概率之隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1、概率之隨機(jī)變量的分布函數(shù)第1頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為的分布函數(shù)，有時(shí)記作或注：1.若將看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)的值就表示落在區(qū)間的概率；( )*2.對(duì)任意實(shí)數(shù)隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間的概率一、分布函數(shù)的概念第2頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四2.對(duì)任意實(shí)數(shù)隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間的概率3.隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，它完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.通過(guò)它，人們就可以利用數(shù)學(xué)分析的方法機(jī)變量.來(lái)全面研究隨第3頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四解例3.1設(shè) 的分布律為求 的分布函數(shù)由分布

2、函數(shù)的定義有問(wèn)特點(diǎn)？ 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為單調(diào)、右連續(xù)的階梯函數(shù)第4頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四證明二、分布函數(shù)的性質(zhì)第5頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四證明第6頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).所以第7頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四怎樣利用分布函數(shù)計(jì)算概率問(wèn)？分析：?jiǎn)栐鯓佑?jì)算概率為常數(shù)？分析：若 在 處連續(xù)，則一個(gè)有趣的現(xiàn)象由于分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，所以可以應(yīng)用微積分工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象第8頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四因此

3、分布律為解則三、例題講解例1第9頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四求分布函數(shù)第10頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第11頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第12頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第13頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四解例2第14頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第15頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第16頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四請(qǐng)同學(xué)們思考不同的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)一定

4、也不相同嗎?答不一定.例如拋均勻硬幣, 令第17頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四設(shè) r.v. X 的分布函數(shù)：計(jì)算解例3.2第18頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第19頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè), 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量描述X 的概率特性常用概率分布或分布律X P 或即離散隨機(jī)變量及分布函數(shù)第20頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍

5、度 pk .其中 . 第21頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四解 設(shè)汽車在開(kāi)往甲地途中需經(jīng) 過(guò) 4 盞信號(hào)燈, 每盞信號(hào)燈獨(dú)立地 以概率 p 允許汽車通過(guò). 出發(fā)地甲地首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈盞數(shù), 求 X 的概率分布與 p = 0.4 時(shí)的分布函數(shù).令 X 表示例3.3第22頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四01234xxkpk 0 1 2 3 40.60.240.0960.03840.0256代入第23頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 01234xF( x)oo1ooo第24頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23

6、點(diǎn)26分，星期四用分布律或分布函數(shù)來(lái)計(jì)算事件的概率 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計(jì) 算解或此式應(yīng)理解為極限例3.4第25頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四X解 一個(gè)半徑為2米的圓盤(pán)靶子,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比,且射擊都能中靶,記 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.求 的分布函數(shù).顯然當(dāng) 時(shí) 故 若 由題意有 為常數(shù)若 由題意有,故即 的分布函數(shù)為結(jié)果分析：當(dāng) 時(shí) 存在,令 其它 則 稱這樣的隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量END問(wèn)？分析：處處連續(xù),故怎樣理解這一結(jié)論？例3.4第26頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四X 一個(gè)半徑

7、為2米的圓盤(pán)靶子,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比,且射擊都能中靶,記 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.求 的分布函數(shù).例其中其它 由本章3的例求得r.v X 的分布函數(shù)是這是一種特殊類型的隨機(jī)變量第27頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四定義若 的分布函數(shù)能夠表為其中 則稱 為 ,非負(fù)可積函數(shù) 稱為連續(xù)型r.v概率密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)、密度).例設(shè) 的分布函數(shù)為求 的密度函數(shù).解即有的密度函數(shù)為只有有限個(gè)點(diǎn)處不可導(dǎo)連續(xù)型r.v分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),且是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)離散型 r.v非離散型 r.v連續(xù)型 r.v奇異型 r.vr.v 的基本類型奇異型r.v是人

8、為構(gòu)造的r.v只討論現(xiàn)實(shí)中廣泛存在的這兩種類型？能表為可積函數(shù)上限積分的連續(xù)函數(shù)2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量第28頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四密度函數(shù)的性質(zhì)有在 的連續(xù)點(diǎn)處有是密度函數(shù)的本質(zhì)特征？,幾何意義如下圖形在 x 軸上方，下方圖形面積為1的幾何意義等于曲邊梯形面積設(shè) 是 的連續(xù)點(diǎn),由上述性質(zhì)有則當(dāng) 充分小時(shí)，有注解：近似于小矩形面積第29頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四解例4.1計(jì)算概率設(shè) 的密度函數(shù)為確定常數(shù) 并求 的分布函數(shù)的分布函數(shù)是第30頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為解：由

9、分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有例4.2解方程組得解第31頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解： 由密度函數(shù)的性質(zhì)例4.3第32頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以解： 設(shè)：A= 某元件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)需要更換例4.4為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求 5 個(gè)同類型的元件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)恰有 2 個(gè)需要更換的概率.檢驗(yàn) 5 個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重Bernoulli試驗(yàn)B= 5 個(gè)元件中恰有 2 個(gè)的使用壽命不超過(guò)150小時(shí) 第33頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5

10、月20日，23點(diǎn)26分，星期四練習(xí)第34頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第35頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四第36頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四設(shè)為使 f (x) 成為某 r.v. X 在解 由 d.f.系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足何條件？當(dāng)有最小值上的例4.5第37頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四另外由當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)得所以系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足下列條件可省略第38頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四問(wèn)題設(shè) 為連續(xù)型 為任意常數(shù),問(wèn)？分析有

