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1、2.5 定態(tài)薛定諤方程解的算例定態(tài)薛定諤方程問(wèn)題,就是求解勢(shì)能不隨時(shí)間改變條件下的薛定諤方程,就是求解哈密頓方程在一維條件下求解微分方程,需要利用一定的邊界條件求出本征函數(shù)的表達(dá)式和 本征值E的數(shù)值目的:通過(guò)對(duì)解的討論,了解量子力學(xué)體系的特征及其 物理意義1、一維簡(jiǎn)諧振子勢(shì)勢(shì)能勢(shì)能函數(shù)是一條拋物線哈密頓方程為:諧振子勢(shì)能為V(x)、質(zhì)量為m的粒子由于待定,變系數(shù)的常微分方程諧振子的角頻率其通式為:前5個(gè)厄米多項(xiàng)式為:零點(diǎn)能 所以諧振子的能量本征值為:由這也意味著,量子束縛態(tài)的動(dòng)能不可能為零,與經(jīng)典的情況不相同!諧振子的幾率分布 在任一能級(jí)上,勢(shì)能曲線以外概率密度并不為零微觀粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn):它在

2、運(yùn)動(dòng)中有可能進(jìn)入勢(shì)能大于其總能量的區(qū)域。這在經(jīng)典理論看來(lái)是不可能出現(xiàn)的!例題1: 設(shè)想一個(gè)質(zhì)量為m=1g的小球懸掛在一個(gè)小輕彈簧下做振幅為 A=1mm的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。彈簧系數(shù)為k=0.1N/m。按量子理論計(jì)算: 1)此彈簧諧振子的能級(jí)間隔有多大? 2)與它現(xiàn)有的振動(dòng)能量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)是多少?例題2:HCL氣體能強(qiáng)烈吸收波長(zhǎng)為3.465um的紅外輻射。這是HCL分子振子吸收入射光子能量的結(jié)果。 求: 1)振子的振動(dòng)頻率; 2)絕對(duì)零度時(shí)一摩爾HCL氣體的總振動(dòng)能量。2、一維無(wú)限深勢(shì)阱如圖,中,勢(shì)能為0;、中,勢(shì)能為不分區(qū)的哈密頓方程I區(qū)中IIIIIIE:動(dòng)能0通解為目的:了解勢(shì)井中量子狀態(tài)的特點(diǎn),分立

3、能級(jí)、零度能等。為無(wú)限深勢(shì)阱中勢(shì)能是常量,粒子不受力做自由運(yùn)動(dòng)令I(lǐng)I、III區(qū)中哈密頓方程為:其形式上的通解:依據(jù)波函數(shù)的邊界條件表明:勢(shì)阱外的波函數(shù)為0由于就有上式該齊次方程非零解的條件:勢(shì)井中波函數(shù) ,在阱壁上為0,所以邊界條件為:即有因而有即而勢(shì)井中粒子的能量本征值1)勢(shì)阱內(nèi)粒子能量是量子化的,是勢(shì)阱中波函數(shù)的共同點(diǎn) 結(jié)論:對(duì)波函數(shù)歸一化:當(dāng) 時(shí),依據(jù)邊界條件,有歸一化條件就是粒子在整個(gè)空間內(nèi)出現(xiàn)的總概率為1偶宇稱奇宇稱粒子的能量本征函數(shù)與坐標(biāo)關(guān)系由上述概率密度與坐標(biāo)的關(guān)系我們可以看到:1)這里由粒子的波動(dòng)性給出的概率密度的周期性分布與經(jīng)典粒子分布完全不同,按經(jīng)典理論,粒子在阱內(nèi)來(lái)來(lái)回回

4、自由運(yùn)動(dòng),在各處的概率密度應(yīng)該是相等的,而且與粒子的能量無(wú)關(guān)。2)與經(jīng)典粒子不同的第二點(diǎn)。由量子粒子的最小能量為:這符合不確定關(guān)系,因?yàn)榱孔恿W釉谟邢蘅臻g內(nèi)運(yùn)動(dòng),其速度不可能為零,而經(jīng)典粒子可能處于靜止的能量為零的最低能態(tài)3)由粒子的能量公式,可得到勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量:相應(yīng)地,粒子的德布羅意波長(zhǎng)為:該波長(zhǎng)也量子化了,它只能是勢(shì)阱長(zhǎng)度兩倍的整數(shù)分之一。這就類似于兩端固定的弦中產(chǎn)生的駐波的情況。無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)對(duì)應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長(zhǎng)的駐波!例題 在原子核 內(nèi)的質(zhì)子和中子可粗略的看成是處于無(wú)限深勢(shì)阱中而不能逸出,它們?cè)诤酥械倪\(yùn)動(dòng)也可以認(rèn)為是自由的。按一維無(wú)限深勢(shì)阱估算,質(zhì)子從

