)學(xué)模型的形式微分方程（組）傳遞函數(shù)（陣）頻率特性L變換L反變換s=j時間響應(yīng)變量狀態(tài)圖方框圖，信號流圖Nyquist圖，Bode圖等現(xiàn)代控制理論第3頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.1系統(tǒng)運動微分方程的建立（1）明確

3、輸入、輸出；分析信號傳遞、變換過程；（2）從輸入端開始，按信息傳遞、變換過程列寫各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；注意：因果關(guān)系和負(fù)載效應(yīng)；（3）如有必要，對非線性表達(dá)式進行線性化處理；（4）消去中間變量，得到輸出輸入關(guān)系式；（5）整理成規(guī)范形式。 二 步驟：一 依據(jù)：反映系統(tǒng)內(nèi)在運動規(guī)律的物理學(xué)定律和各專業(yè)理論第4頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 舉例1：機械平移動力學(xué)系統(tǒng) 在輸入fi(t)力的作用下，質(zhì)量塊m將有加速度，從而產(chǎn)生速度和位移。質(zhì)量塊的速度、位移使阻尼器和彈簧產(chǎn)生粘性阻尼力fc(t)和彈性力fk(t)。這兩個力反作用于質(zhì)量塊，影響輸入fi(t) 的作用效果，從而使

4、質(zhì)量塊的速度和位移發(fā)生變化，產(chǎn)生動態(tài)過程。 彈簧和質(zhì)量在靜止平衡時的那一點為系統(tǒng)的平衡工作點。這樣的坐標(biāo)系原點選擇消除了重力的影響。 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為外作用力fi(t)，輸出量為質(zhì)量塊的位移xo(t)，現(xiàn)研究外力fi(t)與位移xo(t)之間的關(guān)系。三 舉例第5頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 機械平移動力學(xué)系統(tǒng)的模型 方塊圖描述了系統(tǒng)中信號轉(zhuǎn)換、傳遞的過程，給出了系統(tǒng)的工作原理。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用方塊圖表示：根據(jù)牛頓第二定律，應(yīng)有由阻尼器、彈簧的特性，可寫出消去中間變量，寫成規(guī)范形式此式為二階常系數(shù)線性微分方程。第6頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星

5、期三 舉例2：電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 設(shè)輸入端電壓ui(t)為系統(tǒng)輸入量。電容器c兩端電壓uo(t)為系統(tǒng)輸出量?，F(xiàn)研究輸入電壓ui(t)和輸出電壓 uo(t)之間的關(guān)系。電路中的電流i(t)為中間變量。根據(jù)電壓方程，可寫出 消去中間變量i(t)，稍加整理，即得 上式為二階常系數(shù)線性微分方程。該系統(tǒng)也可用方塊圖表示。第7頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 小結(jié)： 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型。這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)的方程中，處于相同位置的物理量稱為相似量。從動態(tài)性能來看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似，若方程系數(shù)等值則響

6、應(yīng)完全一樣。這樣就可以用電系統(tǒng)來模擬其它系統(tǒng)，進行實驗研究。這就是控制理論中的功能模擬方法的基礎(chǔ)。 同一數(shù)學(xué)模型可以描述物理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)。因此，從控制理論來說，可拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行普遍意義的分析研究，這就是信息方法，從信息在系統(tǒng)中傳遞、轉(zhuǎn)換的方面來研究系統(tǒng)的功能。四 小結(jié)第8頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 小結(jié)： 在通常情況下，元件或系統(tǒng)的微分方程的階次，等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元的個數(shù)。慣性質(zhì)量、彈性要素、電感和電容都是儲能元件。每當(dāng)系統(tǒng)中增加一個儲能元時，其內(nèi)部就增多一層能量交換，即增多一層信息的交換，描述系統(tǒng)的微分方程將增高一階。

