2023高考導數(shù)大題訓練

1、PAGE 標準練六函數(shù)與導數(shù)1函數(shù)f(x)ax2xxln x.(1)假設a0，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)假設f(1)2，且在定義域內f(x)bx22x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍解(1)當a0時，f(x)xxln x，函數(shù)定義域為(0，)f(x)ln x，由ln x0，得x1.當x(0,1)時，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)；當x(1，)時，f(x)0，f(x)在(1，)上是減函數(shù)(2)由f(1)2，得a12，a1，f(x)x2xxln x，由f(x)bx22x，得(1b)x1ln x.又x0，b1eq f(1,x)eq f(ln x,x)恒成立令g(x)1eq f(1,x)e

2、q f(ln x,x)，可得g(x)eq f(ln x,x2)，由g(x)0，得x1.g(x)在(0,1上單調遞減，在1，)上單調遞增，g(x)ming(1)0，b的取值范圍是(，02設f(x)ex(ax2x1)(1)假設a0，討論f(x)的單調性；(2)x1時，f(x)有極值，證明：當eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)時，|f(cos )f(sin )|2.(1)解f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aex(xeq f(1,a)(x2)，當aeq f(1,2)時，由f(x)eq f(1,2)ex(x2)20，所以f(x)在R上單增遞增；當0aeq f(1,2)時，由f

3、(x)0，得x2或xeq f(1,a)；由f(x)0，得eq f(1,a)x2，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,a)和(2，)上單調遞增，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，2)上單調遞減當aeq f(1,2)時，由f(x)0，得xeq f(1,a)或x2，由f(x)0，得2xeq f(1,a)，f(x)在(，2)和eq blc(rc (avs4alco1(f(1,a)，)上單調遞增，在eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,a)上單調遞減(2)證明x1時，f(x)有極值，f(1)3e(a1)0，a1，f(x)ex(x2x1)，

4、f(x)ex(x1)(x2)由f(x)0，得2x1，f(x)在2,1上單增eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，sin ，cos 0,1，|f(cos )f(sin )|f(1)f(0)e12.3函數(shù)f(x)x3ax2bxc在(，0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在R上有三個零點，且1是其中一個零點(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范圍；(3)設g(x)x1，且f(x)g(x)的解集為(，1)，求實數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)3x22axb當x0時，f(x)取到極小值，即f(0)0，b0.(2)由(1)知，f(x)x3ax2c，1是函數(shù)f(x)的一個零點

5、，即f(1)0，c1a.f(x)3x22ax0的兩個根分別為x10，x2eq f(2a,3).又f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，且函數(shù)f(x)在R上有三個零點，x2eq f(2a,3)1，即aeq f(3,2).f(2)84a(1a)3a7eq f(5,2).故f(2)的取值范圍為(eq f(5,2)，)(3)法一由(2)知f(x)x3ax21a，且aeq f(3,2).1是函數(shù)f(x)的一個零點，f(1)0，g(x)x1，g(1)0，點(1,0)是函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象的一個交點結合函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象及其增減特征可知，當且僅當函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象只有一個交

6、點(1,0)時， f(x)g(x)的解集為(，1)即方程組eq blcrc (avs4alco1(yx1,yx3ax21a)只有一解：eq blcrc (avs4alco1(x1,y0).由x3ax21ax1，得(x31)a(x21)(x1)0，即(x1)x2(1a)x(2a)0，x1或x2(1a)x(2a)0，由方程x2(1a)x(2a)0，得(1a)24(2a)a22a7，當0，即a22a70，又因為aeq f(3,2)，解得eq f(3,2)a2eq r(2)1.此時方程無實數(shù)解，方程組只有一個解eq blcrc (avs4alco1(x1，,y0，)所以eq f(3,2)a2eq r(

7、2)1時，f(x)g(x)的解集為(，1)法二由(2)知f(x)x3ax21a，且aeq f(3,2).1是函數(shù)f(x)的一個零點，f(x)(x1)x2(1a)x1a又f(x)g(x)的解集為(，1)，f(x)g(x)(x1)x2(1a)x2a0的解集為(，1)x2(1a)x2a0恒成立(1a)241(2a)0.a22a70，(a1)28.又aeq f(3,2)，eq f(3,2)a2eq r(2)1，a的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2r(2)1).4函數(shù)f(x)axln x，其中a為常數(shù)(1)當a1時，求f(x)的最大值；(2)假設f(x)在區(qū)間(0，e

