彈性力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng)力應(yīng)變

1、彈性力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng)力應(yīng)變第1頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三 空間問(wèn)題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問(wèn)題的平衡微分方程 空間問(wèn)題的幾何方程和物理方程 空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程 主要內(nèi)容第2頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三5.1 空間問(wèn)題的基本未知量與方程 什么空間問(wèn)題？ 一維問(wèn)題：一個(gè)基本坐標(biāo)變量，如桿件。是材料力學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。 二維問(wèn)題：二個(gè)基本坐標(biāo)變量，如平面問(wèn)題。是本課程的重點(diǎn)內(nèi)容。 三維問(wèn)題：三個(gè)基本坐標(biāo)變量，即空間問(wèn)題。是本課程需了解的內(nèi)容。第3頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三空間問(wèn)題的基

2、本未知量與方程 任何一個(gè)彈性體是空間物體（坐標(biāo)變量為x、y、z），外力為空間力系。實(shí)際的彈性力學(xué)問(wèn)題都是空間問(wèn)題。 對(duì)于空間問(wèn)題，在彈性體區(qū)域內(nèi)，仍然要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程；并在邊界上建立應(yīng)力邊界條件或位移邊界條件。 空間問(wèn)題與平面問(wèn)題具有相似性：基本未知數(shù)、基本方程、邊界條件和求解方法均是類似的。第4頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三 空間問(wèn)題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問(wèn)題的平衡微分方程 空間問(wèn)題的幾何方程和物理方程 空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程 主要內(nèi)容第5頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星

3、期三5.2 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析1：求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)任何斜面上的應(yīng)力p？ 2：求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何斜面上的正應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn ？ 3：若經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的主應(yīng)力s和應(yīng)力主方向a ？4：求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的正應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn 的最大和最小值？ 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的6個(gè)應(yīng)力分量，求解如下四個(gè)問(wèn)題：第6頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的全應(yīng)力問(wèn)題1：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的6個(gè)應(yīng)力分量，求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何斜面上的應(yīng)力p？取如圖所示微分單元體PABC，當(dāng)平面ABC無(wú)限接近于P點(diǎn)時(shí)，該平面上的應(yīng)力即為所求應(yīng)力p 。根據(jù)該微分單元的力系平衡條件，在x、y和z軸方向

4、上合力為0，從而有：第7頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的全應(yīng)力特殊情況下，若平面ABC是彈性體上受面力作用的邊界面，則應(yīng)力p就成為面力，于是由(72)式可得出 :上式就是空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件，它表明應(yīng)力分量的邊界值與面力分量之間的關(guān)系。第8頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的正應(yīng)力與切應(yīng)力問(wèn)題2：求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力？平面ABC上的正應(yīng)力sn即為上面所求的全應(yīng)力p向法線方向n的投影：平面ABC上的切應(yīng)力tn則由下式求得：第9頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)

5、力與主方向問(wèn)題3：若經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為0，求此斜面上的主應(yīng)力s和應(yīng)力主方向a ？設(shè)如圖所示的斜面上切應(yīng)力為0，則該面上的全應(yīng)力等于正應(yīng)力，也等于主應(yīng)力，于是有又由于有第10頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向從而有關(guān)于方向余弦l,m, n的線性方程組：其有非零解的充要條件為系數(shù)行列式等于0，即第11頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向其中： 主應(yīng)力特征方程展開，得： 第12頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根

6、，s1，s2，s3分別表示這三個(gè)根，代表某點(diǎn)三個(gè)主應(yīng)力，從而確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力。主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)。I1、I2、I3 分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。特征方程的根是確定的，即系數(shù)I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。第13頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三結(jié)合 l2+m2+n2=1則可求主應(yīng)力方向。過(guò)一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與方向 對(duì)于主應(yīng)力方向，將s1，s2，s3分別代入 可以證明：三個(gè)主應(yīng)力方向，是互相垂直的。第14頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三過(guò)一點(diǎn)任意斜面的應(yīng)力極