7、描述系統(tǒng)運動的微分方程的系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其組合，這就說明系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。第9頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三五 系統(tǒng)運動微分方程的一般形式 特征方程的根稱為特征根，他們是系統(tǒng)系數(shù)的組合。N階系統(tǒng)有n個特征根。特征根只能是0、實數(shù)、復(fù)數(shù)（必共扼成對出現(xiàn)）。系統(tǒng)特征根決定了系統(tǒng)的性能!注意：根據(jù)運動微分方程可以判斷系統(tǒng)的類型。設(shè)y(t)為系統(tǒng)輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則有是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的常數(shù)。齊次方程為特征方程為第10頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三六 建立動態(tài)方程時應(yīng)注意的問題 變量形式的選取

8、問題系統(tǒng)在某一平衡點工作，變量偏離平衡點的偏離量很小，一般只研究系統(tǒng)在平衡點附近的動態(tài)特性。因此，總是選擇平衡工作點作為坐標(biāo)系原點，變量采用增量形式。其優(yōu)點是系統(tǒng)的初始條件為零，便于求解方程，便于非線性方程進行線性化處理。 負(fù)載效應(yīng)問題由于后一環(huán)節(jié)的存在，前一環(huán)節(jié)的輸出受到影響，有如加上了一個負(fù)載對前一環(huán)節(jié)產(chǎn)生影響，這種影響稱為負(fù)載效應(yīng)。例如，無源網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗對前級的影響，齒輪系對電機轉(zhuǎn)動慣量的影響等。第11頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 實際物理元件和系統(tǒng)都是非線性的。非線性特性分為本質(zhì)非線性和非本質(zhì)非線性。如繼電器特性、死區(qū)、不靈敏區(qū)、滯環(huán)、傳動間隙等都是本質(zhì)非線

9、性。在一定條件下，為了簡化數(shù)學(xué)模型，可以忽略它們的影響，將它們視為線性元件。 對于具有連續(xù)變化的非線性特性，可以采用切線法或小偏差法進行線性化處理。所謂線性化就是在一定范圍內(nèi)，用線性方程代替非線性方程的近似處理過程。從幾何上看，所謂線性化就是用直線代替曲線。數(shù)學(xué)處理方法就是將曲線方程在平衡點處取泰勒級數(shù)一次近似式。 非線性模型的線性化問題第12頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三線性系統(tǒng)的疊加原理(Principle of Superposition) 線性系統(tǒng)的線性性質(zhì)：均勻性、疊加性 用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則稱為線性定常系統(tǒng)；如果

10、方程的系數(shù)不是常數(shù)，而是時間的函數(shù)，則稱為線性時變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)是可以應(yīng)用疊加原理。疊加原理有兩重含義：均勻性（齊次性）和可疊加性。這個原理是說，多個輸入同時作用于線性系統(tǒng)的總響應(yīng)，等于各個輸入單獨作用時分別產(chǎn)生的響應(yīng)之和，且輸入增大若干倍時，其輸出亦增大同樣的倍數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號的微分和積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)的微分和積分。第13頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.2 拉普拉斯變換 (Laplace Transformation) 建立描述系統(tǒng)動態(tài)性能的運動微分方程之后，給定輸入，解這個方程，得到它的全解，即可知道系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，從而知道系統(tǒng)在給定

11、輸入作用下的運動規(guī)律，即性能。問題在于，用一般微分方程理論求解高階微分方程是相當(dāng)困難的。人類的思路就是變換研究領(lǐng)域，借助其他方法。拉普拉斯變換是一種數(shù)學(xué)工具，它可將時域中的微積分運算轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域中的代數(shù)運算。第14頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三一 拉氏變換的定義拉氏變換的實質(zhì)時間函數(shù)復(fù)變量s的復(fù)變函數(shù)拉氏變換的定義第15頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三二 典型函數(shù)的拉氏變換 指數(shù)函數(shù) 工程中極其重要的函數(shù)！有如下性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)的拉氏變換拉氏變換是線性變換 它的微分、積分與其自身成比例 階躍函數(shù) 第16頁，共67頁，2022年，5月20日，15點