5、第一激發(fā)態(tài)(n=2)到第二激發(fā)態(tài)(n=1)轉(zhuǎn)變時(shí),放出的能量是多少M(fèi)eV?例題 根據(jù)疊加原理,幾個(gè)波函數(shù)的疊加仍是一個(gè)波函數(shù)。假設(shè)在無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的一個(gè)疊加態(tài)是有基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)疊加而成,前者的幅是1/2 ,后者的幅是 (這就意味著基態(tài)的基本概率是1/4,第一激發(fā)態(tài)的基本概率是3/4)。 試求這一疊加態(tài)的概率分布。3、階躍勢(shì)定義:勢(shì)能在空間某一位置由一個(gè)值突然變 為另一個(gè)值的勢(shì)場(chǎng)。粒子在階躍勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)在量子力學(xué)中,只需要求解薛定諤方程:a)對(duì)x0區(qū)域,V(x)=0X0區(qū)域要使 滿足“有限”的要求,必須要求C=0。要使波函數(shù)連續(xù),在x=0的位置必須要滿足:b) x0 區(qū)域 V(x)=V0 薛

6、定諤可以寫為:其通解為:如果這兩個(gè)區(qū)域波函數(shù)滿足物理?xiàng)l件,那么它一定是單值、有限和連續(xù),否則就不滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。物理意義: X0,它們的概率密度為:在此區(qū)域隨x的增大而隨指數(shù)快速衰減,但在x=0的附近不為零。 表明,在X0的區(qū)域有一定的幾率能夠發(fā)現(xiàn)或找到粒子!由上式可知,出現(xiàn)這種幾率只在x=0的很小的區(qū)域內(nèi),即它常稱為:透入距離范圍內(nèi)才有顯著的值,超過(guò)此范圍將快速趨于零如何理解量子力學(xué)給出的這一結(jié)果?為什么粒子的動(dòng)能可能有負(fù)值?在區(qū)(EV0)可以看做粒子進(jìn)入該區(qū)域的典型深度,在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率已降為1/e。該距離我們可以認(rèn)為是在此區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的位置不確定度。即這要?dú)w之于不確定關(guān)系!根

7、據(jù)不確定關(guān)系,粒子在這段距離內(nèi)的動(dòng)量不確定度為:粒子進(jìn)入的速度可以認(rèn)為是于是粒子進(jìn)入的時(shí)間不確定度為:由此,按能量時(shí)間不確定關(guān)系式,粒子能量的不確定度為此時(shí),粒子的總能量將是粒子在到達(dá)區(qū)域內(nèi),其動(dòng)能的不確定度大于其名義上的負(fù)動(dòng)能值。因此,該負(fù)動(dòng)能只不過(guò)是被不確定關(guān)系“掩蓋”了,它只是一種觀察不到的“虛”動(dòng)能。這和實(shí)驗(yàn)上能觀察到的能量守恒并不矛盾。4、方勢(shì)壘方勢(shì)壘如圖所示,哈密頓方程為通解通解方程同區(qū),但這里無(wú)反射波,故 如果粒子是從勢(shì)壘的左邊入射,通解 中表示從左側(cè)入射的波(粒子)表示碰撞器壁后被反射回去的波(粒子)由于在勢(shì)壘右側(cè)原來(lái)沒(méi)有粒子,所以 B3 =0于是表示貫穿勢(shì)壘后而透射過(guò)來(lái)的波(

8、粒子)可以計(jì)算出粒子流量,用幾率流密度表示粒子從I區(qū)經(jīng)過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入III區(qū),稱作勢(shì)壘貫穿或隧道效應(yīng)??梢岳孟率鲞吔鐥l件和波函數(shù)的條件確定:一階微商連續(xù)粒子從I區(qū)經(jīng)過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入III區(qū)的穿透率還可用如下方法計(jì)算入射粒子的概率(幾率)幅反射粒子的概率幅貫穿勢(shì)壘的粒子的幾率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出:通常只需計(jì)算向右運(yùn)動(dòng)的粒子。如果勢(shì)壘的高度V0比入射粒子能量E大得多,或勢(shì)壘較寬時(shí),即物理意義:1)能量E小于勢(shì)壘高度的粒子確實(shí)有一定的幾率穿越勢(shì)壘。透射系數(shù)T與勢(shì)壘寬度a、(V0 E)和粒子質(zhì)量有關(guān)2)隨著勢(shì)壘寬度a的增加,透射率T按指數(shù)衰減。若把上式簡(jiǎn)單看做主要是由指數(shù)部分決定的,于是如果

