射影幾何的誕生與發(fā)展

1、射影幾何的誕生與發(fā)展一從透視學到射影幾何在文藝復興時期，描繪現(xiàn)實世界成為繪畫的重要目標，這就 使畫家們在將三維現(xiàn)實世界繪制到二維的畫布上時，面臨這樣的問 題：一個物體的同一投影的兩個截影有什么共同的性質(zhì)？從兩個光源分別對兩個物體投影到同一個物影上，那么兩 個物體間具有什么關系？由于繪畫、制圖的刺激而導致了富有文藝復興特色的學科- 透視學的興起(文藝復興時期：普遍認為發(fā)端于14世紀的意大利，以 后擴展到西歐，16世紀大道鼎盛)，從而誕生了射影幾何學。意大利 人布努雷契(1377-1446)是第一個認真研究透視法并試圖運用幾何 方法進行繪畫的藝術家。數(shù)學透視法的天才阿爾貝蒂(1401-1472)的

2、論繪畫一書 (1511)則是早期數(shù)學透視法的代表作，成為射影幾何學發(fā)展的起點。4 .對于透視法產(chǎn)生的問題給予數(shù)學上解答的第一人是德沙格 (1591-1661)法國陸軍軍官，后來成為工程師和建筑師，都是靠自 學的。1639年發(fā)表試論錐面截一平面所得結果的初稿，這部著作 充滿了創(chuàng)造性的思想，引入了無窮遠點、無窮遠直線、德沙格定理、 交比不變性定理、對合調(diào)和點組關系的不變性、極點極帶理論等。數(shù)學家帕斯卡(1623-1662) 16歲就開始研究投射與取景法， 1640年完成著作圓錐曲線論，不久失傳，1779年被重新發(fā)現(xiàn)，他 最突出的成就是所謂的帕斯卡定理，即圓錐曲線的內(nèi)接六邊形的對邊 交點共線畫家拉伊

3、爾(1640-1718)在圓錐曲線(1685)這本射影 幾何專著中最突出的地方在于極點理論方面的創(chuàng)新。德沙格等人把這種投影分析法和所獲得的結果視為歐幾里得 幾何的一部分，從而在17世紀人們對二者不加區(qū)別，但這一方法誘 發(fā)了一些新的思想和觀點：一個數(shù)學對象從一個形狀連續(xù)變化到另一形狀變換與變換不變性幾何新方法-僅關心幾何圖形的相交與結構關系，不涉及 度量二射影幾何的繁榮在19世紀以前，射影幾何一直是在歐氏幾何的框架下被研究 的，并且由于18世紀解析幾何、微積分的發(fā)展洪流而被人遺忘，到18世紀末19世紀初，蒙日的畫法幾何學及其學生們的工作，重 新激發(fā)了人們對綜合射影幾何的興趣，然而將射影幾何變革為

4、具有自 己獨立的目標與方法的學科的數(shù)學家是曾受教于蒙日的龐斯列(1788-1867)龐斯列曾任拿破侖的遠征軍的工兵中尉，1812年莫斯科戰(zhàn)役 被俘，度過了兩年鐵窗生活，在這兩年里，龐斯列不借助于任何書本， 以炭為筆，在監(jiān)獄的墻壁上譜寫了射影幾何的新篇章。獲釋后他整理 出版了論圖形的射影性質(zhì)，這部著作立即掀起了 19世紀射影幾何 發(fā)展的巨大波瀾，帶來了這門學科歷史的黃金時期龐斯列利用連續(xù)性原理引入虛元素，強調(diào)對偶原理，深入研 究了極點與極線的概念，給出了極點到極線和從極線到極點的變換的 一般表述在龐斯列用綜合的方法為射影幾何奠基的同時，德國數(shù)學家 莫比烏斯在重心計算(1827) 一書中第一次引進

