狀態(tài)空間分析法的特點及其應(yīng)用

1、狀態(tài)空間分析法的主要特點及其應(yīng)用引言60年代以前，研究自動控制系統(tǒng)的傳統(tǒng)方法主要使用傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 描述，研究對象是SISO系統(tǒng)，這樣建立起來的理論就是現(xiàn)在所說的“古典控制 理論”。隨著宇航和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展及電子計算機的出現(xiàn)，控制系統(tǒng)日漸復(fù)雜 （MIMO,時變，不確定，耦合，大規(guī)模），傳統(tǒng)的研究方法難以適應(yīng)新的形勢。在50s后期，Bellman等人提議使用狀態(tài)變量法，即狀態(tài)空間法來描述系統(tǒng)，時 至今日，這種方法已成為現(xiàn)代控制理論的基本模型和數(shù)學(xué)工具。所謂狀態(tài)空間是指以狀態(tài)變量X1，X2 Xn為軸所構(gòu)成的n維向量空間。這 樣，系統(tǒng)的任意狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一個點表示。利用狀態(tài)空間的觀

2、點分 析系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間法，狀態(tài)空間法的實質(zhì)不過是將系統(tǒng)的運動方程寫成 一階微分方程組，這在力學(xué)和電工上早已使用，并非什么新方法，但用來研究控 制系統(tǒng)時具有如下優(yōu)點。1、適用面廣：適用于MIMO、時變、非線性、隨機、采樣等各種各樣的系 統(tǒng)，而經(jīng)典法主要適用于線性定常的SISO系統(tǒng)。2、簡化描述，便于計算機處理：可將一階微分方程組寫成向量矩陣方程， 因而簡化數(shù)學(xué)符號，方便推導(dǎo)，并很適合于計算機的處理，而古典法是拉氏變換 法，用計算機不太好處理。3、內(nèi)部描述：不僅清楚表明I-O關(guān)系，還精確揭示了系統(tǒng)內(nèi)部有關(guān)變量及 初始條件同輸出的關(guān)系。4、有助于采用現(xiàn)代化的控制方法：如自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制等

3、。上述優(yōu)點便使現(xiàn)代控制理論獲得了廣泛應(yīng)用，尤其在空間技術(shù)方面還有極大成 功。狀態(tài)空間法的缺點：1、不直觀，幾何、物理意義不明顯：不象經(jīng)典法那樣， 能用Bode圖及根軌 跡進行直觀的描述。對于簡單問題，顯得有點煩瑣。2、對數(shù)學(xué)模型要求很高：而實際中往往難以獲得高精度的模型，這妨礙了它的 推廣和應(yīng)用。2.狀態(tài)空間分析法在部分系統(tǒng)中的應(yīng)用2.1狀態(tài)空間分析法在PWM系統(tǒng)中的應(yīng)用狀態(tài)空間分析法不僅適用于時變系統(tǒng)（例如PWM系統(tǒng)），而且可以將其簡 化，同時便于計算機處理。在許多控制系統(tǒng)中，包括直流和交流電源系統(tǒng)，采用了脈沖寬度調(diào)制（衛(wèi)WM） 方式?？捎糜谟嬎銠C和重要負荷的UPS（不停電供電電源），采用P

4、WM，除對輸 出電壓進行調(diào)節(jié)外，還可通過合理選擇每周期脈沖數(shù)，消除指定的高次諧波，并 可加快系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度。在對DC 一 Dc變換器等只具有正脈沖調(diào)制的系統(tǒng) 分析中，如滿足一定條件，則可運用狀態(tài)空間平均值法。對交變的PWM系統(tǒng)， 每周期系統(tǒng)狀態(tài)變化較大，有的變量正負值交替變化，因而不能運用平均值法分 析，故采用狀態(tài)空間分析方法。PWM系統(tǒng)通常均含開關(guān)器件，不同的脈沖間隔對應(yīng)于開關(guān)器件的不同狀態(tài)， 即器件的導(dǎo)通或開斷。開關(guān)狀態(tài)的變化引起系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)的變化，則描述系統(tǒng) 運動過程的狀態(tài)方程也相應(yīng)改變。設(shè)輸出脈沖波形如圖i所示，每周期有k個脈沖，正負脈沖數(shù)各一半，且設(shè) 每個脈沖前沿可調(diào)，其時刻記