9、在勢(shì)壘內(nèi)部距表面距離為d處,幾率衰減為表面的1/e,則d被定義為粒子在勢(shì)壘中的穿透深度:例:試求入射電子能量為1ev,勢(shì)壘高度為2ev,寬度為 的 幾率。如果粒子是質(zhì)子,求透射系數(shù)。解:由勢(shì)壘寬度電子:質(zhì)子:其質(zhì)量是電子的1840倍,質(zhì)子的質(zhì)量約為940MeV例,一粒子質(zhì)量為1kg,勢(shì)壘的厚度a=10cm,V0-E=1eV,穿透幾率約為: 幾乎不能穿透! 這說(shuō)明對(duì)宏觀物體來(lái)說(shuō),即便是總能量比勢(shì)壘僅少1eV,其量子效應(yīng)也是極其不明顯的。 對(duì)質(zhì)量輕的電子而言,隧道效應(yīng)就變得十分明顯了。經(jīng)典量子聊齋志異中,蒲松齡講述的故事,說(shuō)一個(gè)嶗山道士能夠穿墻而過(guò)。雖是虛妄之談,但從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,它還是有一

10、定道理的,只不過(guò)是概率“小”了些而已。利用量子隧道效應(yīng),可解釋放射性原子核的粒子衰變現(xiàn)象如果一核半徑為R,粒子在核內(nèi)由于核力的作用,其勢(shì)能很低。在核邊界有一個(gè)因庫(kù)侖力而產(chǎn)生的勢(shì)壘。例如: 核,其庫(kù)侖勢(shì)壘可達(dá)35Mev,而這種核在粒子衰變過(guò)程中放出的粒子的能量 不過(guò)4.2Mev。理論計(jì)算表明這些粒子就是通過(guò)隧道效應(yīng)穿透庫(kù)侖勢(shì)壘而跑出來(lái)的。粒子衰變解釋熱核反應(yīng)所釋放的核能是兩個(gè)帶正電的核,如 和 ,聚合時(shí)產(chǎn)生的。這兩個(gè)帶正電的核靠近時(shí)受到庫(kù)侖斥力作用很難結(jié)合在一起。這個(gè)斥力作用就相當(dāng)于一個(gè)高勢(shì)壘,它們就是通過(guò)隧道效應(yīng)而聚會(huì)到一起的。這些核的能量越大,它們要穿過(guò)的勢(shì)壘厚度就越小,聚合的概率就越大。這

11、就是為什么熱核聚變反應(yīng)需要高達(dá) 的高溫的原因。熱核聚變解釋黑洞的邊界是一種物質(zhì)(包括光),只能進(jìn)不能出的“單向壁”。該單向壁對(duì)黑洞內(nèi)的物質(zhì)來(lái)說(shuō)就是一個(gè)絕高的勢(shì)壘。理論物理學(xué)家霍金(S.W.Hawking)認(rèn)為黑洞并不是絕對(duì)黑的。黑洞內(nèi)部的物質(zhì)能通過(guò)量子力學(xué)隧道效應(yīng)而逸出。但他估計(jì)這種過(guò)程很慢。一個(gè)質(zhì)量等于太陽(yáng)質(zhì)量的黑洞溫度約為 ,約需要 年才能完全“蒸發(fā)”消失。不過(guò)據(jù)信產(chǎn)生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞(質(zhì)量大約是太陽(yáng)的 倍) ,經(jīng)過(guò) 年到現(xiàn)在已經(jīng)蒸發(fā)完了。黑洞的解釋掃描隧穿顯微鏡工作原理1981年瑞士蘇黎世IBM公司的兩位科學(xué)家賓寧(G.Bonning)和羅赫爾(H.Rohrer),研制成了一