5、了齊次坐標，后 被普呂克發(fā)展為更一般的形式。這種代數(shù)方法遭到了以龐斯列為首的 綜合派學者的反對，因此19世紀的射影幾何就是在綜合派的與代數(shù) 的兩大派之間的激烈爭論中前進的，支持龐斯列的還有斯坦納沙勒 和施陶特1850年前后，數(shù)學家們對于射影幾何與歐氏幾何在一般概念 與方法上已經(jīng)作出區(qū)別，但對這兩種幾何的邏輯關系不甚了了。即使 綜合派的著作中也仍然用長度的概念，實際上長度不是射影概念。施 陶特在1847年的位置幾何學中提出一套方案，給交比以重新定義：匚3/工，這樣施陶特不借助長度概念就得到了建立射影X - X X - X幾何的基本工具，從而使射影幾何擺脫了度量關系，成為與長度等度 量概念無關的全

6、新的學科，施陶特還指出：射影幾何的概念在邏輯上 要先于歐氏幾何的概念，因而射影幾何比歐氏幾何更基本。施陶特的工作鼓舞了英國數(shù)學家凱萊(1821-1895)和普呂克 的學生克萊因進一步在射影幾何概念基礎上建立歐氏幾何與非歐氏 幾何的特例，從而為以射影幾何為基礎來統(tǒng)一各種幾何學鋪平了道 路。三幾何學的統(tǒng)一1 .統(tǒng)一幾何學的第一大膽計劃是由德國數(shù)學家克萊因 (1849-1925)提出的，1872年，克萊因在愛爾朗根大學任數(shù)學教授 就職演講愛爾朗根綱領中闡述了幾何學統(tǒng)一的思想。(射影幾何， 仿射幾何，歐氏幾何)當然，并非所有的幾何都能納入克萊因的方案， 如代數(shù)幾何，微分幾何?？巳R因1886年受聘于哥廷

7、根大學擔任教授，因為這位創(chuàng)造性天才 和組織能力完美結合的他的到來，使得哥廷根大學更富科學魅力.希 爾伯特就是被克萊因引向哥廷根的最重要的年輕數(shù)學家1862-1943, 他提出了另一條統(tǒng)一幾何學的途徑-公理化方法。公理化方法始于歐幾里得，然而當19世紀數(shù)學家們重新審視 原本中的公理體系時，卻發(fā)現(xiàn)它有許多隱蔽的假設，模糊的定義 及邏輯的缺陷，這就迫使他們著手重新建立歐氏幾何以及其他包含同 樣弱點的幾何的基礎。其中希爾伯特在幾何基礎（1899）中使用 的公理化方法最為成功。第一章仿射坐標與仿射變換本章將主要介紹仿射變換的概念，并在仿射坐標系下研究圖形的仿射 不變量和仿射不變性。 1透視仿射對應定義1

8、.1共線三點的A，B，C的單比表示為（ABC），且AC（ABC）=竺 BCAC，BC是有向線段的數(shù)量，其中，點A、B稱為基點，C稱為分點。顯然，當C在A，B之間時，（ABC）V0；否則，（ABC）0。 當C為線段AB中點時，（ABC） =1。當A與C重合時，（ABC） =0； B與C重合時，（ABC）不存在。定義1.2在一平面上設有直線l和1 ,m為此平面上與l和l均 不平行的方向直線，通過直線1上任意一點A,作與m平行的直線，交 1于A，這樣得到的直線1上點到1上點的一一對應，稱為透視仿 射對應.若直線1與1相交，則交點是自對應點或二重點（不變點）。顯然，兩直線間的透視仿射對應，與方向直線有