5、為tj，j=1，3, 5,，2k 一 1，為奇數(shù);脈沖后沿固定，記為t1=2, 4，2k,為偶數(shù)。記在時間-thi內(nèi)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣人，輸入矩陣B和輸出矩陣C分別記為AhBhChh=1, 2，2k。 則系統(tǒng)在各脈沖間隔內(nèi)的狀態(tài)方程為： X = A X + B.Uy=Ch x TOC o 1-5 h z T 一、.由于一周期T內(nèi)各脈沖寬度相等;記為巳。兩個脈沖間隔為K。則零電平寬度為h n = K -氣。對各區(qū)間引入邏輯變量q (t)。) T (n中亍)T OHe擊(t-【1 (n -七T + HEt()丁d，(t )=1-d (t)ii則描述多脈沖系統(tǒng)的多組狀態(tài)方程式可寫成如下一個完整的表達

6、式： X (t L A (t )X (t)+ B (t U (t)y (t L C (t) X (t)式中從)=工 d (t )氣_1+d (t 如 B(t)=工 d (t)B2 + d (t 如. C(t)=2d (t)C . + d (t)c i=1分析對上式有以下結(jié)論：、多脈沖調(diào)制系統(tǒng)為時變系統(tǒng)，其狀態(tài)方程具有時變系數(shù)A(t), B(t), C(t)。(2)、如果Dj const，系統(tǒng)處于定寬穩(wěn)定工作狀態(tài)，即在無擾動情況下，PWM 系統(tǒng)為周期時變的線性系統(tǒng)，其周期為T，即有A(t)= A(t + T)，B(t)=B(t + T)， C (t )= C (t + T )(3)、在擾動及控制

7、作用下，氣,H n，A(tB(t)為系統(tǒng)狀態(tài)與激勵的函數(shù)，此時系 統(tǒng)為時變非線性的。有 di )=l當系統(tǒng)存在擾動作用時，設(shè)U(t)= U + U (t) D = D + d , H = T - 有 di )=l TOC o 1-5 h z sgn(Dn-D),te(n+)T-Dn, n+ T-D k，0，其它+1z0式中sgn(z)= 0如果z = 0-1z 0系統(tǒng)狀態(tài)變量在擾動作用下變化為:x (t)= X + X Q在無擾動作用時則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程為：壹d(t)A + 尚)+Ed& + gXi 2i-1 i 2ii 2i-1 i 2ii =1i=1由于所選狀態(tài)量在逆變器改變工作量較大。由于

8、所選狀態(tài)變量在逆變器改變工作 狀態(tài)時均為連續(xù)的，故采用遞推方法求解。狀態(tài)方程組采用定步長四階龍格一庫 格法求解，步長h=0.0004s，計算換向過程的步長改為h=0.00001s通過計算機進 行求解。多脈沖寬度調(diào)制系統(tǒng)由于其內(nèi)部非線性開關(guān)器件狀態(tài)的變化，使其電路結(jié)構(gòu) 或參數(shù)也發(fā)生相應(yīng)變化，因而描述系統(tǒng)運動過程需用多組狀態(tài)方程，即為非線性 時變系統(tǒng)。在引入一些反映系統(tǒng)工作特點的變量后，通過給出完整的系統(tǒng)狀態(tài)方 程式和當存在擾動系統(tǒng)進行PWM時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)方程，并求出了穩(wěn)態(tài)解。 用這些方程可對系統(tǒng)進行計算機輔助分析。這種方法還可用于系統(tǒng)的CAD，例 如改變?yōu)V波器的結(jié)構(gòu)或參數(shù)，通過計算對各種方案

9、進行比較，從中擇優(yōu)。2。2狀態(tài)空間分析法在化工系統(tǒng)中的應(yīng)用狀態(tài)空間分析法不僅適用于多變量、非線性的系統(tǒng)，而且可以用于系統(tǒng)預(yù)測， 能從一定深度上揭示系統(tǒng)運動的規(guī)律和機制，較全面地反映系統(tǒng)各種因素和變量 之間的相互聯(lián)系。化工過程通常是多變量、非線性的，將過程多個變量反映到一個多維狀態(tài)數(shù) 據(jù)空間里，采用狀態(tài)空間方法分析可以更全面、直觀和有效地描述過程狀態(tài)的變 化。多變量分析方法中的主成分分析PCA(Principle Component Analysis)是目前常 用的方法。獨立成分分析ICA(Independent Component Analysis)是近幾年在PCA 基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新方法