12、7分，星期三 斜坡函數(shù)和加速度函數(shù) 斜坡函數(shù)階躍函數(shù)的積分！加速度函數(shù)（速度函數(shù)的積分）復(fù)數(shù)域中為乘1/s，或說除以s 時域中的積分運算第17頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 歐拉公式和諧波函數(shù)的拉氏變換諧波函數(shù)的拉氏變換歐拉公式第18頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三三 拉氏變換性質(zhì)定理注意： 時，函數(shù)線性定理微分定理和積分定理（在所有初始條件均為零時）延遲定理平移函數(shù)、延遲函數(shù)對于函數(shù)函數(shù)稱為延遲函數(shù)，函數(shù)本身并不發(fā)生改變，只是延遲時間才發(fā)生。第19頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三延遲定理若則有延遲函數(shù)的拉氏變換原函數(shù)的

13、拉氏變換乘以例：求脈動函數(shù)和脈沖函數(shù)的拉氏變換 脈動函數(shù)它是正負(fù)階躍函數(shù)的疊加：脈動函數(shù)的拉氏變換：第20頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 脈沖函數(shù)及其拉氏變換 脈沖函數(shù)：脈動函數(shù)的極限，t0看作變量。定義：顯然單位脈沖（Dirac）面積為1的脈沖函數(shù)結(jié)論：脈沖函數(shù)是面積函數(shù)； 脈沖函數(shù)的拉氏變換就是脈沖下的面積。 換言之，復(fù)數(shù)域中的實數(shù)在時域里是脈沖函數(shù)。第21頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 關(guān)于單位脈沖函數(shù)的說明單位脈沖函數(shù)是人為定義的廣義函數(shù)，是一種數(shù)學(xué)分析工具；它的引入解決了不連續(xù)函數(shù)間斷點處求導(dǎo)數(shù)的問題。單位脈沖函數(shù)就是單位階躍函數(shù)在

14、不連續(xù)點（t=0）處的導(dǎo)數(shù)！單位脈沖函數(shù)定義為：單位脈沖函數(shù)是面積函數(shù)，它的面積為1；采樣性質(zhì)：時域里的脈沖 復(fù)數(shù)域中的常數(shù)第22頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三三 拉氏變換性質(zhì)定理位移定理設(shè)則有的拉氏變換，有以（s+）去替換s的效果?？砂蠢献儞Q定義證明之。舉例如則第23頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三三 拉氏變換性質(zhì)定理初值定理表明時間函數(shù)在原點的性質(zhì)與sF（s）在復(fù)數(shù)域無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)一致；終值定理則表明，時間函數(shù)在時間無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)與sF（s）在復(fù)數(shù)域原點處的性質(zhì)一致。即建立了時間函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點（原點）與復(fù)變函數(shù)sX（s）在坐標(biāo)原點（無窮遠(yuǎn)

15、點）的值之間的關(guān)系。初值定理和終值定理若存在，且有則有終值定理的證明出發(fā)點：微分定理、拉氏變換定義有終值定理應(yīng)用：穩(wěn)態(tài)誤差計算第24頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三三 拉氏變換性質(zhì)定理關(guān)于卷積的說明：卷積h(t)是時間函數(shù)f()與時間倒置函數(shù)g(t-)相乘后求積分得出的值。卷積運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。卷積定理卷積的數(shù)學(xué)定義符號表示性質(zhì)：卷積定理若則第25頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三四 拉氏逆變換及其求法逆變換已知F(s), 求f(t)的數(shù)學(xué)過程2.部分分式法 將F(s)分解成標(biāo)準(zhǔn)形式的簡單函數(shù)之和，然后利用拉氏變換表和性質(zhì)定理直接求出

16、f(t)。定義查表法 注意綜合應(yīng)用拉氏變換的性質(zhì)定理。第26頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三基本步驟根據(jù)多項式定理求F(s)的極點根據(jù)分項分式法，將F(s)展成部分分式 求出待定系數(shù)ci（復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)） F(s)的極點：使F(s)=的s值 F(s)的零點：使F(s)=0的s值查拉氏變換表和利用性質(zhì)定理求逆變換 在復(fù)變函數(shù)中ci稱為s= pi極點處的留數(shù)。 第27頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三待定系數(shù)的求法 簡易計算式： 由于F(s)的極點可以是簡單實數(shù)極點、共軛復(fù)數(shù)極點、重極點，故需分別討論：簡單極點求ci的步驟：用s+pi乘上式兩邊，兩邊