7、值彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的最大正應(yīng)力為s1，最小正應(yīng)力為s 3最大切應(yīng)力可以通過(guò)主應(yīng)力計(jì)算，等于(s 1-s3)/2 。最大切應(yīng)力作用平面也可以通過(guò)主應(yīng)力方向得到，其作用平面通過(guò)s 2 應(yīng)力主方向，并且平分s 1和s 3應(yīng)力主方向的夾角（即45角）。問(wèn)題4、已知任一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力（ s1 s2 s3 ），及其應(yīng)力主方向，可求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)正應(yīng)力、切應(yīng)力的最大和最小值第15頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三例1：證明主應(yīng)力是正應(yīng)力的極值（極大或極小）。解：為了計(jì)算方便，選三個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸向，則有sx= s1 ， sy= s2 ， sz= s3 ， txy= tyz=txz= 0設(shè)任

8、意斜微分面的方向余弦為（ l, m , n )，其上的全應(yīng)力為公式（72），正應(yīng)力為公式（73），代入有sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2設(shè)三個(gè)主應(yīng)力大小順序?yàn)?s1 s2 s3 ，則正應(yīng)力取極大值條件： m=n=0, | l | =1, 即極大值為s1。同理極小值為s3。例題第16頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三例1：證明主應(yīng)力是正應(yīng)力的極值（極大或極?。?。解：為了計(jì)算方便，選三個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸向，則有sx= s1 ， sy= s2 ， sz= s3 ， txy= tyz=txz= 0設(shè)任意斜微分面的方向余弦

9、為（ l, m , n )，其正應(yīng)力為公式（73），代入有sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2設(shè)三個(gè)主應(yīng)力大小順序?yàn)?s1 s2 s3 ，則正應(yīng)力取極大值條件： m=n=0, | l | =1, 即極大值為s1。同理極小值為s3。例題第17頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三 空間問(wèn)題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問(wèn)題的平衡微分方程 空間問(wèn)題的幾何方程和物理方程 空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程 主要內(nèi)容第18頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三5.3 空間問(wèn)題的平衡微分方程 空

10、間問(wèn)題的平衡微分方程是考慮空間問(wèn)題的靜力學(xué)條件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分單元體的靜力平衡條件來(lái)推導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。 分析問(wèn)題方法：空間力系和力矩的平衡條件 分析手段：微分單元體（微分） 意義：彈性體區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的靜力平衡條件第19頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三空間問(wèn)題的平衡微分方程由于六面體是微小的，各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布，且作用于對(duì)應(yīng)面的中心。同理，六面體所受的體力也可以認(rèn)為是均勻分布，且作用于它的體積的中心。如圖所示，考慮一個(gè)微小的正平行六面體，其x、y、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。第20頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34

11、分，星期三空間問(wèn)題的平衡微分方程 考慮問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)：靜力學(xué)知識(shí) 微分單元體：正平行六面體，每個(gè)邊界面都是坐標(biāo)平面，各坐標(biāo)面上有三個(gè)應(yīng)力分量。 應(yīng)力符號(hào)約定（1）正坐標(biāo)面：外法線方向沿坐標(biāo)軸正向的坐標(biāo)面應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向時(shí)取正值，沿坐標(biāo)軸負(fù)向時(shí)取負(fù)值；反之亦然。（2）負(fù)坐標(biāo)面：外法線方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向的坐標(biāo)面應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向時(shí)取負(fù)值，沿坐標(biāo)軸負(fù)向時(shí)取正值；反之亦然。由泰勒級(jí)數(shù)展開，求各面應(yīng)力第21頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三空間問(wèn)題的平衡微分方程 分析問(wèn)題方法：空間力系和力矩的平衡條件（6個(gè)） 意義：彈性體區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件平衡微分方程切應(yīng)力互等定理第22頁(yè)

12、，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三平衡微分方程：注意事項(xiàng) 列平衡條件時(shí)，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力； 應(yīng)用了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)和小變形假設(shè)，也是其適用的條件。 平衡微分方程中各個(gè)量的量綱都相同，其中第一式的各項(xiàng)為x方向的量，第二項(xiàng)為y方向的量，第三項(xiàng)為z方向的量；第23頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三平衡微分方程：注意事項(xiàng) 空間問(wèn)題的平衡微分方程有3個(gè)方程，但包含有6個(gè)未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學(xué)條件無(wú)法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學(xué)和物理學(xué)方面的條件。 平衡微分方程表示了彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的微分單元體的平衡條件，

