2021年河南省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：類比、拓展探究題

1、2021年河南省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：類比、拓展探究題2021年河南省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：類比、拓展探究題例 1(2019河南22題10分)在ABC中，CACB，ACB.點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DP，連接AD，BD，CP.(1)觀察猜想如圖，當(dāng)60時， 的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是.類型一圖形旋轉(zhuǎn)、平移和折疊引起的探究 (2013、20152019.22)典例精講例 1(2019河南22題10分)在ABC中，CACB(1)【思維教練】要求 的值，可將轉(zhuǎn)化為求BD和CP所在的CAP和BAD的相似比，由60，結(jié)合CACB，得到

2、ABC為等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，PAPD，APD60，得到APD為等邊三角形，結(jié)合PAB為公共角，繼而證明CAPBAD，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得BDCP，ACPABD，繼而求得 的值，最后作直線BD與直線CP的夾角，利用三角形內(nèi)角和為180，求得這兩條直線的夾角大小.【自主作答】解：(1)1，60；(1)【思維教練】要求 的值，可將轉(zhuǎn)化為求BD和【解法提示】ACB60，APD60，ACBC，APPD，ACB與APD都是等邊三角形，ACAB，APAD，而CAPCABPABPADPABBAD，APCADB(SAS)BDCP， 1；APCADB，ACPABD，如解圖，設(shè)CP與BD的延長線交于

3、點I，CIB180PCBCBD180(60ACP)(60ABD)60ACPABD60，直線BD與直線CP所在直線的夾角等于60.例1題解圖【解法提示】ACB60，APD60，ACBC(2)類比探究如圖，當(dāng)90時，請寫出 的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖的情形說明理由.(2)類比探究(2)【思維教練】要求線段BD與CP的比值，可以轉(zhuǎn)化為求BD和CP所在的CAP和BAD的相似比，根據(jù)題意可知ACB90，CACB，ABC為等腰直角三角形，可得 的值，同理，由旋轉(zhuǎn)可知APD90，APPD，可得 的值.已知兩條對應(yīng)邊的比值相等，可以推出PAD和CAB相等，繼而推出PAC和DAB相等

4、，從而證明DABPAC，即可解決問題.【自主作答】(2) ，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為45.(2)【思維教練】要求線段BD與CP的比值，可以轉(zhuǎn)化為求BDCABDACPADDAC.即DABPAC.DABPAC. ，DBAPCA.設(shè)BD交CP于點G，BD交CA于點H.如解圖，BHACHG，CGHBAH45；例1題解圖ACB90，CACB，CAB45， .同理可得：PAD45， ， ，CABPAD.理由如下：CABDACPADDAC.即DABPA備用圖(3)解決問題當(dāng)90時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時 的值.備用圖(3)解

5、決問題(3)【思維教練】要求當(dāng)點C，P，D在同一直線上時 的值，需分兩種情況進行討論：第一種當(dāng)點P在線段EF上時，結(jié)合第(2)問的結(jié)論，和中位線的性質(zhì)得到CP與AD的數(shù)量關(guān)系；第二種當(dāng)點D在線段PC上時，利用第(2)問的結(jié)論和中位線的性質(zhì)，得到CP和AD的數(shù)量關(guān)系，即可求解.【自主作答】(3)2 或2 .(3)【思維教練】要求當(dāng)點C，P，D在同一直線上時 【解法提示】分兩種情況：如解圖，由EFAB得，CEPCAB45，由題可知，CPADPA90，在RtAPC中，點E為AC中點PE ACAECE.ECPEPC67.5，EAPEPA22.5.DAC67.5ECP.DADC，設(shè)DAa，則DCDAa，

6、PD a.PCa a. 2 ；例1題解圖【解法提示】分兩種情況：如解圖，由EFAB得，CEP如解圖，可設(shè)APDPb，則AD b，由EFAB，PEACAB45，在RtCPA中，E為AC的中點，PE ACAEEC，可證ECDEAD22.5，易得CDAD b，CP bb， 2 .例1題解圖如解圖，可設(shè)APDPb，則AD b，由EF類型二圖形形狀變化引起的探究(2014、2012.22)典例精講例 2(2014河南22題10分)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖，ACB和DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE.填空：AEB的度數(shù)為；線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為；類型二圖形形狀變化引起的探究典例精講

7、例 2(2014河南(1)【思維教練】由ACB和DCE均為等邊三角形可證ACDBCE，即可知AD與BE之間的數(shù)量關(guān)系，再由等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)可求得AEB；【自主作答】(1)60；ADBE；(1)【思維教練】由ACB和DCE均為等邊三角形可證A【解法提示】如解圖，ABC和DCE均為等邊三角形，ACBC，CDCE，ACBECD60，ACDDCBDCBBCE60，ACDBCE，ACDBCE(SAS)，ADCBEC，ADBE，CDECED60，ADCBEC120，AEBBECCED60.ACDBCE，ADBE.例2題解圖【解法提示】如解圖，ABC和DCE均為等邊三角形，(2)拓展探究如圖，A