11、注對(duì)于連續(xù)型r.v 有問(wèn)題設(shè) 為連續(xù)型 為任意常數(shù),則那么 是否是不可能事件？注意分布函數(shù)一定連續(xù)第39頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量（一）均勻分布如果 的密度函數(shù)為則稱 服從區(qū)間 上的 記為均勻分布 注故 的確是密度函數(shù)的圖形有 即 落在 中的概率只與區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān),而與位置無(wú)關(guān),這反映了某種“等可能性”,即 在區(qū)間 上“等可能取值”問(wèn)若 為常數(shù),則？其它第40頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四分布函數(shù)第41頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四三段木棒能構(gòu)成 將長(zhǎng)度為 2l 的木棒任意截為兩段,

12、求這兩段木棒與另一長(zhǎng)度為 l 的木棒能構(gòu)成三角形的概率.設(shè)截下的兩段木棒長(zhǎng)度分別故三段木棒能構(gòu)成的概率為均勻分布的實(shí)際背景解則例4.6第42頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 假定在運(yùn)算中，數(shù)據(jù)只保留到小數(shù)點(diǎn)后第五位,而小數(shù)點(diǎn)第五位以后的數(shù)字按四舍五入處理.記 表示真值，記 表示舍入后的值，則誤差 在用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí),由于字長(zhǎng)的限制，數(shù)據(jù)都只保留到一定位數(shù)，而最后一位數(shù)字按四舍五入處理.通常舍入誤差服從均勻分布定點(diǎn)計(jì)算中的舍入誤差例第43頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即 7:00，7:15

13、，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率.解依題意， X U ( 0, 30 ) 以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位例4.7第44頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 為使候車時(shí)間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3.從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，第45頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，

14、23點(diǎn)26分，星期四例4.8第46頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn)對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值大于3 的概率. X 的分布密度函數(shù)為設(shè) A 表示“對(duì) X 的觀測(cè)值大于 3 的次數(shù)”,解即 A= X 3 .例4.9第47頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四因而有設(shè)Y 表示3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù),則第48頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四如果隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為（二）指數(shù)分布第49頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四的

15、圖形下方面積為1越大曲線越平當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),其圖象為：第50頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四問(wèn)題question例指數(shù)分布通常用來(lái)描述“壽命”的分布電子元件的壽命；生物的壽命；電話的通話時(shí)間；機(jī)器的修理時(shí)間；營(yíng)業(yè)員為顧客提供的服務(wù)時(shí)間；指數(shù)分布廣泛應(yīng)用于可靠性理論和排隊(duì)論指數(shù)分布密度函數(shù)參數(shù) 的意義指數(shù)分布實(shí)際背景de為什么各種“壽命”服從指數(shù)分布？中參數(shù) 表示平均壽命 稱為失效率第51頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例4.8令：B= 等待時(shí)間為10-20分鐘 第52頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四指數(shù)分布的重要性質(zhì)

16、-無(wú)記憶性如果已知壽命長(zhǎng)于 年, 則再活 年的可能性與年齡 無(wú)關(guān)！即指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年青”的! sts說(shuō)明什么？設(shè)考慮概率第53頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系時(shí)間軸在泊松流中,記時(shí)間間隔 中出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為其中參數(shù) 稱為泊松強(qiáng)度則 即有記 表示第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間，則即 的分布函數(shù)為第54頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四（三）正態(tài)分布如果 的密度函數(shù)為其中參數(shù) 則稱 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布 ,記為正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)故 確是密度函數(shù)第55頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)

17、,即 關(guān)于 對(duì)稱 當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)在 處取極大值即曲線 以 軸為漸近線 關(guān)于 對(duì)稱中間高，兩頭低樣子像座“山” 當(dāng)參數(shù) 發(fā)生變化時(shí),曲線會(huì)發(fā)生怎樣的變化?問(wèn),圖形向右平移,形狀不變小 大大 小,圖形向左平移,形狀不變小 大,圖形變平坦大 小,圖形變尖銳第56頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四自然界許多指標(biāo)都服從或近似服從正態(tài)分布 成年人的各種生理指標(biāo)：身高、體重、血壓、視力、智商等例一個(gè)班的某門(mén)課程的考試成績(jī)例海浪的高度例一個(gè)地區(qū)的日耗電量例各種測(cè)量的誤差例炮彈彈著點(diǎn)例一個(gè)地區(qū)的家庭年收入例正態(tài)分布實(shí)際背景de第57頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四

18、服從正態(tài)分布的指標(biāo)有什么特點(diǎn)一般說(shuō)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布.為什么叫“正態(tài)”分布正態(tài)分布密度呈現(xiàn)“中間高，兩頭低”的形態(tài)，它描述了自然界大量存在的隨機(jī)現(xiàn)象，所以正態(tài)分布是自然界的一種“正常狀態(tài) ( normal )”的分布. 正態(tài)分布是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在研究誤差理論時(shí)的到的，故正態(tài)分布也稱為高斯分布.人物介紹高斯問(wèn)題？問(wèn)題？第58頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8這是什么曲線?高爾頓釘板試驗(yàn)第59頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月2

19、0日，23點(diǎn)26分，星期四其概率密度和分布函數(shù)分別為可查附表 2求 的值特別當(dāng) 時(shí),稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為第60頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四之間的關(guān)系證引理若則的分布函數(shù)為令第61頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例4.9第62頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例4.10第63頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例4.11第64頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四0第65頁(yè)，共70頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 在70分鐘內(nèi),走路線 I 及時(shí)趕到的概率為故在這種情況下應(yīng)該走第二條路線.解 從某地乘車往火車站有兩條路線可走,第一條路線穿過(guò)市區(qū),路程較短,但交通擁擠,所需時(shí)間第二條路線走環(huán)線,路程較遠(yuǎn),但意外阻塞少,所需時(shí)間 若有70分鐘時(shí)間可用,問(wèn)應(yīng)走哪條路線? 若只有65分鐘時(shí)間可用,問(wèn)又應(yīng)走