青海省海東市平安區(qū)第二中學(xué)2023學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并

2、交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）A23B25C28D292函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（ ）A，-2B，-9C-2，-9D2，-23已知m為實(shí)數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（ ）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件4已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）ABCD5在中，角的對(duì)邊分別為，若則角的大小為()ABCD6已知是虛數(shù)單位，若，則實(shí)數(shù)（ ）A或B

3、-1或1C1D7已知等比數(shù)列滿足，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）A36B72CD8已知集合，則=（ ）ABCD9已知，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD10記為數(shù)列的前項(xiàng)和數(shù)列對(duì)任意的滿足.若，則當(dāng)取最小值時(shí)，等于（ ）A6B7C8D911復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）ABC2D-212已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A240，18B200，20C240，20D200，18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知雙曲線：（，），

4、直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn).若（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為_.14設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則_.15已知兩個(gè)單位向量滿足，則向量與的夾角為_.16若變量，滿足約束條件則的最大值是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，點(diǎn)（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為，切點(diǎn)分別，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，求的值.18（12分）某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格

5、”、“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示：等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624（）若測(cè)試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，并判斷：是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)？ 是否合格 性別 不合格合格總計(jì)男生女生總計(jì)（）用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取人進(jìn)行座談，現(xiàn)再?gòu)倪@人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（）某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)（，其中表示的方差）來評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效，若，則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)定教育活動(dòng)無效，應(yīng)調(diào)整安全教

6、育方案.在（）的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？附表及公式：，其中.19（12分）對(duì)于正整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.()寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;()對(duì)于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;()對(duì)所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)20（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方形中，分別為，邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，使得為直二面角（1）證明：；（2）求與面所成角的正弦值

7、21（12分）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.22（10分）如圖，正方形所在平面外一點(diǎn)滿足，其中分別是與的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】由可求，再求公差，再求解即可.【題目詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，故選：D【答案點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.2、B【答案解析】由函數(shù)解析式中

8、含絕對(duì)值，所以去絕對(duì)值并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【題目詳解】依題意，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.3、A【答案解析】根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【題目詳解】當(dāng)m=1時(shí)，兩直線方程分別為直線l1：x+y1=0，l2：x+y2=0滿足l1l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y1=0，和2x2=0，不滿足條件當(dāng)m0時(shí)，則l1l2，由得m23m+2=0得m=1或m=2，由得m2，則m=

9、1，即“m=1”是“l(fā)1l2”的充要條件，故答案為：A【答案點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.4、A【答案解析】雙曲線=1的漸近線方程為y=x，不妨設(shè)過點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（xc），與y=x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（，），點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外，|OM|OF1|，即有+c1，3，即b13a1，c1a13a1，即c1a則e=1雙曲線離心率的取值范圍是（1，+）故選：A點(diǎn)睛：解決

10、橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.5、A【答案解析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可得，可得，即可得解的值【題目詳解】解：，由正弦定理可得：，故選A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題6、B【答案解析】由題意得，然后求解即可【題目詳解】，.又，.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7、A【答案解析】根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，可求得，再利用等

11、差數(shù)列求和公式即可得到.【題目詳解】等比數(shù)列滿足，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.8、D【答案解析】先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求【題目詳解】，所以 .故選：D【答案點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【答案解析】利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【題目詳解】依題意，函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，又，所以，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.10、A【答案解析】先令，找出的關(guān)

12、系，再令，得到的關(guān)系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【題目詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對(duì)任意的，所以是等差數(shù)列，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：A【答案點(diǎn)睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，采用了賦值法，屬于中檔題.11、B【答案解析】通過復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求解即可.【題目詳解】復(fù)數(shù)滿足，故選B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念，屬于基礎(chǔ)題12、A【答案解析】利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)【題目詳解】樣本

13、容量為：（150+250+400）30%240，抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為：故選A【答案點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【答案解析】用表示出的面積，求得等量關(guān)系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【題目詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.14、.【答案解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得

14、出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【題目詳解】復(fù)數(shù)滿足，故而可得，故答案為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題15、【答案解析】由得，即得解.【題目詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、9【答案解析】做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形，即可求出的最大值.【題目詳解】做出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立，解得，即，所以最大值為9.故答案為:9.【答案點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線

15、性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【答案解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，然后，利用，得出，進(jìn)而求解即可（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達(dá)定理，再利用，即可求出的值【題目詳解】（1）由橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.又因?yàn)?，所以，所以（舍）?故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題，聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理

16、進(jìn)行消參，屬于中檔題18、（）詳見解析；（）詳見解析；（）不需要調(diào)整安全教育方案.【答案解析】（I）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).（II）利用超幾何分布的計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（III）由（II）中數(shù)據(jù)，計(jì)算出，進(jìn)而求得的值，從而得出該校的安全教育活動(dòng)是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【題目詳解】解：（）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為，.性別與合格情況的列聯(lián)表為： 是否合格 性別 不合格合格小計(jì)男生女生小計(jì)即在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否

17、合格有關(guān).（）“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為, .的分布列為：20151050所以. （）由（）知： .故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算，所以中檔題.19、 () ，；() 為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，；()證明見解析，【答案解析】()根據(jù)題意直接寫出答案.()討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大為，得到答案.() 討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到，再計(jì)算，得到答案.【題目詳

18、解】()整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，.()當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.()當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對(duì)應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當(dāng)時(shí)，對(duì)于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【答案點(diǎn)睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1）證明見詳解；（2）【答案解析】（1）在折疊前的正方形ABCD中，作出對(duì)角線AC，BD，由正方形性質(zhì)知，又/，則于點(diǎn)H，則由直二面角可知面 ，故.又，則面，故命題得證；（2）作出線面角，在直角三角形中求解該角的正弦值.【題目詳解】解：（1）證明：在正方形中，連結(jié)交于因?yàn)?，故可得，即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系，且平面,面，又面，所以（2）因?yàn)闉橹倍娼?，故平面平?又其交線為,且平面,故可得底面，連結(jié)，則即為與面所成角，連結(jié)交于，在中，在中，所以與面所成角的正弦值為【答案點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，利用定義求線面角，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）【答案解析】