17、取極限令第28頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三 簡單極點求待定系數(shù)舉例指數(shù)衰減曲線注意：F(s)具有負(fù)實部極點2，3，當(dāng)t時，使f(t)0, 且e比e衰減得更快！舉例：解：有極點：第29頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三共軛復(fù)數(shù)極點待定系數(shù)的求法 共軛復(fù)數(shù)極點有兩種解法分解成如下形式， 令復(fù)數(shù)相等有：采用簡單極點求法可求得舉例：解：第30頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三共軛復(fù)數(shù)極點求待定系數(shù)舉例求：解得：此外，解得：注意：極點的實部為指數(shù)函數(shù)的冪，決定衰減的快慢；極點的虛部在正弦、余弦函數(shù)中，決定振蕩的頻率。第31頁，共67

18、頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三五 用拉氏變換求解運動微分方程 顯然，用拉氏變換求解系統(tǒng)運動微分方程，首先必須求得系統(tǒng)的極點。在無計算機的年代是困難的，但是，人類總能找到解決問題的辦法。步驟 將微分方程拉氏變換為s的代數(shù)方程； 求出系統(tǒng)輸出的復(fù)域解； 拉氏反變換得系統(tǒng)輸出得時域解。 第32頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.3 動態(tài)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(transfer function) 用系統(tǒng)的外部特征來揭示系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 通過系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。傳遞函數(shù)基本思想功能輸入輸出動物習(xí)性的研究人體器官檢查人們的思想品質(zhì)控制論中的

19、黑箱理論第33頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三一 傳遞函數(shù)概念可以用方塊圖來表示一個具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)。 線性定常(LTI)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。例如：在零初始條件下，微分方程的拉氏變換為按傳遞函數(shù)定義，有系統(tǒng)輸出響應(yīng)：即 圖中表明，系統(tǒng)輸入量與輸出量的因果關(guān)系可以用傳遞函數(shù)聯(lián)系起來。傳遞函數(shù)由此得名。第34頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三二 傳遞函數(shù)的零點(zero)和極點(pole)注意：傳遞函數(shù)的極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。零點、極點決定系統(tǒng)性能。傳遞函數(shù)的零點傳

20、遞函數(shù)的極點傳遞函數(shù)分子多項式等于零的根傳遞函數(shù)分母（特征）多項式(eigen polynomial)等于零的根零點與輸入作用位置及輸入信號性質(zhì)有關(guān)極點就是系統(tǒng)特征根(eigen value/root)，它們決定了系統(tǒng)的動態(tài)性能第35頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三三 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)一般只能描述線性定常系統(tǒng)動態(tài)特性。 零、極點分布決定了系統(tǒng)的動態(tài)過程。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性，即以系統(tǒng)的外部特征來揭示系統(tǒng)的內(nèi)部特性。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，它與微分方程有相通性。分子多項式系數(shù)及分母多項式系數(shù)，分別與相應(yīng)微分方程的

21、右端及左端微分算符多項式系數(shù)相對應(yīng)。傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。所有系數(shù)均為實數(shù)。 （nm）傳遞函數(shù)不表明系統(tǒng)的物理屬性。相似系統(tǒng)具有相同形式的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的量綱取決于系統(tǒng)輸入與輸出的量綱。第36頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三四 傳遞函數(shù)的表示形式輸入輸出模型 零極點模型 典型環(huán)節(jié)模型 分母稱為系統(tǒng)的特征多項式分子、分母進行因式分解，得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零-極點形式零、極點只能取0、實數(shù)和復(fù)數(shù)（

