拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題

1、拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題14/14拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題作者：日期：?典型例題一例1過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，經(jīng)過點和拋物線極點的直線交準線于點M,怎樣證明直線MQ平行于拋物線的對稱軸？解：思路一:求出M、Q的縱坐標并進行比較，假如相等,則Q/x軸,為此,將方程y22px,yk(xp)聯(lián)立,解出2P(p(k211)2,p(1k21),Q(p(k211)2,p(1k21)2k2k2k2k直線OP的方程為y2k(1k21)x,即y2(1k21)x.(k211)2k令xp,得M點縱坐標yMp(1k21)yQ得證.2k因

2、而可知，按這一思路去證,運算較為繁瑣.思路二:利用命題“假如過拋物線y22px的焦點的一條直線和這條拋物線訂交，兩上交點的縱坐標為y1、y2，那么y1y2p2”來證.設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3)，并從y22px及yk(xp)中消去x，獲得2ky22pykp20，則有結(jié)論y1y2p2，即y2p2y1.又直線O的方程為yy1x,xp,得y3x12因為P(x1,y1)在拋物線上,所以2x1y12ppy12x1進而y3py1(py1)pp22x1y12y2y1這一證法運算較小思路三:直線MQ的方程為yyo的充要條件是M(p,y0),Q(y02,y0).22p將直線M的方程2y

3、0和直線F的方程y2py0(xp)聯(lián)立,它的解（,y)就是ypyo2p22點的坐標，消去yo的充要條件是點P在拋物線上,得證這一證法巧用了充要條件來進行逆向思想,運算量也較小.說明：本題中過拋物線焦點的直線與x軸垂直時（即斜率不存在)，簡單證明成立.典型例題二例已知過拋物線y22px(p0)的焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、兩點，點是含拋物線極點的弧AB上一點，求RAB的最大面積.,故能夠AB為三角形的底,只剖析:求RA的最大面積，因過焦點且斜率為的弦長為定值要確立高的最大值即可.p解：設(shè)A2將其代入拋物線方程y22px,消去x得y22pyp20AB2y1y22(y1y2)24y1y24p當

4、過R的直線l平行于且與拋物線相切時，AB的面積有最大值.設(shè)直線l方程為yxb代入拋物線方程得y22py2pb0由4p28pb0,得bp，這時R(p,p).它到A的距離為h2p222RAB的最大面積為1ABh2p2.2典型例題三例3直線l1過點M(1,0)，與拋物線y24x交于P1、P2兩點,P是線段P1P2的中點,直線l2過和拋物線的焦點，設(shè)直線l1的斜率為k(1)將直線l2的斜率與直線l1的斜率之比表示為k的函數(shù)f(k);（2）求出f(k)的定義域及單一區(qū)間.剖析：l2過點及F,利用兩點的斜率公式,可將l2的斜率用k表示出來，進而寫出f(k),由函數(shù)f(k)的特色求得其定義域及單一區(qū)間解：(

5、1)設(shè)l1的方程為：y將它代入方程y24x，得k(x1),k2x2(2k24)xk20設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y),則x1x242k2,x2k2k2k2將x2k2代入yk(x1)得：y2,即點坐標為(2k2,2).k2kk2k2k由y24x,知焦點F(1,0),直線l2的斜率k2kk21k22k21函數(shù)f(k)121k（2)l2與拋物線有兩上交點,k0且(2k24)24k40解得1k0或0k1函數(shù)f(k)的定義域為k1k0或0k1當k(1,0)時,f(k)為增函數(shù).典型例題四例4如下圖:直線l過拋物線y22px的焦點，并且與這拋物線、兩點，求證:對于這拋物線的任何給定

6、的一條弦CD，直訂交于A線l不是CD的垂直均分線剖析：本題所要證的命題結(jié)論能否認形式,一方面可依據(jù)垂直且平排列方程得矛盾結(jié)論;別一方面也能夠依據(jù)上任一點到C、距離相等來得矛盾結(jié)論.證法一：假定直線l是拋物線的弦CD的垂直平方線,因為直線l與拋物線交于、B兩點，所以直線l的斜率存在,且不為零；直線CD的斜率存在,且不為0設(shè)C、D的坐標分別為(22,2)與2則1pt1pt1(2pt2,2pt2).kCDt1t2l的方程為y(t1t2)(xp)直線l均分弦CD2CD的中點(p(t12t22),p(t1t2)在直線l上,即p(t1t2)(t1t2)p(t12t22)p,化簡得:p(t1t2)(t12t