9、關，不同的方向決定 不同的對應關系。仿上述定義，可定義兩平面n和n 間的透視仿射對應。若平面n和n 相交于直線1，則直線1上的每個點都是透視仿射對 應下的自對應點，直線1叫做透視軸，簡稱軸。當平所和。平行 時，則不存在透視軸。透視仿射對的性質(zhì)：（1）透視仿射對應保持結合性透視仿射對應使點對應點，直線對應直線，這種性質(zhì)稱為同素性。（2）透視仿射對應保持結合性點A在直線a上，經(jīng)過透視仿射對應后，對應點A 在對應直 線a上，也就是說，點和直線的結合關系在透視仿射對應下保持不 變。透視仿射對應保持共線三點的單比不變?nèi)羝矫鎛內(nèi)共線三點A, B, C經(jīng)過透視仿射對應后在平面 n 上的象是 A, B, C，

10、則(ABC) = (A B C)。證明由于 AABBCC,所以有AACBC - B C即(ABC) = (A B C)透視仿射對應保持二直線的平行性證明 設平面n內(nèi)兩直線ab,經(jīng)過透視仿射對應后，在平面 n 內(nèi)的象分別為a、b假設，,與不平行，且anb =P ，那么P 的原象 P在n上。由點和直線的結合性，點P 一定同時在直線a和b上，即anb=P, 這與ab矛盾。透視仿射對應的性質(zhì)：保持同素性；保持點和直線的結合性；保持共線三點單比不變；保持二直線的平行性。 2仿射對應與仿射變換定義2.1設同一平面內(nèi)有n條直線aa2,，a ,甲，甲2,.抑, 順次表示a1到a2 , a2到a3，。，an-1

11、到an的透視仿射對應，經(jīng)過這 一串透視仿射對應，使a1上的點與a上的點建立了一一對應，這個 對應稱為a1到an的仿射對應，用甲表示，于是有Gf-1.甲 n-2 卬方 1如果直線a1與a重合，則a1到a的仿射對應叫做a1到直線自 身的仿射變換。仿此，可定義兩平面間的仿射對應。所以兩平面間的仿射對應也是有限次透視仿射對應的結果。若兩平面重合，仿射對應稱為仿射變換。仿射對應和仿射變換都是一串透視仿射對應的乘積。因此有下列 性質(zhì)：（1）保持同素性和結合性；（2）保持共線三點單比不變；（3）保持直線的平行性。定義2.2若兩個平面間（平面到自身）的一個點對應（變換） 保持同素性，結合性和共線三點的單比不變

12、，則這個點對應（變換） 稱為仿射對應（變換）。注意：平行四邊形經(jīng)過仿射對應（變換）后，對應圖形仍為平行 四邊形；兩條平行線段經(jīng)過仿射對應（變換）后，其長度之比不變。 根據(jù)定義2。1，由透視仿射對應的性質(zhì)，顯然，透視仿射對應當nn1與。n重合時，仿射對應稱為平面n1到自身的仿射變 換。不難證明，仿射對應和仿射變換保持直線的平行性；而且，兩條 平行線段的長度之比經(jīng)仿射對應（變換）后不改變。平行四邊形經(jīng)仿 射對應和仿射變換后仍為平行四邊形。 1.3仿射坐標3.1 仿射坐標系設O - xy為平面內(nèi)笛卡兒坐標系，E（1，1）為單位點，P （x,y）是平面上一點。E1, E2, P1, P2分別為過E,

13、P所做 與y軸和x軸 平行的直線與x軸和y軸的交點。則O E1EE2和O P1P P2均為平 行四邊形。經(jīng)過一個仿射對應后，坐標系O - xy的對應圖形為O - x， y, E, E1, E2, P, P1, P2 的對應點依次為 E，E1，E2, P， P1，P2,則 O E1，E E2，和 O, P1，P P2，也都是平行四邊 形。在新坐標系O - x y中，選取E,為單位點（1, 1）,設點 P,在此坐標系下的坐標為（x, ,y）。因為.， TOC o 1-5 h z OPO Px = * =（PiEiO）, x = = （Pi Ei HYPERLINK l bookmark71 o C