8、CB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點A、D、E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE.請判斷AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)拓展探究(2)【思維教練】由ACB和DCE均為等腰直角三角形可證ACDBCE，即可知ADBE，ADCBEC，再由DCE是等腰直角三角形，可知DMCM，CDECED45，從而證明結(jié)論；【自主作答】(2)AEB90，AEBE2CM；理由：ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，ACDBCE(SAS)，ADBE，BECADC18045135，

9、AEBBECCED1354590.在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，CMDMME，DE2CM，AEADDEBE2CM；(2)【思維教練】由ACB和DCE均為等腰直角三角形可證(3)解決問題如圖，在正方形ABCD中，CD ，若點P滿足PD1，且BPD90，請直接寫出點A到BP的距離.(3)解決問題(3)【思維教練】根據(jù)題意可作以點D為圓心，PD長為半徑的圓，再由過點B作圓的切線可知分兩種情況：第一種情況如解圖，過點A作AMBP于點M，過點A作AP的垂線，交BP于點P，易證APDAPB，即可得PBPD，由勾股定理可求PB的長，從而求得PP的長，再由APP是等腰直角三角形可得AM PP

10、即可求解；第二種情況如解圖，與第一種情況同理可得AM PP，運用勾股定理和全等三角形求出PB與PB的長即可求解.【自主作答】(3)【思維教練】根據(jù)題意可作以點D為圓心，PD長為半徑的圓【解法提示】PD1，BPD90，BP是以點D為圓心，以1為半徑的D的切線，點P為切點第一種情況：如解圖，過點A作AMBP于點M，過點A作AP的垂線，交BP于點P，可證得APDAPB，PDPB1，APAP，CD ，BD2，PD1，PB ，AM PP (PBPB) ；第二種情況：如解圖，同理可得AM PP (PBBP) .綜上所述，點A到BP的距離為 例2題解圖例2題解圖【解法提示】PD1，BPD90，BP是以點D為

11、圓類型三動點引起的探究典例精講 例 3在ABC中，BAC90，ABAC，點D為直線BC上一動點(點D不與點B，C重合)，以AD為腰作等腰直角DAF，使DAF90，連接CF.(1)觀察猜想如圖，當(dāng)點D在線段BC上時，BC與CF的位置關(guān)系為；CF，DC，BC之間的數(shù)量關(guān)系為；類型三動點引起的探究典例精講 例 3在ABC中，BA(1)【思維教練】要求BC與CF的位置關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為求BCF的度數(shù)，根據(jù)題意可知ABC和ADF是等腰直角三角形，從而推出DABFAC，繼而得到ACFABD，最后根據(jù)余角的定義即可求解；根據(jù)DABFAC，可得到CFBD，即可求解；【自主作答】(1)BCCF；BCCFDC；(1)

12、【思維教練】要求BC與CF的位置關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為求B【解法提示】ABC和ADF都是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90，BADCAF，在DAB與FAC中， ，DABFAC(SAS)，ABDACF，又ABCACB90，ACBACF90，即BCCF；由知DABFAC，CFBD，BCBDCD，BCCFDC.【解法提示】ABC和ADF都是等腰直角三角形，(2)數(shù)學(xué)思考如圖，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，(1)中的、結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明；(2)數(shù)學(xué)思考(2)【思維教練】要求BC與CF的位置關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為求BCF的度數(shù)，根據(jù)題意可知ABC

13、和ADF是等腰直角三角形，從而推出DABFAC，繼而得到ACFABD，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；根據(jù)DABFAC，可得到CFBD，即可求解；【自主作答】(2)BCCF成立；BCCFDC不成立，結(jié)論：DCCFBC.(2)【思維教練】要求BC與CF的位置關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為求B證明：ABC和ADF都是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90，BADCAF，在DAB與FAC中， DABFAC(SAS)，ABDACF，BAC90，ABAC，ACBABC45，ABD18045135，BCFACFACB1354590，CFBC.CDDBBC，DBCF，DCCFBC；證明：ABC和ADF都是等腰直角三角形，(3)拓展延伸如圖，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，將DAF沿線段DF翻折，使點A與點E重合，連接CE，CF，若4CDBC，AC2 ，請直接寫出線段CE的長.(3)拓展延伸(3)【思維教練】過點A作AHBC于點H，過點E作EMBD于點M，由等腰三角形的性質(zhì)求出BC的長，即可求出CD的長，則AH，HD的長即可求出，通過證明ADHDEM，求出EM，CM的長，最后利用勾股定理求出CE的長.(3)線段CE的長為3 .【自主作答】(3)【思維教練】過點A作AHBC于點H，過點E作EMB【解法提示】如解圖，過點A作AHBC于點H，過點E作EMBD交BD的延長線于