幾何模型：三垂直模型

1、三垂直模型引例 在 ABC中， C =90 , AC BC ,直線 MN經(jīng)過點(diǎn) C，且 AD MM ,BE MN （1） MN繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到圖 1的位置時(shí)，探究 DE,AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系并證明。（2） MN繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置時(shí)，請(qǐng)你在（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并證明。（ 3） MN繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到圖 1的位置時(shí)，請(qǐng)你在（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并證明。典題精煉：例 1.(1)已知：如圖，ACB90 , CDAB，CEBC, 過E點(diǎn)作 AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn) F, 求證： AB=FC(2) 如圖，DCE=90,CD=CE,ADAC,BEAC, 垂足

2、分別是A,B. 若 AD=4,AB=3 ,求 BE的長度 .例2.如圖所示，直角梯形ABCD中 ,ABC=90,AD PBC,AB=BC,E是的中點(diǎn) ,CEBD1）求證： BE=AD2）求證： AC是線段 ED的垂直平分線3） DBC 是等腰三角形嗎 請(qǐng)說明理由三垂直模型一選擇題1如圖，直線 l 過等腰直角三角形ABC 頂點(diǎn) B， A 、 C 兩點(diǎn)到直線 l 的距離分別是2和3，則 AB 的長是（）A5BCD2如圖， AE AB 且 AE=AB ，BC CD 且 BC=CD ，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是（）A 50B 62C 65D 683如圖，已知直線l 1

3、l 2 l3 l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則AD=（）A B 2CD 3354如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直線重合然后繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，恰好 B 點(diǎn)在中間的一條直線上，A 點(diǎn)在下面的一條直線上上、中兩平行線間的距離是m，中、下兩平行線間的距離是n，那么 n： m 等于（）A ：1B（1）：1C（+1）：1D2：5如圖， 在直線 L 上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1、3、3.5，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、 S2 、S3、 S4，則 S1+2S2+2S3+S4

4、=（）A 7.5B 6.5C 4.5D 46如圖， ABC 是等腰直角三角形，DE 過直角頂點(diǎn)A ， D= E=90 ，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）CD=AE ； 1= 2； 3= 4； AD=BE A1 個(gè)B2個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)7如圖所示， AB BC，CD BC ，垂足分別為B 、C，AB=BC ，E 為 BC 的中點(diǎn)，且 AE BD于 F，若 CD=4cm ，則 AB 的長度為（）A 4cmB 8cmC 9cmD 10cm8如圖，在 ABC 中， C=90， AC=BC=4 ， D 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E、 F 分別在 AC 、 BC 邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) E 不與點(diǎn) A 、C 重合），且保持

5、AE=CF ，連接 DE 、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論： DFE 是等腰直角三角形； 四邊形 CEDF 不可能為正方形； 四邊形 CEDF 的面積隨點(diǎn)E 位置的改變而發(fā)生變化； 點(diǎn) C 到線段 EF 的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1 個(gè)B2個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)9如圖，在 ABC 中，已知 C=90 ，AC=BC=4 ， D 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E、 F 分別在 AC 、 BC 邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) E 不與點(diǎn) A 、 C 重合），且保持 AE=CF ，連接 DE 、 DF、 EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論： 四邊形 CEDF 有可能成為正方形； DFE 是等腰直角三角形；

6、 四邊形 CEDF 的面積是定值； 點(diǎn) C 到線段 EF 的最大距離為其中正確的結(jié)論是（）A B C D 10在直角三角形ABC 中， C=90，BC=2 ，以 AB 為邊作正方形ABDE ，連接 AD 、BE交 O，CO=，則 AC 的長為（）A 2B3C4D11兩個(gè)全等含30、 60角的三角板ADE 與三角板ABC 按如圖所示放置，E、 A 、 C 三點(diǎn)在同一條直線上， 連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) M ，分別連接ME 、MC ，那么 MEC 等于（）A 30B 60C 45D 8012如圖， D 為 ABC 的 AB 邊上的一點(diǎn)， DCA= B，若 AC=cm，AB=3cm ，則 AD的

