定態(tài)薛定諤方程解的算例課件

1、2.5 定態(tài)薛定諤方程解的算例定態(tài)薛定諤方程問題，就是求解勢能不隨時間改變條件下的薛定諤方程，就是求解哈密頓方程在一維條件下求解微分方程，需要利用一定的邊界條件求出本征函數的表達式和 本征值E的數值目的：通過對解的討論，了解量子力學體系的特征及其 物理意義1、一維簡諧振子勢勢能勢能函數是一條拋物線哈密頓方程為：諧振子勢能為V(x)、質量為m的粒子由于待定，變系數的常微分方程諧振子的角頻率其通式為：前5個厄米多項式為：零點能 所以諧振子的能量本征值為:由這也意味著，量子束縛態(tài)的動能不可能為零，與經典的情況不相同！諧振子的幾率分布 在任一能級上，勢能曲線以外概率密度并不為零微觀粒子運動的特點：它在

2、運動中有可能進入勢能大于其總能量的區(qū)域。這在經典理論看來是不可能出現的！例題1： 設想一個質量為m=1g的小球懸掛在一個小輕彈簧下做振幅為 A=1mm的簡諧振動。彈簧系數為k=0.1N/m。按量子理論計算： 1）此彈簧諧振子的能級間隔有多大？ 2）與它現有的振動能量對應的量子數是多少？例題2：HCL氣體能強烈吸收波長為3.465um的紅外輻射。這是HCL分子振子吸收入射光子能量的結果。 求： 1）振子的振動頻率； 2）絕對零度時一摩爾HCL氣體的總振動能量。2、一維無限深勢阱如圖，中，勢能為0；、中，勢能為不分區(qū)的哈密頓方程I區(qū)中IIIIIIE:動能0通解為目的：了解勢井中量子狀態(tài)的特點，分立

3、能級、零度能等。為無限深勢阱中勢能是常量，粒子不受力做自由運動令II、III區(qū)中哈密頓方程為：其形式上的通解：依據波函數的邊界條件表明：勢阱外的波函數為0由于就有上式該齊次方程非零解的條件：勢井中波函數 ，在阱壁上為0，所以邊界條件為：即有因而有即而勢井中粒子的能量本征值1）勢阱內粒子能量是量子化的，是勢阱中波函數的共同點 結論：對波函數歸一化：當 時，依據邊界條件，有歸一化條件就是粒子在整個空間內出現的總概率為1偶宇稱奇宇稱粒子的能量本征函數與坐標關系由上述概率密度與坐標的關系我們可以看到：1）這里由粒子的波動性給出的概率密度的周期性分布與經典粒子分布完全不同，按經典理論，粒子在阱內來來回回

4、自由運動，在各處的概率密度應該是相等的，而且與粒子的能量無關。2）與經典粒子不同的第二點。由量子粒子的最小能量為：這符合不確定關系，因為量子粒子在有限空間內運動，其速度不可能為零，而經典粒子可能處于靜止的能量為零的最低能態(tài)3）由粒子的能量公式，可得到勢阱中粒子的動量:相應地，粒子的德布羅意波長為：該波長也量子化了，它只能是勢阱長度兩倍的整數分之一。這就類似于兩端固定的弦中產生的駐波的情況。無限深勢阱中粒子的每一個能量本征態(tài)對應于德布羅意波的一個特定波長的駐波!例題 在原子核 內的質子和中子可粗略的看成是處于無限深勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動也可以認為是自由的。按一維無限深勢阱估算，質子從

5、第一激發(fā)態(tài)（n=2）到第二激發(fā)態(tài)（n=1）轉變時，放出的能量是多少MeV?例題 根據疊加原理，幾個波函數的疊加仍是一個波函數。假設在無限深勢阱中粒子的一個疊加態(tài)是有基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)疊加而成，前者的幅是1/2 ，后者的幅是 （這就意味著基態(tài)的基本概率是1/4，第一激發(fā)態(tài)的基本概率是3/4）。 試求這一疊加態(tài)的概率分布。3、階躍勢定義：勢能在空間某一位置由一個值突然變 為另一個值的勢場。粒子在階躍勢場中的運動在量子力學中，只需要求解薛定諤方程：a)對x0區(qū)域，V(x)=0X0區(qū)域要使 滿足“有限”的要求，必須要求C=0。要使波函數連續(xù)，在x=0的位置必須要滿足：b) x0 區(qū)域 V(x)=V0 薛

