函數(shù)的周期性及其應(yīng)用解題方法

1、4/4函數(shù)的周期性及其應(yīng)用解題方法方法提煉抽象函數(shù)的周期需要根據(jù)給出的函數(shù)式子求出，常見的有以下幾種情形：(1)若函數(shù)滿足f(xT)f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；(2)若滿足f(xa)f(x)，則f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a是函數(shù)的一個(gè)周期；(3)若滿足f(xa)1/f(x)，則f(x2a)f(xa)a1/f(xa)f(x)，所以2a是函數(shù)的一個(gè)周期；(4)若函數(shù)滿足f(xa)1/f(x)，同理可得2a是函數(shù)的一個(gè)周期；(5)如果T是函數(shù)yf(x)的周期，則kT(kZ且k0)也是yf(x)的周期，即f(xkT)f(x)；若已知區(qū)間m，n(mn)的圖

2、象，則可畫出區(qū)間mkT，nkT(kZ且k0)上的圖象沒有等價(jià)變形而致誤【典例】函數(shù)f(x)的定義域Dx|x0，且滿足對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍錯(cuò)解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)為偶函數(shù)(3)f(44)f(4)

3、f(4)2，f(164)f(16)f(4)3，由f(3x1)f(2x6)3，得f(3x1)(2x6)f(64)又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，(3x1)(2x6)64.7/3x5.分析：(1)從f(1)聯(lián)想自變量的值為1，進(jìn)而想到賦值x1x21.(2)判斷f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(x)的關(guān)系，從而想到賦值x11，x2x.即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出現(xiàn)f(M)f(N)的形式，再結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為MN或MN的形式求解正解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f

4、(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)為偶函數(shù)(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.由f(3x1)f(2x6)3，變形為f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等價(jià)于f|(3x1)(2x6)|f(64)又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.解得7/3x1/3或1/3x3或3x5.x的取值范圍是答題指導(dǎo)：等價(jià)轉(zhuǎn)化要做到規(guī)范，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)要有明確的語言表示如“M”等價(jià)于“N”、“M”變形為“N”(2)要寫明轉(zhuǎn)化的條件如本例中：f(x)為偶函數(shù)，不等式(*)等價(jià)于f|(3x1)(2x6)|f(64)(3)轉(zhuǎn)化的結(jié)果要等價(jià)如本例：由于f|(3x