7、長為（）A cmBcmC 2cmDcm13如圖，正方形G、 H 分別落在邊ABCD 的邊長為 25，內(nèi)部有 6 個(gè)全等的正方形，小正方形的頂點(diǎn) AD 、 AB 、 BC、 CD 上，則每個(gè)小正方形的邊長為（ ）E、F、A 6B 5CD二填空題（共4 小題）14如圖所示，直線于點(diǎn) F，DE a 于點(diǎn)a 經(jīng)過正方形ABCD 的頂點(diǎn) A ，分別過正方形的頂點(diǎn)E，若 DE=8 ，BF=5 ，則 EF 的長為_B、 D作 BF a14圖15圖15如圖所示，在 ABC 中， AB=AC=2 ， BAC=90 ，直角 EPF 的頂點(diǎn) P 是 BC 的中點(diǎn)，兩邊 PE，PF 分別交 AB ，AC 于點(diǎn) E，

8、F，給出以下四個(gè)結(jié)論： BE=AF ， SEPF 的最小值為， tan PEF=， S 四邊形 AEPF=1 ， 當(dāng) EPF 在 ABC 內(nèi)繞頂點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E 不與 A ， B 重合），上述結(jié)論始終正確是_16如圖所示，在 ABC 中， C=90， AC=BC=4 ，D 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F 分別在 AC 、 BC 邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) E 不與點(diǎn) A ， C 重合），且保持 AE=CF ，連接 DE ， DF， EF在此運(yùn)動(dòng)變化過程中，有下列結(jié)論： DEF 是等腰直角三角形 四邊形 CEDF 不可能為正方形 四邊形 CEDF 的面積隨點(diǎn)E 位置的改變而發(fā)生變化 點(diǎn) C 到線段 EF 的最

9、大距離為其中正確的有_（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號(hào)）17如圖， RtABC 中，AC=BC ，ACB=90 ，CF 交 AB 于 E，BD CF，AF CF，DF=5 ， AF=3 ，則 CF= _ 三解答題18（ 1）如圖（ 1），已知：在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，直線 m 經(jīng)過點(diǎn) A ， BD 直線 m， CE 直線 m，垂足分別為點(diǎn) D、 E證明： DE=BD+CE （2）如圖（ 2），將（ 1）中的條件改為：在 ABC 中， AB=AC ，D、A、 E 三點(diǎn)都在直線 m 上，并且有 BDA= AEC= BAC= ，其中 為任意銳角或鈍角請(qǐng)問結(jié)論 DE=BD+CE

10、 是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（3）拓展與應(yīng)用：如圖（ 3）， D 、E 是 D、 A 、 E 三點(diǎn)所在直線 m 上的兩動(dòng)點(diǎn)（ D、 A 、 E 三點(diǎn)互不重合） ，點(diǎn) F 為 BAC 平分線上的一點(diǎn)，且 ABF 和 ACF 均為等邊三角形，連接 BD 、 CE，若 BDA= AEC= BAC ，試判斷 DEF 的形狀19（本題有 3 小題，第（ 1）小題為必答題，滿分 5 分；第（ 2）、（3）小題為選答題，其中，第（ 2）小題滿分 3 分，第（ 3）小題滿分 6 分，請(qǐng)從中任選 1 小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評(píng)分）在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC

11、，直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C，且 AD MN 于 D ，BE MN 于 E（1）當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC CEB ； DE=AD+BE ；（2）當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD BE；（3）當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE 、AD 、 BE 具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明注意：第（ 2）、（ 3）小題你選答的是第2 小題20已知：如圖，在 Rt ABC 中， ACB=90 ， AC=BC ，D 是 AB 的中點(diǎn)， E、 F 分別在 AC 、 BC 上，且 ED FD 求證： S 四邊形 EDFC

12、= SABC 21如圖， 在等腰 Rt ABC 中， C=90 ，D交 CD 的延長線于 F， CH AB 于 H，交 AE是斜邊 AB 上任一點(diǎn)， AE CD 于 E，BF CD 于 G，求證： BD=CG 22如圖， 已知在 CDE 中， DCE=90 ，CD=CE ，直線 AB 經(jīng)過點(diǎn) C，DA AB ，EB AB ，垂足分別為 A 、B ，試說明 AC=BE 的理由解：因?yàn)?DA AB ， EBAB （已知）所以 A= （_）因?yàn)?DCA= A+ ADC （_）即 DCE+ RCB= A+ ADC 又因?yàn)?DCE=90 ，所以 _= ECB 在 ADC 和 ECB 中，所以 ADC ECB （_）所以 AC=BE （_）23在 ABC 中， ACB=90 ，AC=BC ，直線