6、定諤可以寫為：其通解為：如果這兩個區(qū)域波函數滿足物理條件，那么它一定是單值、有限和連續(xù)，否則就不滿足波函數的標準條件。物理意義： X0，它們的概率密度為：在此區(qū)域隨x的增大而隨指數快速衰減，但在x=0的附近不為零。 表明，在X0的區(qū)域有一定的幾率能夠發(fā)現或找到粒子！由上式可知，出現這種幾率只在x=0的很小的區(qū)域內，即它常稱為：透入距離范圍內才有顯著的值，超過此范圍將快速趨于零如何理解量子力學給出的這一結果？為什么粒子的動能可能有負值？在區(qū)（EV0）可以看做粒子進入該區(qū)域的典型深度，在該處發(fā)現粒子的概率已降為1/e。該距離我們可以認為是在此區(qū)域內發(fā)現粒子的位置不確定度。即這要歸之于不確定關系！根

7、據不確定關系，粒子在這段距離內的動量不確定度為：粒子進入的速度可以認為是于是粒子進入的時間不確定度為：由此，按能量時間不確定關系式，粒子能量的不確定度為此時，粒子的總能量將是粒子在到達區(qū)域內，其動能的不確定度大于其名義上的負動能值。因此，該負動能只不過是被不確定關系“掩蓋”了，它只是一種觀察不到的“虛”動能。這和實驗上能觀察到的能量守恒并不矛盾。4、方勢壘方勢壘如圖所示，哈密頓方程為通解通解方程同區(qū)，但這里無反射波，故 如果粒子是從勢壘的左邊入射，通解 中表示從左側入射的波(粒子)表示碰撞器壁后被反射回去的波(粒子)由于在勢壘右側原來沒有粒子，所以 B3 =0于是表示貫穿勢壘后而透射過來的波(

8、粒子)可以計算出粒子流量，用幾率流密度表示粒子從I區(qū)經過勢壘進入III區(qū)，稱作勢壘貫穿或隧道效應?？梢岳孟率鲞吔鐥l件和波函數的條件確定：一階微商連續(xù)粒子從I區(qū)經過勢壘進入III區(qū)的穿透率還可用如下方法計算入射粒子的概率(幾率)幅反射粒子的概率幅貫穿勢壘的粒子的幾率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出：通常只需計算向右運動的粒子。如果勢壘的高度V0比入射粒子能量E大得多，或勢壘較寬時，即物理意義：1）能量E小于勢壘高度的粒子確實有一定的幾率穿越勢壘。透射系數T與勢壘寬度a、(V0 E)和粒子質量有關2）隨著勢壘寬度a的增加，透射率T按指數衰減。若把上式簡單看做主要是由指數部分決定的，于是如果

9、在勢壘內部距表面距離為d處，幾率衰減為表面的1/e，則d被定義為粒子在勢壘中的穿透深度：例：試求入射電子能量為1ev，勢壘高度為2ev，寬度為 的 幾率。如果粒子是質子，求透射系數。解：由勢壘寬度電子：質子：其質量是電子的1840倍，質子的質量約為940MeV例，一粒子質量為1kg，勢壘的厚度a=10cm，V0-E=1eV，穿透幾率約為： 幾乎不能穿透！ 這說明對宏觀物體來說，即便是總能量比勢壘僅少1eV，其量子效應也是極其不明顯的。 對質量輕的電子而言，隧道效應就變得十分明顯了。經典量子聊齋志異中，蒲松齡講述的故事，說一個嶗山道士能夠穿墻而過。雖是虛妄之談，但從量子力學的觀點來看，它還是有一

10、定道理的，只不過是概率“小”了些而已。利用量子隧道效應，可解釋放射性原子核的粒子衰變現象如果一核半徑為R，粒子在核內由于核力的作用，其勢能很低。在核邊界有一個因庫侖力而產生的勢壘。例如： 核，其庫侖勢壘可達35Mev，而這種核在粒子衰變過程中放出的粒子的能量 不過4.2Mev。理論計算表明這些粒子就是通過隧道效應穿透庫侖勢壘而跑出來的。粒子衰變解釋熱核反應所釋放的核能是兩個帶正電的核，如 和 ，聚合時產生的。這兩個帶正電的核靠近時受到庫侖斥力作用很難結合在一起。這個斥力作用就相當于一個高勢壘，它們就是通過隧道效應而聚會到一起的。這些核的能量越大，它們要穿過的勢壘厚度就越小，聚合的概率就越大。這