8、上的最大值為3，求a的值；(3)當a1時，試推斷方程|f(x)|eq f(ln x,x)eq f(1,2)是否有實數(shù)解解(1)當a1時，f(x)xln x(x0)，f(x)1eq f(1,x)eq f(1x,x)，當0 x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，)上是減函數(shù)，f(x)maxf(1)1，(2)f(x)aeq f(1,x)，x(0，e，eq f(1,x)eq blcrc)(avs4alco1(f(1,e)，).假設aeq f(1,e)，那么f(x)0，f(x)在(0，e上是增函數(shù)，f(x)maxf(e)ae10不合題意假設aeq f(1,e)

9、，那么由f(x)0aeq f(1,x)0，即0 xeq f(1,a).由f(x)0得aeq f(1,x)0，即eq f(1,a)xe.從而f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)上是增函數(shù)，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，e)上是減函數(shù)，f(x)maxfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1lneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)令1lneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)3，那么lneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)2，eq f(1,a)e2，即ae2.e2eq f

10、(1,e)，ae2為所求(3)由(1)知當a1時，f(x)maxf(1)1，|f(x)|1又令g(x)eq f(ln x,x)eq f(1,2)，g(x)eq f(1ln x,x2).令g(x)0，得xe.當0 xe時，g(x)0，g(x)在(0，e)上單調遞增，當xe時，g(x)0，g(x)在(e，)上單調遞減，g(x)maxg(e)eq f(1,e)eq f(1,2)1，g(x)1，|f(x)|g(x)，即|f(x)|eq f(ln x,x)eq f(1,2)，方程|f(x)|eq f(ln x,x)eq f(1,2)沒有實數(shù)解21此題總分值14分函數(shù)，1假設求曲線在處的切線的斜率；2求的

11、單調區(qū)間；3設假設存在對于任意使 求 的范圍。解：(I)綜上：的單調增區(qū)間為的單調增區(qū)間為減區(qū)間為一定符合題意，當?shù)膯握{增區(qū)間為減區(qū)間為由題意知，只需滿足綜上：21函數(shù)fx=xlnx，gx=2x31證明：fxgx；2證明：1+121+231+20232023e220233考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性專題：導數(shù)的綜合應用分析：1構造函數(shù)Fx=fxgx，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值為3e，問題得證2由題意得得，令x=1+nn+1，利用放縮法加以證明解答：證明：1令Fx=fxgx=xlnx2x+3，x0Fx=lnx+12=lnx1，令Fx=0，解得x=e，x0，e，F(xiàn)x0，xe，+，F(xiàn)x0，當x=e時

12、函數(shù)Fx有最小值，即為Fe=elne2e+3=3e0，故fxgx2由1xlnx2x3，得，令x=1+nn+1，故，=即ln220233那么1+121+231+20232023e220233成立 故問題得以證明點評：此題主要考查了導數(shù)以函數(shù)的最值的關系，以及利用放縮法證明不等式成立的問題，屬于中檔題22函數(shù)fx=xelnx1e為自然對數(shù)的底數(shù)求曲線y=fx在x=1處的切線方程；假設m是fx的一個極值點，且點Ax1，fx1，Bx2，fx2滿足條件：1lnx11lnx2=1求m的值；假設點Pm，fm，判斷A，B，P三點是否可以構成直角三角形？請說明理由考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研

13、究函數(shù)的極值專題：計算題；導數(shù)的綜合應用分析：求出導數(shù)和切線的斜率，及切點，運用點斜式方程，即可得到切線方程；求出導數(shù)，討論當0 xe時，當xe時，導數(shù)的符號，即可判斷極值點，求出P點；討論假設x1=e，假設x1=x2，與條件不符，從而得x1x2計算向量PA，PB的數(shù)量積，即可判斷PAPB解答：解：，f1=e，又f1=e1，曲線y=fx在x=1處的切線方程為ye1=ex1，即ex+y2e+1=0 對于，定義域為0，+當0 xe時，lnx1，；當x=e時，fx=11=0；當xe時，lnx1，fx存在唯一的極值點e，m=e，那么點P為e，0假設x1=e，那么1lnx11lnx2=0，與條件1lnx