14、urrent Document OE11 1O E HYPERLINK l bookmark77 o Current Document o）,1OP OP_ , _ , 一，y=a=（p2e2。），y = 年=（p2 e2 o） HYPERLINK l bookmark80 o Current Document OE22 2OE222又因為仿射對應保持單比不變，所以有x = x ,y = y定義3.1笛卡兒坐標系在仿射對應（變換）下的象叫做仿射坐標 系o（x ,y）叫點P,在仿射坐標系下的坐標，記做：P（x ,y）?，F(xiàn)在我們可以用坐標來表示共線三點單比。若用ej, e2表示OE OE,則仿射坐

15、標系表示為O - e1,OP=xe2，則有ei, +y, %仿射坐標系是笛卡兒坐標系的推廣，兩坐標軸上的測量單位不一 定相等,笛卡兒坐標系是仿射坐標系當兩軸上測量單位相等時的特殊 情況。定理3.1設共線三點P. （i=1,2,3）的仿射坐標順次為（x.，y.） （i=1,2,3）則單比|(P1P2P3)=壬fVx證明(ppp)=pp3 PP2 32 X 3 XOP _ OP OP - OP _ OEX - OE OpX - Opx = OP_OPx3 X2 X oEoE同理，y - y（頃尸yxx1x2定理3.2在仿射坐標系下，經(jīng)過兩點P1（x1,y1）P2（x2,y2）的 直線的方程為y 1

16、y 1 = 0 TOC o 1-5 h z y112證明在直線P1P2上任取一點P(x,y)，則有x - _ y - y 31 = 31x - x y - y3232即xy1xy1 = 0 x2y 21反之，凡滿足上述方程的x,y，所對應的點P （x,y）必在直線P1P2 上。所以上述方程是經(jīng)過兩點P1（x1,y1）P2（x2,y2）的直線的方程。由此可知，在仿射坐標系下，直線的方程是一次方程Ax+By+C=0 （A2+B2#0）反之，一次方程Ax+By+C=0 （A2+B220）的圖形一定是直線。3.2仿射變換的代數(shù)表示設有一個仿射變換T，將仿射坐標系O e1e2變?yōu)镺 e1 e2，將點P

17、（x,y）變成點P,且P在仿射坐標系O -e1e2下的 坐標是（x ,y）,以下我們來推導兩組坐標（x,y）與（乂，y） 之間的關系式。設O , e1 , e2 在O - e1e2下的坐標分別為（ai3，a23） ，ai1，a21，ai2，o，JL J 婦。JL JL J JLJL J ）由前面討論，我們知道P在坐標系O-e1 e2下的坐標為（x，y）.由于OP = OOr + OP而且OO= ai3ei+a23e2O P=xei +y e2另外ei = aiiei+a2ie2 電=ai2ei+a22e2所以OP(q a i o a i v ( o a i o a)(dgC十dg%)十 X (

18、a C 十d c )JL。 JL乙JL JL JL Z-i JL Z-i十)(a12C1+a22e2) (Q V 1 O X 7 1 Q a 1 t Q V 1 O X 7 1 O Q一(a x+a y+a ) g+E x+a y+a jg另外，還有OP xz C+y, e2因此x = a x + a v + a111213(1.1)V = a x + a v + a由于e，e2是兩不共線矢量，所以=定理3.3平面上的仿射變換在仿射坐標系下的代數(shù)表達式為（1。1）,其中x,y的系數(shù)滿足20 。推論不共線三對對應點唯一確定一個仿射變換。在（1.1）式中，由于20,可以解出它的逆式，艮口；氣 ”+

19、1 V 勺 1（1.2）、V =a 2 x，+。2 礦 + y 2其中20=1）順次變到點O 的仿射變換。例 1求使三點 O (0, 0), E (1, 1), P (1,(2, 3), E(2, 5), P(3,7) 解設所求仿射變換為x = a x + a V + a111213V = a x + a v + a于是有2油133=a232=a11+a12+a135= a21+a22+a23ail ai2+ai37= a21-a22+a23解此方程組，得a=l/2, a12=1/2, a13 =2, a21=-4, a22=6, a23=3 故所求仿射變換為1，11 cx - X- y +

