高中數(shù)學(xué)第一章不等式的基本性質(zhì)和證明不等式的基本方法151比較法學(xué)案新人教B版選修4-5

1、15.1 比較法 對應(yīng)同學(xué)用書 P16 讀教材 填要點 1定義要證a b,只需要證ab 0；要證a b,只需證ab b0 時,a b1,ab 0,就a1；ba 當(dāng) ba0 時, 0 b1,ab 1. b綜上可知,當(dāng)a,b0 , 時, a ab b ab 1 比較法證明不等式的過程中,變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判定差的 符號,而不用考慮差能否化簡或值是多少2 變形所用的方法要詳細(xì)情形詳細(xì)分析,可以配方,可以因式分解,可以運用一切有 效的恒等變形的方法3 因式分解是常用的變形手段,為了便于判定“ 差式” 的符號,常將“ 差式” 變形為 一個常數(shù),或幾個因式積的形式,當(dāng)所得的“ 差式”

2、是某字母的二次三項式時,常用判別式法判定符號有時會遇到結(jié)果符號不能確定,這時候要對差式進(jìn)行分類爭論1已知 x1,求證：1x1x 2. 證明： x 1,1x0,1x0. 2 / 8 1x1 x 2 1xx11 2x1x12121 2 x1 2x1 1 1 2x1120,1x1x 2. 比較法的實際應(yīng)用 例 2 甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點,甲有一半時間以速度 m 行走,另一半以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m行走,另一半路程以速度 n 行走假如m n,問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點？ 思路點撥 此題考查比較法在實際問題中的應(yīng)用,解答此題需要設(shè)出從動身點到指定地點的路程 s,甲、乙

3、二人走完這段路程各自需要的時間 t1、t2,然后利用作差法比較t 1,t 2的大小即可 精解詳析 設(shè)從動身地點至指定地點的路程為2s,甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1、t2,依題意有：t1 2mt1 2ns,s 2ms 2nt 2. t 12s m n,t 2smn. 2mnt 1t 22s m nsmns4mnmn2mn2mnmnsm n2. 2mnm n其中 s,m, n 都是正數(shù),且m n,t 1t 20,即 t 1t 2. 從而知甲比乙先到達(dá)指定地點3 / 8 應(yīng)用不等式解決問題時,關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解 決,也就是建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵,

4、最終利用不等式的學(xué)問來解解答不等式問 題,一般可分為如下步驟：閱讀懂得材料；建立數(shù)學(xué)模型；爭論不等式關(guān)系；作 出問題結(jié)論2某人乘出租車從A 地到 B 地,有兩種方案第一種方案：乘起步價為10 元,超過規(guī)定里程后每千米 1.2 元的出租車；其次種方案：乘起步價為 8 元,超過規(guī)定里程后每千 米 1.4 元的出租車按出租車治理條例,在起步價內(nèi),不同型號的出租車行駛的路程是相 等的,就此人從 A 地到 B 地挑選哪一種方案比較合適？m千米起步價內(nèi)行駛的路程為 a 千米解：設(shè) A 地到 B地的距離為 明顯當(dāng) ma 時,選起步價為 8 元的出租車比較合適當(dāng) ma 時,設(shè) max x0 ,乘坐起步價為 1

5、0 元的出租車費用為 P x 元乘坐起步 Q x 元,價為 8 元的出租車費用為 就 P x 101.2 x,Q x 81.4 x. P x Q x 20.2 x0.210 x 當(dāng) x10 時, P x Q x,此時挑選起步價為 當(dāng) x Q x ,此時挑選起步價為10 元的出租車較為合適8 元的出租車較為合適當(dāng) x10 時, P x Q x,兩種出租車任選,費用相同 對 應(yīng) 學(xué)生用書 P18 一、挑選題1以下關(guān)系中對任意ab0 的實數(shù)都成立的是 221 22bAa2b 2Blg b 21 D1 2a解析： ab0, ab0. a2b20. 即 a2b20. b2 a21. 4 / 8 又 lg

6、 b 2lg a 2 lgb2 a2lg 1 0. lg b 2lg a2. 答案： B 2已知 P1 a2a 1,Qa2a1,那么 P、Q的大小關(guān)系是 APQBPp BmnpCnmp Dnmpa b解析：由已知,知 m,nab,得 ab0 時 mn,可否定 B、C.比較b a1 9A、D項,不必論證與 p 的關(guān)系取特值 a4,b 1,就 m422, n213,mn. 可排除 D. 答案： A 4如 a,b 為不等的正數(shù),就 ab ka kb ak1bk1 kN 的符號 A恒正B恒負(fù)C與 k 的奇偶性有關(guān)D與 a,b 大小無關(guān)解析： ab kakb a k 1b k1b k ab ak ba

7、ab b ka k a0, b0,如 ab,就 akb k, ab b ka k0；5 / 8 如 ab,就 akb k, ab bkak0. 答案： B 二、填空題5如x y 0, M x2 y2 x y ,N x2y2 x y ,就M, N 的大小關(guān)系為_解析： MN x 2y 2 xy x 2y 2 xy xy x 2y 2 xy 2 2xy x y xy0, xy0,xy0, MN0. 即 MN. 答案： MN6設(shè) 0 xa2,a0,b0,得 ba. 又 cb1 1x1 x 11x2x2 1x0,1x得 cb,知 c 最大答案： c7假如 a0,b0,就以下兩式的大小關(guān)系為lg1 ab

8、_1 2lg1a lg1b 填不等關(guān)系符號 解析： 1 a b1 1abab,1 2lg1a lg1 b lg 1ab ab. 1 ab 2 1abab 22 ab ab ,又 ab2 ab, 2 ab a b 0.lg1 ab 1 2lg1a lg1 b 答案：3 5008一個個體戶有一種商品,其成本低于 9 元假如月初售出可獲利 100 元,再將本利存入銀行,已知銀行月息為 2.5%,假如月末售出可獲利 120 元,但要付成本的 2%的保6 / 8 管費,這種商品應(yīng) _出售 填“ 月初” 或“ 月末” 解析：設(shè)這種商品的成本費為 a 元月初售出的利潤為 L1100 a100 2.5%,月末

9、售出的利潤為 L21202%a,就 L1L21000.025 a 2.5 1200.02 a3 5000.045 a9,3 500a 9, L1L2,月末出售好答案：月末三、解答題9已知 a1,求證a1aaa1,2 證明： a1a aa1 1aa1a10,a1a1a1a1a 1aaa1aaa1. a3b3ab a 2b10設(shè) a,b 是非負(fù)實數(shù),求證：證明：由 a,b 是非負(fù)實數(shù),作差得a 3 b 3ab a2b2 b5,2aaa2 b bbba aba5b5 當(dāng) ab 時,ab,從而 a5得aba5b5 0；5,當(dāng) ab 時,ab,從而 a50. 所以 a3b3ab a 2b 2 11設(shè) mR,ab1,f x mx