14、11lnx2=1不符，從而得x1e同理可得x2e假設x1=x2，那么，與條件1lnx11lnx2=1不符，從而得x1x2由上可得點A，B，P兩兩不重合=x1ex2e+x1ex2elnx11lnx21=x1ex2elnx1lnx2lnx1x2+2=0從而PAPB，點A，B，P可構成直角三角形點評：此題考查導數(shù)的綜合應用：求切線方程和求極值，考查運用向量的數(shù)量積為0，證明線段垂直的方法，屬于中檔題2.(2023長春模擬)函數(shù)f(x)=1- QUOTE ,g(x)=x-lnx.(1)證明:g(x)1.(2)證明:(x-lnx)f(x)1- QUOTE .【證明】(1)g(x)= QUOTE ,當0

15、x1時,g(x)1時,g(x)0,即g(x)在(0,1)上是減少的,在(1,+)上是增加的.所以g(x)g(1)=1,得證.(2)f(x)=1- QUOTE ,f(x)= QUOTE ,所以0 x2時,f(x)2時,f(x)0,即f(x)在(0,2)上是減少的,在(2,+)上是增加的,所以f(x)f(2)=1- QUOTE ,又由(1)x-lnx1,所以(x-lnx)f(x)1- QUOTE .3.(2023合肥模擬)假設f(x)= QUOTE 其中aR.(1)當a=-2時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間 QUOTE 上的最大值.(2)當a0時,假設x1,+),f(x) QUOTE a恒成立,求a的取值

16、范圍.【解析】(1)當a=-2,xe,e2時,f(x)=x2-2lnx+2,因為f(x)=2x- QUOTE ,所以當xe,e2時,f(x)0,所以函數(shù)f(x)=x2-2lnx+2在e,e2上是增加的,故f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e4-2.(2)當xe時,f(x)=x2+alnx-a,f(x)=2x+ QUOTE ,因為a0,f(x)0,所以f(x)在e,+)上是增加的,故當x=e時,f(x)min=f(e)=e2;當1xe時,f(x)=x2-alnx+a,f(x)=2x- QUOTE = QUOTE ,()當 QUOTE 1,即0a2時,f(x)在區(qū)間1,e)上

17、是增加的,當x=1時,f(x)min=f(1)=1+a,且此時f(1)f(e)=e2;()當1 QUOTE e,即2a2e2時,f(x)在區(qū)間 QUOTE 上是減少的,在區(qū)間 QUOTE 上是增加的,故當x= QUOTE 時,f(x)min=f QUOTE = QUOTE - QUOTE ln QUOTE ,且此時f QUOTE e,即a2e2時,f(x)=x2-alnx+a在區(qū)間1,e上是減少的,故當x=e時,f(x)min=f(e)=e2.綜上所述,函數(shù)y=f(x)在1,+)上的最小值為f(x)min= QUOTE 由 QUOTE 得00,f(x)=x(2lnx+1).令f(x)=x(2l

18、nx+1)0,得2lnx+10,即x QUOTE ;令f(x)=x(2lnx+1)0,得2lnx+10,即0 x0),設g(x)=xlnx+ QUOTE ,g(x)=lnx+ QUOTE ,g(1)=0,當0 x1時,g(x)1時,g(x)0,g(x)是增加的,所以x0時,g(x)min=g(1)=1.所以k1,k的取值范圍是1,+).5.(2023四川高考)函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值.(2)假設f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有零點,求a的取值

19、范圍.【解題提示】此題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,函數(shù)的零點等根底知識,考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想,并考查思維的嚴謹性.【解析】(1)因為f(x)=ex-ax2-bx-1,所以g(x)=f(x)=ex-2ax-b,又g(x)=ex-2a,因為x0,1,1exe,所以:假設a QUOTE ,那么2a1,g(x)=ex-2a0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上是增加的,g(x)min=g(0)=1-b.假設 QUOTE a QUOTE ,那么12ae,于是當0 xln(2a)時,g(x)=ex-2a0,當ln(2a)0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,ln(2a)上是減少的,在區(qū)間(ln(2a),1上是增加的,g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.假設a QUOTE ,那么2ae,g(x)=ex-2a0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上是減少的,g(x)min=g(1)=e-2a-b.綜上所述,當a QUOTE 時,g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為g(x)min=g(0)=1-b;當 QUOT