20、222yf = -4x + 6y + 3例2 試確定仿射變換，使y軸，x軸的象分別為直線X，+礦+ 1=0和X，yf 1=0,且點（1, 1）的象為原點。解 設所求變換的逆變換為式（1。2）,于是有x=0 的象是 a X +6 y +Y0也即 x + y + 1 =0所以a X +p 1y/ +Y =0 與 x + y + 1=0 表示同一條直線，則有因此x=h x +h y + h同理，由于y=0 的象是 a xz +p y +Y =0即Ixz - y，一 1=0所以y=kx k y k另外又有（1, 1）的象為（0, 0）,所以h=l , k=l所求變換的逆變換式為x = x + yy =

21、 -x, + y, + l所求變換式為,1 1 TOC o 1-5 h z X = x- V 22，111y = x + y-1 “22利用仿射變換的代數(shù)表達式可以證明仿射變換的基本性質(zhì)，下面 我們來證明仿射變換保持共線三點單比不變。得P） P） P f V XT ）皂土t緯二占 紹】寸仿射亦掩設P1 （ X1 ,y） P2（xy P3 頃乎山/是共線三點，經(jīng)過|刀射變換 后，它們的對應點順次為共線三點P（x，y）,P（X，y）, P3（X3 ,則有* -尤 y - y .(P1 P2P3 ) = T= =K123* - * y - y*，- * y，- y -3=1 * - * y - y3

22、2323232(P1，P2, P3)=在仿射變換下，有* - *(P1 P2 P3)= * TOC o 1-5 h z V*(a*+ay+a)一(a* + a y+ a)1131231311112113(a*+ay+a)一(a* + a y+ a)11 31231311 212213a(* * ) a(yy)=U311231a(* * ) a(yy)11321232=k所以(P1 P2P3)=(P1，P2, P3，) 定義3.2平面上點之間的一個線性變換* = a * + a y + a111213y = a * + a y + a=叫做仿射變換。3.3幾種特殊的仿射變換（1）正交變換當仿射變

23、換的系數(shù)矩陣T滿足正交條件：TT =T T=E，即“212 T a 2 + a 2 = 1a a + a a = 0、11 1221 22時，仿射變換稱為正交變換。正交變換的代數(shù)表達式為xr = x cos0 - dy sin0 + ayr = x sin 0 +6y cos0 + a偵23(。=土 1)位似變換當仿射變換的系數(shù)滿足下列條件時，仿射變換稱為位似變換，x = kx + a13, k#0y，= ky + a23壓縮變換x = axy，= by，0相似變換當仿射變換的系數(shù)滿足下列條件時，稱為相似變換，x = a x-Sb y + a y = b x + Sa y + a236 =1a

24、1bi1-Sb1Sa1=(a 2 + b2)壬0相似變換總能分解為一個正交變換與一個位似變換的乘積。4仿射性質(zhì)定義4.1圖形經(jīng)過仿射變換后保持不變的性質(zhì)（量）稱為圖形 的仿射性質(zhì)（仿射不變量）。同素性，結合性，以及平行性都是仿射性質(zhì)；共線三點的單比是 仿射不變量。利用仿射變換的代數(shù)表示同樣可以證明仿射性質(zhì)。定理4.1兩條平行直線經(jīng)過仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線。推論1兩條相交直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l相交直線。推論2共點直線經(jīng)仿射變換后，仍變?yōu)楣颤c直線。定理4.2兩條平行線段之比是仿射不變量。定理4.3兩個三角形面積之比是仿射不變量。證明 設在笛卡兒坐標系下，不共線三點A（x1，y1），B（x2,y2），C（x3,y3）經(jīng)過仿射變換（1。1）后，對應點分別為A （