22、必共軛）值，因此，傳遞函數(shù)還可以寫成典型環(huán)節(jié)乘積的形式。第37頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三用Matlab實現(xiàn)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換例1 將輸入-輸出模型化為零、極點模型 根據(jù)Matlab運行結(jié)果，可得零、極點及增益，從而得到零、極點模型。注：分母 denominator 分子 numerator第38頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三用Matlab實現(xiàn)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換例2 將典型環(huán)節(jié)模型化為輸入-輸出模型第39頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三用Matlab實現(xiàn)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換（例題結(jié)果）例1 的結(jié)果：例2 的結(jié)果：其它轉(zhuǎn)換請自

23、己查閱有關(guān)書籍。第40頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例(proportional)環(huán)節(jié) 方程形式： ，K放大系數(shù)、增益。 傳遞函數(shù)： ，靜態(tài)關(guān)系，靜態(tài)系統(tǒng)。實例：運算放大器，分壓電路，齒輪傳動比，油缸。 特點：輸出以一定比例復(fù)現(xiàn)輸入，靜態(tài)關(guān)系。第41頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)慣性環(huán)節(jié) ， 時間常數(shù)，描述系統(tǒng)慣性； 極點：舉例 響應(yīng)分析：有一個蓄能元件，含時間常數(shù)，具有慣性，輸出滯后輸入。第42頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)振蕩環(huán)節(jié)有兩

24、個獨立的蓄能元件，由于阻尼比小于1，因此，存在能量（信息）的交換，產(chǎn)生振蕩(oscillation)。無阻尼自然振蕩頻率(nature frequency)實際阻尼/臨界阻尼，稱為阻尼比(damping ratio)第43頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)振蕩環(huán)節(jié)2實例：機床進給系統(tǒng)定義 時的阻尼系數(shù)為臨界阻尼系數(shù)當(dāng) 0 時，為簡諧振動特征方程：原方程為：有特征方程：特征根為：阻尼比為：原方程可寫成：固有頻率：第44頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié) ，或 輸出正比于輸入對時間的積分。因為系

25、統(tǒng)存在死區(qū)、不靈敏區(qū)等原因，偏差信號很小時，系統(tǒng)無調(diào)節(jié)作用，實際輸出與期望輸出誤差較大，影響控制精度。通過積分環(huán)節(jié)的作用，逐漸積累，當(dāng)偏差超過死區(qū)后，使系統(tǒng)產(chǎn)生調(diào)節(jié)作用，使實際輸出盡量接近期望輸出，從而提高了控制精度。 積分環(huán)節(jié)有記憶功能，輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變。用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，即降低穩(wěn)態(tài)誤差，提高控制精度。第45頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)使系統(tǒng)輸出提前，具有預(yù)報功能，輸出預(yù)示了輸入信號的變化趨勢。微分環(huán)節(jié)還可以增大系統(tǒng)阻尼，用于改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。輸出正比于輸入的一階導(dǎo)數(shù)ui(t)uo(t)RC第

26、46頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)延遲環(huán)節(jié)小結(jié)：1、元件是按功能分類的，而環(huán)節(jié)是按傳遞函數(shù)的形式分類的；一個元件可以是一個環(huán)節(jié)，也可以分為幾個環(huán)節(jié)，也可能幾個元件構(gòu)成一個環(huán)節(jié)。2、環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式是不變的；當(dāng)選擇的輸入、輸出不同時，相同元件組合的傳遞函數(shù)形式可能不同。第47頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.5 傳遞函數(shù)的求取方法傳遞函數(shù)的求取方法解析法：1.按因果關(guān)系寫出各元件的微分方程;2.將各微分方程進行拉氏變換,變成代數(shù)方程;3.消去中間變量,得輸出輸入關(guān)系式。圖解法1.2.步驟同解析法;3.按因果關(guān)系繪出各