13、必然保證任一有限大部分和整個(gè)區(qū)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學(xué)條件是嚴(yán)格和精確的；第24頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三 空間問(wèn)題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問(wèn)題的平衡微分方程 空間問(wèn)題的幾何方程和物理方程 空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程 主要內(nèi)容第25頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三5.4 空間問(wèn)題的幾何方程及物理方程幾何方程：位移與應(yīng)變的關(guān)系，分為線應(yīng)變和切應(yīng)變空間問(wèn)題的位移邊界條件：在給定約束位移的邊界面上，位移分量在邊界面上的值與邊界上的約束位移值相等。體應(yīng)變：?jiǎn)挝惑w積的體積改變第26頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，

14、5月20日，9點(diǎn)34分，星期三空間問(wèn)題的物理方程物理方程：應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，又稱本構(gòu)方程和廣義胡克定律。E 為楊氏模量G 為剪切彈性模量m 為橫向變形系數(shù)泊松比對(duì)于理想彈性體，按應(yīng)力表示為用于按應(yīng)力求解的方法。第27頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三空間問(wèn)題的物理方程按應(yīng)變表示的物理方程為用于按位移求解的方法。第28頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三總結(jié)：基本未知量與方程位移分量ux uy uz應(yīng)變分量ex ey ez gxy gxz gyz應(yīng)力分量sx sy sz txy txz tyz體力f幾何方程物理方程平衡微分方程已知位移已知面力變形協(xié)調(diào)方程

15、位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊界條件第29頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三例題例題：將立方體的橡皮放在一同樣大小的剛性體鐵盒容器內(nèi)，其上用鐵蓋封閉，鐵蓋上受均勻分布垂直壓力 q 作用，假設(shè)橡皮與容器間無(wú)摩擦力，試求橡皮中的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量。第30頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三例題1、建立求解的直角坐標(biāo)系2、橡皮在力的作用下會(huì)發(fā)生形變，但由于容器為剛性體，因此其在 x 和 y 兩個(gè)方向變形受到約束，位移u=v= 0，相應(yīng)的正應(yīng)變ex= ey= 0。5、由于橡皮與容器間無(wú)摩擦力，因此切應(yīng)力均為 0 ，切應(yīng)變也為0。4、將上述條件代入物理方程，可解

16、得sx和 sy，進(jìn)而求ez3、橡皮的上邊界受均勻分布垂直壓力 q 作用，因此有 sz= -q （見(jiàn)8.2內(nèi)容）第31頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三 空間問(wèn)題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問(wèn)題的平衡微分方程 空間問(wèn)題的幾何方程和物理方程 空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程 主要內(nèi)容第32頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三5.5 空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程空間軸對(duì)稱：彈性體的形狀、約束和外力都是對(duì)稱于某一軸，通過(guò)對(duì)稱軸的任何平面均是對(duì)稱面，則所有物理量（應(yīng)力、應(yīng)變和位移）都對(duì)稱于該軸。宜采用圓柱坐標(biāo)系（r, j, z）。由于對(duì)稱，在對(duì)稱面兩邊對(duì)應(yīng)點(diǎn)的物理量滿足如下兩個(gè)條件（1）數(shù)值軸對(duì)稱：所有物理量與環(huán)向坐標(biāo) j 無(wú)關(guān)，同一環(huán)向線上的值相等，且只是徑向坐標(biāo) r 和軸向坐標(biāo) z 的函數(shù)。（2）方向軸對(duì)稱，即方向?qū)ΨQ于 z 軸，方向不對(duì)稱于 z 軸的物理量不能存在，從而有：第33頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分，星期三軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程由徑向軸 r 和軸向 z 兩個(gè)方向的空間力系的平衡條件，可推導(dǎo)出“平衡微分方程”：整理可得（7-15）第34頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)34分