12、種掃描隧穿顯微鏡(STM)可以精確觀察材料表面結(jié)構(gòu),因而成了研究物理表面和其它實(shí)驗(yàn)的重要顯微工具。由于這一卓越貢獻(xiàn),他們二人和電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡(E.Ruska)分享了1986年度的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1988年我國(guó)科學(xué)家設(shè)計(jì)成了新型的STM,分辨率可達(dá)原子量級(jí),圖像質(zhì)量到達(dá)當(dāng)時(shí)國(guó)際水平。為進(jìn)一步探索微觀世界的奧秘提供了必要的物質(zhì)基礎(chǔ)。 通常,金屬或介質(zhì)中的電子,不能自由逸出表面,因?yàn)樗哪芰康陀诒砻嫱獾目臻g的勢(shì)能(零)。而現(xiàn)在針尖與待測(cè)物之間距離極近,這空隙相當(dāng)于一個(gè)高度有限而寬度很小的勢(shì)壘。 在針尖與平面間加一個(gè)小于幾伏的電壓,在這電壓下,針尖中的電子還不能越過(guò)“空隙”這一勢(shì)壘進(jìn)入平面,

13、但有一定的概率穿越勢(shì)壘,形成“隧道電流”。 隧道電流的大小對(duì)勢(shì)壘寬度(針尖到平面的距離)的變化非常敏感。當(dāng)針尖沿平面掃描時(shí),通過(guò)隧道電流的變化,便能描繪出平面高低變化的輪廓。STM分辨率極高,其橫向分辨率達(dá)0.1nm,縱向?yàn)?.01nm,可分辨出單個(gè)原子。 STM技術(shù)不僅可用來(lái)進(jìn)行材料的表面分析,直接觀察表面缺陷,還可利用STM針尖對(duì)原子和分子進(jìn)行操縱和移動(dòng),重新排布原子和分子。應(yīng)用到生命科學(xué)中,可研究DNA分子的構(gòu)形等。 隧道電流反饋傳感器參考信號(hào)顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧道效應(yīng)觀察樣品表面的微結(jié)構(gòu)圖象處理系統(tǒng)掃描探針

14、樣品表面電子云d變 i變反映表面情況A-常數(shù)樣品表面平均勢(shì)壘高度(eV)d10操縱原子不是夢(mèng) “原子書法” 1994年中國(guó)科學(xué)院科學(xué)家“寫”出的 平均每個(gè)字的面積僅百萬(wàn)分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱” - 白春禮 插頁(yè)彩圖13硅單晶表面直接提走硅原子形成 2納米的線條 幾個(gè)重要的物理實(shí)驗(yàn)1、盧瑟福的粒子散射實(shí)驗(yàn),證實(shí)了原子的核式結(jié)構(gòu)2、弗蘭克赫茲實(shí)驗(yàn),證實(shí)原子內(nèi)部分立能級(jí)的存在3、黑體輻射,光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了光具有粒子性4、Compton散射實(shí)驗(yàn),證實(shí)了光的粒子性5、戴維孫革末實(shí)驗(yàn),證實(shí)了電子的波動(dòng)性盧瑟福的核式模型Bohr氫原子模型氫原子的光譜線系,類氫離子的光譜線系里德伯方程,光譜

15、項(xiàng)及其組合法則Bohr模型的三個(gè)基本假設(shè)由Bohr模型獲得里德伯常數(shù)量子力學(xué)初步部分波粒二象性: de Broglie的物質(zhì)波由波粒二象性獲得束縛粒子的量子態(tài);不確定關(guān)系;量子態(tài)薛定諤方程的含義、力學(xué)量的算符、力學(xué)量的平均值。哈密頓方程的本征值、本征函數(shù)。 內(nèi) 容 提 要1、黑體輻射 普朗克量子假設(shè):諧振子能量為n=1,2,3,普朗克熱輻射公式:黑體的光譜輻射出射度斯特潘-波爾茲曼定律:黑體的總輻射出射度其中維恩位移定律:光譜輻射出射度最大時(shí)光的頻率2、光電效應(yīng)光子:光(電磁波)是由光子組成的。 每個(gè)光子的能量:每個(gè)光子的動(dòng)量:光電效應(yīng)方程:光電效應(yīng)的紅限頻率:其中3.康普頓散射散射公式:康普頓波長(zhǎng)(電子):4.粒子的波動(dòng)性德布羅意假設(shè):粒子的波長(zhǎng)5.海森伯不確定關(guān)系:它是波粒二象性的反映位置和動(dòng)量不確定關(guān)系能量和

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