27、代數(shù)方程的函數(shù)方塊圖;4.按信號關(guān)系連接各函數(shù)方塊圖得系統(tǒng)方塊圖;5.用等效變換法則,簡化方塊圖得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。第48頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三一 求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的解析法 1第49頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三一 求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的解析法 2拉氏變換消去中間變量可求得分別以電樞電壓、電機軸上負(fù)載轉(zhuǎn)矩為輸入，而以電機轉(zhuǎn)角為輸出的兩個傳遞函數(shù)：輸出：電機轉(zhuǎn)角直流電機特性方程：主令輸入：電樞電壓u 擾動輸入：負(fù)載轉(zhuǎn)矩ml假設(shè)電樞反應(yīng)可忽略不計，電機軸上總轉(zhuǎn)動慣量J是常數(shù)，各種機械轉(zhuǎn)矩全部歸并到負(fù)載轉(zhuǎn)矩中，傳動軸可認(rèn)為是剛性軸，電動機電樞回路的

28、電阻、電感全部歸并到電樞總電阻R、電感L中。：電動機的機電時間常數(shù)：電動機的電磁時間常數(shù)：電樞電壓作用系數(shù)，rad/（V.s）：負(fù)載轉(zhuǎn)矩作用系數(shù)，rad/(N.m.s)第50頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三二 求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的圖解法系統(tǒng)方塊圖繪制方法運算法則等效變換方塊圖簡化求傳遞函數(shù)基本結(jié)構(gòu)方塊圖功用描述信號傳遞變換過程第51頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三方塊圖的基本結(jié)構(gòu)要素第52頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三系統(tǒng)方塊圖的繪制方法第53頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三系統(tǒng)方塊圖的繪制方法關(guān)鍵

29、：明確因果關(guān)系；按信號流向連接第54頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三方塊圖的運算法則串聯(lián)并聯(lián)反饋第55頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三方塊圖等效變換法則求和點前移求和點后移引出點后移引出點前移第56頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三簡化方塊圖求傳遞函數(shù)系統(tǒng)方塊圖移動相加點或引出點方塊圖運算系統(tǒng)傳遞函數(shù)注意：方塊圖簡化路徑非唯一，但總有最簡單的方法。第57頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三方塊圖的作用 能描述系統(tǒng)的工作原理；便于研究每個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響； 能直觀地反映系統(tǒng)中信號傳遞、轉(zhuǎn)換的過程和信號之

30、間的關(guān)系； 通過方塊圖運算和等效變換，可以簡化方塊圖，從而能夠方便地求出系統(tǒng)中任意兩個信號之間的傳遞函數(shù)。 局限性：對于復(fù)雜系統(tǒng)，框圖的簡化過程繁雜，易出錯。第58頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.6 信號流圖與Mason公式 Signal flow diagrams are primarily an alternative pictoria1 representation to block diagrams. All signals (variables) are represented by dots, called nodes (節(jié)點）, related var

31、iables being joined by lines called directed branches（支路）. Each branch has an associated transmittance（增益，傳遞率）, Tjk, which links node j to node k with zero transmittance from k to j, i.e. transmittance is unidirectional and is indicated by an arrow. A path from a source to a sink node, without passi

32、ng through any other node more than once, is called an open or a forward path（開路、前向通道）. A closed (feedback) path is called a loop（回路）. The product of the transmittances of the branches forming a loop is called the loop transmittance（回路增益）. Concepts第59頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三2.6 信號流圖與Mason公式(2)Hi

33、ghlights: The signal at a node is equal to the sum of all signals transmitted to the node, i.e. a node with more than one input is a summing point. The transmittances are simply related to the transfer functions. The transmittance may be negative. The transmittances connected the input/output nodes

34、(source/sink nodes) are both unity, and merely help make the diagram clearer. 第60頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三Manipulating Rules of SFDs (a) Series paths(b) Parallel paths(c) Feedback loop(d) Elimination of a node 第61頁，共67頁，2022年，5月20日，15點7分，星期三Masons Gain Formula Net transmittance from a source to a sink node, T, is given by:l open paths between the source and sink nodes under consideration. = 1(sum of all 1oop transmittances) + (sum of products of loop transmittances of all possible non-touching loops taken in pairs)(sum of similar products taken three at a time+ etc. k