7、221)022由p(t1t2)0知t12t2210獲得矛盾,所以直線l不行能是拋物線的弦C的垂直均分線.2證法二：假定直線l是弦CD的垂直均分線焦點F在直線l上,CFDF由拋物線定義，C(x1,y1),D(x2,y2)到拋物線的準線xp的距離相等.2x1x2,y1y2,CD的垂直均分線l：y0與直線l和拋物線有兩上交點矛盾，下略.典型例題五例5設(shè)過拋物線y22px(p0)的極點的兩弦OA、O相互垂直，求拋物線極點O在上射影N的軌跡方程剖析：求與拋物線相關(guān)的軌跡方程,可先把N當作定點(x0,y0)；待求得x0、y0的關(guān)系后再用動點坐標(x，y)來表示,也可聯(lián)合幾何知識,經(jīng)過奇妙替代,簡化運算解法

8、一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),則:y122px1,y222px2,x1x2y12y224p2OAOB,kOAkOB1即x1x2y1y20y12y224p2y1y20y1y20,y1y24p2把N點看作定點，則AB所在的直線方程為:yy0 x0(xx0),明顯x00y0 xy0y(xy02)代入y22px,化簡整理得：x0y22py0y2p(x02y02)0 x0 x00，y1y22p(x02y02)x0由、得：4p22p(x02y02)，化簡得x02y022px00(x00)x0用x、y分別表示x0、y0得:x2y22px0(x0)解法二:點N在以O(shè)、OB為直徑的

9、兩圓的交點(非原點)的軌跡上，設(shè)A(2pt2,2pt),則以O(shè)A為直徑的圓方程為:(xpt2)2(ypt)2p2(t4t2)x2y22pt22pty0設(shè)B(2pt12,2pt1)，O,則t1t1t11t在求以B為直徑的圓方程時以1代t1，可得tt2(x2y2)2px2pty0由+得：(1t2)(x2y22px)0 x2y22px0(x0)典型例題六例6如下圖，直線l1和l2訂交于點M，l1l2，點Nl1，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點的距離相等成立適合的坐標系,求曲線段C的方程.,若AMN為銳角三角形,AM7，AN3，且BN6,剖析:因為曲線段C上的任一點是以點N為焦點，

10、以l2為準線的拋物線的一段,所以本題要點是成立適合坐標系,確立所知足的拋物線方程解:以l1為軸，MN的中點為坐標原點O，成立直角坐標系由題意，曲線段C是為焦點,以l2為準線的拋物線的一段此中,A、分別為曲線段的兩頭點設(shè)曲線段知足的拋物線方程為:y22px(p0)(xAxxB,y0),此中xA、xB為A、的橫坐標令MNp,則M(p,0),N(p,0)，AM17,AN322(x由兩點間的距離公式,得方程組：(xAp)22pxA172Ap)22pxA92解得p4或p2xA1xA2MN為銳角三角形，pxA,則p4，xA12又B在曲線段C上，xBBNp2462則曲線段C的方程為y28x(1x4,y0).

11、典型例題七例7如下圖,設(shè)拋物線y22px(0p1)與圓(x5)2y29在軸上方的交點為、，與圓(x6)2y227在x由上方的交點為C、,P為AB中點，Q為C的中點.（1)求PQ(2）求AB面積的最大值.剖析：因為P、Q均為弦B、CD的中點,故可用韋達定理表示出、Q兩點坐標，由兩點距離公式即可求出PQ解:(1)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x5)2y2922(5p)x160,由22px得：xyxAxB5Px12yAyB2p(xAxB)y1222pxAxB2xAxB22p2(5p)829pp2由(x6)2y227得x2

12、2(6p)x90，y22pxxCxD6px22yCyD2pxD)y2(xC22同y1近似,y29pp2則x1x21,y1y20，PQ1（）SABQSAPQSBPQ1PQyAyB2PxAxB222Pp(1p)102p820p1,當p1時,SABQ取最大值122典型例題八例已知直線l過原點,拋物線C的極點在原點，焦點在x軸的正半軸上,且點A(1,0)和點B(0,8)對于直線l的對稱點都在剖析：設(shè)出直線l和拋物線代入拋物線方程.或設(shè)BOxC上，求直線l和拋物線C的方程.C的方程,由點A、B對于直線l對稱，求出對稱點的坐標，分別,利用對稱的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)知識求解.解法一:設(shè)拋物線C的方程為y22p