11、就是為什么熱核聚變反應需要高達 的高溫的原因。熱核聚變解釋黑洞的邊界是一種物質（包括光），只能進不能出的“單向壁”。該單向壁對黑洞內的物質來說就是一個絕高的勢壘。理論物理學家霍金(S.W.Hawking)認為黑洞并不是絕對黑的。黑洞內部的物質能通過量子力學隧道效應而逸出。但他估計這種過程很慢。一個質量等于太陽質量的黑洞溫度約為 ，約需要 年才能完全“蒸發(fā)”消失。不過據信產生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞(質量大約是太陽的 倍) ，經過 年到現在已經蒸發(fā)完了。黑洞的解釋掃描隧穿顯微鏡工作原理1981年瑞士蘇黎世IBM公司的兩位科學家賓寧(G.Bonning)和羅赫爾(H.Rohrer),研制成了一

12、種掃描隧穿顯微鏡(STM)可以精確觀察材料表面結構，因而成了研究物理表面和其它實驗的重要顯微工具。由于這一卓越貢獻，他們二人和電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡(E.Ruska)分享了1986年度的諾貝爾物理學獎。1988年我國科學家設計成了新型的STM，分辨率可達原子量級，圖像質量到達當時國際水平。為進一步探索微觀世界的奧秘提供了必要的物質基礎。 通常，金屬或介質中的電子，不能自由逸出表面，因為它的能量低于表面外的空間的勢能(零)。而現在針尖與待測物之間距離極近，這空隙相當于一個高度有限而寬度很小的勢壘。 在針尖與平面間加一個小于幾伏的電壓，在這電壓下，針尖中的電子還不能越過“空隙”這一勢壘進入平面，

13、但有一定的概率穿越勢壘，形成“隧道電流”。 隧道電流的大小對勢壘寬度(針尖到平面的距離)的變化非常敏感。當針尖沿平面掃描時，通過隧道電流的變化，便能描繪出平面高低變化的輪廓。STM分辨率極高，其橫向分辨率達0.1nm,縱向為0.01nm，可分辨出單個原子。 STM技術不僅可用來進行材料的表面分析，直接觀察表面缺陷，還可利用STM針尖對原子和分子進行操縱和移動，重新排布原子和分子。應用到生命科學中，可研究DNA分子的構形等。 隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧道效應觀察樣品表面的微結構圖象處理系統(tǒng)掃描探針

14、樣品表面電子云d變 i變反映表面情況A-常數樣品表面平均勢壘高度(eV)d10操縱原子不是夢 “原子書法” 1994年中國科學院科學家“寫”出的 平均每個字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱” - 白春禮 插頁彩圖13硅單晶表面直接提走硅原子形成 2納米的線條 幾個重要的物理實驗1、盧瑟福的粒子散射實驗，證實了原子的核式結構2、弗蘭克赫茲實驗，證實原子內部分立能級的存在3、黑體輻射，光電效應實驗證實了光具有粒子性4、Compton散射實驗，證實了光的粒子性5、戴維孫革末實驗，證實了電子的波動性盧瑟福的核式模型Bohr氫原子模型氫原子的光譜線系，類氫離子的光譜線系里德伯方程，光譜

15、項及其組合法則Bohr模型的三個基本假設由Bohr模型獲得里德伯常數量子力學初步部分波粒二象性： de Broglie的物質波由波粒二象性獲得束縛粒子的量子態(tài)；不確定關系；量子態(tài)薛定諤方程的含義、力學量的算符、力學量的平均值。哈密頓方程的本征值、本征函數。 內 容 提 要1、黑體輻射 普朗克量子假設：諧振子能量為n=1,2,3,普朗克熱輻射公式：黑體的光譜輻射出射度斯特潘-波爾茲曼定律：黑體的總輻射出射度其中維恩位移定律：光譜輻射出射度最大時光的頻率2、光電效應光子：光（電磁波）是由光子組成的。 每個光子的能量：每個光子的動量：光電效應方程：光電效應的紅限頻率：其中3.康普頓散射散射公式：康普頓波長(電子)：4.粒子的波動性德布羅意假設：粒子的波長5.海森伯不確定關系：它是波粒二象性的反映位置和動量不確定關系能量和