初中數(shù)學(xué)華東師大版八年級(jí)上冊(cè)第十三章全等三角形單元復(fù)習(xí)-第13章等腰三角形-復(fù)習(xí)講義

1、等腰三角形【知識(shí)梳理】一、等腰三角形1等腰三角形的有關(guān)概念及分類有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分為腰和底 的等腰三角形和_三角形2等腰三角形的性質(zhì) (1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”)； (2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱為“三線合一”)； (3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形3等腰三角形的判定 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”)二、等邊三角形的性質(zhì)與判定1等邊三角形的性質(zhì) (1)等邊三角形的內(nèi)角相等，且都等于_；(2)等邊三角形的三條邊都_2等

2、邊三角形的判定 (1)_相等的三角形是等邊三角形； (2)_相等的三角形是等邊三角形； (3)有一個(gè)角為_的等腰三角形是等邊三角形三、線段的垂直平分線1概念：經(jīng)過線段中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫_2性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離_3判定：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)_的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合四、角的平分線1性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離_2判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的_上，角的平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合五、含30的直角三角形 直角三角形中30所對(duì)的邊是斜

3、邊的一半板塊一、等腰三角形的性質(zhì)與判定例1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數(shù)為( D ) A60 B120 C60或150 D60或120例2、如圖，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130，求2的度數(shù).解：AB=AC=BD，B=C，2=3設(shè)2=x=BAD，B=C=180-2x，由三角形外角的性質(zhì)得2=1+C，即x=30+（180-2x）解得x=70，則2=70例3、已知：如圖，ABC中，ACB45，ADBC于D，CF交AD于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，BADFCD求證：（1）ABDCFD；（2）BEAC證明：(1) ADBC， ADCFDB90. ， ADC

4、D ， ABDCFD (2)ABDCFD BDFD. FDB90， . ， . BEAC 例4、如右圖，已知ACBC，BDAD，AC與BD交于O，ACBD. 求證：(1)BCAD； (2)OAB是等腰三角形證明：（1）AC BC ，BD ADD= C=90在RtACB和Rt BDA中，AB= BA，AC=BD ，ACBBDA（HL）BC=AD；（2）由ACBBDA 得C AB=D BAOAB是等腰三角形板塊二、等邊三角形的性質(zhì)與判定如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，和都是等邊三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.（1）求證：BCEACD；（2）求證：FHBD.（1）證明：和都是等邊三角形

5、BCAC，CECD，BCAECD60BCA+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD在BCE和ACD中 BCEACD（SAS）（2）由（1）知BCEACD則CBF=CAH，BC=AC又和都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，ACH=180-ACB-HCD=60=BCF，在BCF和ACH中 BCFACH（ASA）CF=CH，又FCH60CHF是等邊三角形FHCHCD=60，F(xiàn)HBD例2、已知：如右圖，延長(zhǎng)ABC的各邊，使得BFAC，AECDAB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到DEF為等邊 三角形求證：(1)AEFCDE； (2)ABC為等邊三角形證明：（1）BF=AC，AB=AE，F(xiàn)A=EC，

6、DEF是等邊三角形，EF=DE，又AE=CD（已知），AEFCDE（SSS）；（2）由AEFCDE，得FEA=EDC，BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF，DEF是等邊三角形，DEF=60，BCA=60，同理可得BAC=60，ABC中，AB=BC，ABC是等邊三角形。板塊三、線段的垂直平分線和角平分線如圖所示，BAC105，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC則PAQ的度數(shù)為 30 例2、如右圖，ABC的周長(zhǎng)為30 cm，把ABC的邊AC對(duì)折，使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E，連接AD，若AE4 cm，則ABD的周長(zhǎng)是(A) A22 cm B20 cm C18 c

7、m D15 cm例3、如右圖，在RtABC中，C90，CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度數(shù)解：在直角ABC中，C=90，CAB的平分線AD交BC于D，DAE=CAB=（90-B），DE垂直平分AB，AD=BD，DAE=B，DAE=CAB=（90-B）=B，3B=90，B=30例4如圖，AD為ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于點(diǎn)E、交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AC于EF交于點(diǎn)O（1）求證：3=B； （2）連接OD，求證：B+ODB=180證明：（1）AD為ABC的角平分線，1=2，AD的中垂線交AB于點(diǎn)E、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AF=DF，4=DAF=2+3，4=1+B，3=

8、B；（2）EF是AD的中垂線，OA=OD，2=ODA，4=DAF，3=ODF，3=B，ODF=B，ODAB，B+ODB=180例5、如圖，OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA交于點(diǎn)D，PEOB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是OC上除點(diǎn)P、O外一點(diǎn)，連接DF、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論解：DFEF理由如下：OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA交于點(diǎn)D，PEOB交于點(diǎn)E，PDPE，由HL定理易證OPDOPE，OPDOPE，DPFEPF在DPF與EPF中，DPFEPF，DFEF.板塊四、含30的直角三角形例1、如圖，E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOB，EDOA，C、D是垂足，連接CD交OE于點(diǎn)F，若AOB=60求證：OCD是等邊三角形； （2）若EF=5，求線段OE的長(zhǎng).解：（1）點(diǎn)E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOB，EDOA，C、D是垂足， DE=CE，在RtODE和RtOCE中， RtODERtOCE（LH）OD=OC，AOB=60，OCD是等邊三角形； （2）OCD是等邊三角形，OF是角平分線，OEDC，AOB=60，AOE=BOE=30，ODF=60，EDOA，EDF=30，DE=2EF=10，OE=2D