13、x(p0)，直線l的方程為ykx(k0)，則有點A(1,0),點B(0,8)對于直線l的對稱點為A(x1,y1)、B(x2,y2)，y1kx11x1k212,k,則有2解得21y12k;k1,y1x11k21y28x2,x216k,2k2解得k21y288(k21).1,y2x2kk21如圖，A、B在拋物線上4k22pk21,(k21)2k2116k.64(k21)22p(k21)2k21兩式相除,消去p，整理，得k2k10，故k15,2由p0,k0,得k15.把k15代入，得p25.225直線l的方程為y15x,拋物線C的方程為y245x25解法二:設(shè)點A、B對于l的對稱點為A(x1,y1)

14、、B(x2,y2)，又設(shè)BOx,依題意,有OAOA1,OBOB8.故x28cos，y28sin由BOA90，知BOA90 x1cos(90)sin,y1sin(90)cos.又x10,x20，故為第一象限的角A(sin,cos)、B(8cos,8sin)將A、B的坐標代入拋物線方程,得cos22psin,64sin216pcos.8sin3cos3，即tan1進而sin5，cos25,255p25，得拋物線C的方程為y245x.55又直線l均分BOB,得l的傾斜角為902452ktan(45)sin(90)cos1521cos(90)1sin2直線l的方程為y15x2說明：()本題屬于點對于直

15、線的對稱問題.解法一是解對稱點問題的基本方法，它的思路明確，但運算量大,若不認真、沉穩(wěn),難于解得正確結(jié)果.解法二是利用對稱圖形的性質(zhì)來解,它的技巧性較強，一時難于想到(2)本題是用待定系數(shù)法求直線的方程和拋物線方程在已知曲線的種類求曲線方程時，這類方法是最慣例方法,需要要點掌握典型例題九例9如圖，正方形ABCD的邊AB在直線l：yx4上，C、D兩點在拋物線y2x上，求正方形ABCD的面積剖析：本題考察拋物線的觀點及其地點關(guān)系,方程和方程組的解法和數(shù)形聯(lián)合的思想方法，以及剖析問題、解決問題的能力解：直線AB：yx4,AB/CD,設(shè)CD的方程為yxb，且C(x1,y1)、D(x2,y2).由方程組

16、y2x，消去x,得y2yb0，于是yxby1y21,y1y2b,CD112y1y2(此中k1)kCD2(y1y2)24y1y22(14)b.由已知,ABCD為正方形,CDAD，CD可視為平行直線AB與CD間的距離，則有CD4b4b)4b,于是得2(1.22兩邊平方后,整理得,b28b120,b6或b2.當b6時,正方形ABCD的面積SCD22(124)50當b2時，正方形ABCD的面積S28)18.CD2(1正方形ABCD的面積為8或5.說明：運用方程（組)的思想和方法求某些幾何量的值是分析幾何中最基本的、貫串一直的方法,本題應(yīng)充分考慮正方形這一條件典型例題十例10設(shè)有一顆彗星環(huán)繞地球沿一拋物

17、線軌道運轉(zhuǎn),地球恰巧位于拋物線軌道的焦點處，當此彗星離地球為d104km時，經(jīng)過地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為30，求這彗星與地球的最短距離.剖析:利用拋物線相關(guān)性質(zhì)求解解：如圖，設(shè)彗星軌道方程為y22px，p0,焦點為F(p,0),2彗星位于點P(x0,y0)處.直線PF的方程為y3(xp).32y22px,(743)p,解方程組3p得xy(x2),23故x0(743)p2PF23|x0p|23|(743)pp|(423)p.32322故(423)pd,得p23d2因為極點為拋物線上到焦點距離近來的點,所以極點是拋物線上到焦點距離近來的點.焦點到拋物線極點的距離為p243d，所以彗星與

18、地球的最短距離為23d104km或243d104km，（P點在F點的左側(cè)與右側(cè)時,所求距離取不一樣的值)4說明：（1)本題結(jié)論有兩個，不要漏解；（)本題用到拋物線一個重要結(jié)論：極點為拋物線上的點到焦點距離近來的點，其證明如下：設(shè)P(x0,y0)為拋物線y22px上一點,焦點為F(p,0)，準線方程為xp,依拋物線定義,pp22x00時，PF最小，故拋物線上到焦點距離近來的點是拋物線的有PF(x00),當x022極點典型例題十一例11如圖,拋物線極點在原點,圓x2y24x的圓心是拋物線的焦點，直線l過拋物線的焦點，且斜率為2,直線l交拋物線與圓挨次為A、B、C、D四點，求ABCD的值.剖析:本題考察拋物線的定義,圓的觀點和性質(zhì)，以及剖析問題與解決問題的能力,本題的要點是把ABCD轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€被圓錐曲線所截得的弦長問題.解：由圓的方程x2