10、，分解出的各分量之間相互獨立的特點，使ICA 在信號處理領(lǐng)域，尤其是盲源信號分離(Blind Source Separation)方面受到廣泛的 關(guān)注。化工過程的狀態(tài)空間是確定的，可以通過過程的性質(zhì)作出確定地判斷。通 過ICA算法從狀態(tài)空間中計算出對應(yīng)的獨立分量，實現(xiàn)了過程狀態(tài)空間確定。 通過仿真，證實了這種狀態(tài)空間確定方法的合理性。2。2。1多變量化工過程的狀態(tài)空間表征系統(tǒng)運動的信息稱為系統(tǒng)狀態(tài)(States)，確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立(數(shù)目 最少的)變量稱為狀態(tài)變量。如果狀態(tài)變量有n個，一般記為X1，X2，Xn。 把描述系統(tǒng)狀態(tài)的狀態(tài)向量看作向量X的分量，則稱X為n維狀態(tài)向量，記為 X XX

11、2 X T，時間總是獨立的，在狀態(tài)空間中獨占一維，給定t=t0時初 始狀態(tài)向量X(t0)及tNt0的輸入向量，則tNt0的系統(tǒng)狀態(tài)可由狀態(tài)向量X(t)唯 一確定。如果用函數(shù)進行表示，則:State=f(符合基本單位變量的集)。下面分別對各子集中所包含的變量進行枚舉：時間是統(tǒng)一的，t集合中元素個數(shù)等于1。M和N是有關(guān)體系物料組成的變 量，在過程中如果總共存在k種物質(zhì)，那么可以對應(yīng)于i個獨立組成成份。物質(zhì) 的質(zhì)量和量(摩爾數(shù))存在線性相關(guān)，可以用系統(tǒng)所包含的原子數(shù)乘原子量(常數(shù)) 得到質(zhì)量，所以，M和N的交集中元素的數(shù)目為汀按照集中參數(shù)考慮系統(tǒng)，那 么溫度在均勻流股中是一致的，用一個變量表示，T集

12、合中的元素個數(shù)等于1。 在L集中，用長度描述三維幾何空間，空間中所有變量，都可以表示為不大于3 個長度變量的線性組合，所以L集的元素個數(shù)不大于3,其個數(shù)用j表示。在上 述集合之間不存在交集，因此作為上述集合的并集，系統(tǒng)中具有基本單位變量的 集合中，元素的個數(shù)等于各子集的元素數(shù)量之和。通過以上推論，得到結(jié)論:描述一個正常運行的化工過程，按照集中參數(shù)進 行考慮，用來描述其狀態(tài)的獨立變量數(shù)目DN=2+i+j式中i表示系統(tǒng)中獨立組分 的數(shù)量，iN1;j表示需要考慮的三維幾何空間的維數(shù)，j3。如果用時間序列對 系統(tǒng)進行描述，時間序列的數(shù)目SLN=1+i+j。根據(jù)Duhem定律，考慮的是系統(tǒng) 的穩(wěn)態(tài)行為，

13、流股按照線性描述，依據(jù)本文所述結(jié)論:1+1+i=i+2。結(jié)論是一致的。 確定了空間維數(shù)，可以找出和維數(shù)對應(yīng)的實際存在的或者概念上定義的最小變量 組作為狀態(tài)變量對系統(tǒng)進行描述，同時選擇有效信息損失最少和更符合過程機理 特征的算法來表征系統(tǒng)特性。2.2.2多變量統(tǒng)計方法和狀態(tài)空間的確定在一定的鄰域內(nèi)，非線性化工過程可以按照線性系統(tǒng)描述以簡化問題的難 度。按照線性狀態(tài)空間，確定的空間內(nèi)的變換不會增加空間維數(shù)。多變量分析方 法的樣本存在于狀態(tài)空間中或通過狀態(tài)輸出方程來表達。采用多變量統(tǒng)計的方法 在數(shù)據(jù)空間內(nèi)進行變換，可以實現(xiàn)變量去相關(guān)和特征提取，從而獲得不相關(guān)的變 量組。對于線性系統(tǒng)，多變量線性統(tǒng)計方

14、法的不相關(guān)分量數(shù)目等于系統(tǒng)狀態(tài)變量 數(shù)目，得到的不相關(guān)分量是狀態(tài)空間坐標變換后的一組狀態(tài)變量;對于非線性的 線性近似，當指定了最小變量數(shù)目后，通過多變量統(tǒng)計方法獲得的變量組也可以 被認為是線性近似的狀態(tài)變量的線性變換。狀態(tài)空間可以通過多變量統(tǒng)計來近似 確定。2。2。2。1主成分分析主成分分析是應(yīng)用最廣的多變量統(tǒng)計方法，該方法在數(shù)據(jù)空間內(nèi)尋找原始數(shù) 據(jù)樣本的離差最大方向，通過去相關(guān)確定一個正交坐標系，按照離差降低順序， 選取其中主要的幾個向量(主成分或主元)，省略樣本分布密度低的向量完成數(shù)據(jù) 降維。Karhunen-Loeve變換(KL變換)是線性主成分分析的空間變換方法。KL變 換的原理如下:

15、設(shè)X是經(jīng)標準化的含m個變量n個樣本的樣本集，矩陣X可以分 解為m個向量的外積之和。TTTX= t|p| + t2p2 + 升 tmpmT= t t2 tn 即x= ipj 或 r= xp式中T稱為得分(Score)矩陣。P稱為負荷(Load-ing)矩陣，即多維空間內(nèi)的 正交坐標系，其中 pTp = 0(i#j)， pTp =1(i=j)。A= X)式中A是P的特征值數(shù)組。主成分Tj對系統(tǒng)信息貢獻率：卜N Sa從統(tǒng)計學(xué)觀點，累計主成分貢獻率大于80%，可認為能夠基本反映系統(tǒng)信息。 分量貢獻率是目前多。變量分析方法判斷能否正確反映系統(tǒng)的一個重要標準。 KL變換是線性的，非線性狀態(tài)可以用線性方法近

16、似描述。以下算例通過分量貢 獻率來說明多變量統(tǒng)計方法描述的近似程度。構(gòu)造矩陣X1，X2，X3:X 1X2X3lx，x，x + 3x ,3x + 5x X 1X2X3 TOC o 1-5 h z I 121212Ik，x，x 3-5 + 3x ,3x + x 4，x 3-5 + x 412121212 ILx + x /20，x + x /20,x + x + x /201323123式中，xl, x2, x3是由Matlab產(chǎn)生的隨機數(shù)組。ki=2.906 0ki=2.906 0L 094 0 0 0.2= 3.221 3 L639 8 0.1304 0.008 4 0.000 1&3=L 9

17、48 1 L 046 0 0. 005 9.X1，X2存在于x1，x2構(gòu)成的2維數(shù)據(jù)空間，X3疊加了幅度為5%的x3，看作 是一維噪聲。選取2主成分的情況下，X1，X2, X3的主成分貢獻率分別為100%， 97%，99%。對于線性系統(tǒng)主成分個數(shù)等于空間維數(shù)，線性PCA完全描述系統(tǒng); 對于非線性系統(tǒng)，按照線性PCA計算可以很大程度上準確描述系統(tǒng);噪聲會增加 數(shù)據(jù)空間的維數(shù)。采用線性多變量統(tǒng)計分析，在滿足統(tǒng)計準確度的前提下，其主 成分個數(shù)和狀態(tài)空間的維數(shù)一致。KL變換也是ICA算法的基礎(chǔ)，ICA計算和PCA 一致。在仿真分析中，狀態(tài)空間維數(shù)的判定和PCA分量貢獻率對比結(jié)果一致。 獨立成分分析2.

18、2.2.2獨立成分分析在主成分分析的基礎(chǔ)上，獨立成分分析的目的在于通過線性變換，使得所獲 取的分量不僅不相關(guān)，而且彼此獨立。設(shè)xi;i= 1，2,，L為一組觀測信號樣 本，si;i= 1，2,，K為一組相互獨立的信號源，其中xi=(xi(0)，xi(N-1)， 為了便于分析，將它們表示為列向量的形式si=(si(0)，si(N-1)。， 得:X = (x1，x2xl)t，S = 1，s2.sk。X中的各分量是由S中各獨立源線性 組合而成。即Xj= Hj |S |+ Jj2S2+ BjkSK =K皿料 (i = 1.2,L)i可用矩陣形式表示為X= AS式中A為LxK維常系數(shù)矩陣，矩陣系數(shù)aij是未知的。ICA的任務(wù)是在系數(shù)矩陣 A和信號源S未知的前提下，從觀測信號X中分離出信源S的各分量，即需要 尋找一分解矩陣W對觀測信號X進行分離，如式S= WX分離的結(jié)果是對源信號s的良好的逼近。PCA和ICA都是多元統(tǒng)計分析方法，PCA去除各分量之間的相關(guān)性，PCA 構(gòu)造的坐標系是正交的。ICA不僅實現(xiàn)了去相關(guān)（二階統(tǒng)計獨立），而且要求各高 階統(tǒng)計量獨立，尋