概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：4-1 期望

1、4.1 數(shù)學(xué)期望4.2 方差4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4.4 矩和協(xié)方差矩陣隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章（6學(xué)時） 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征（即用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)），在理論上和應(yīng)用上都是有重要意義的。本章介紹隨機(jī)變量常用的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。對于隨機(jī)變量來說，有時不僅要知道它的概率分布，還希望知道隨機(jī)變量取值的“平均”大小，下面介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。4.1 數(shù)學(xué)期望 三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 一、離散型r.v.的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 第四章 二、連續(xù)型r.v.的數(shù)學(xué)期望 第十三講 1、離散型r.v.的數(shù)學(xué)期望若統(tǒng)計(jì)100天,可得到這100天中每天的平均廢

2、品數(shù)為 每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量。如何定義X的引例：某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察。車工小張平均值呢？ (假定小張每天至多出三件廢品) 可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天呢？可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為一般來說,若統(tǒng)計(jì)n天, (假定小張每天至多出三件廢品) 把這種各個數(shù)與相應(yīng)頻率相乘的和稱為 0、1、2、3的以頻率為權(quán)的加權(quán)平均，而頻率稱為權(quán)。由頻率和概率的關(guān)系，在求廢品數(shù)X 的平均值時，用概率代替頻率得平均值為把以上所述歸納起來可以敘述為：X 表示小張所出的次品數(shù)，其概率分布為：則以相應(yīng)概率作為權(quán)的加權(quán)平均。一般在概率論里把這種加權(quán)平均稱為數(shù)學(xué)期望。注意：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個

3、絕對收斂的設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記為 E(X).若級數(shù)絕對收斂，則稱此級數(shù)的和為X的即級數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均值，其與 X 取值 xk 的順序無關(guān)（唯一性），從而要求級數(shù)絕對收斂。定義1甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出試問哪個人的射擊水平較高？解:甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好。X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)例1解:設(shè)試開次數(shù)為X ,則于是 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.例2注：連續(xù)型隨

4、機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的為X 的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記為 E(X) .如果設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為定義2絕對收斂，即積分。由定義可見： X 的期望是對 X 取值的平均值的描述。它是一個表示X 取值的平均特征的常數(shù)。則稱2、連續(xù)型r.v.的數(shù)學(xué)期望已知某電子元件的壽命 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布(單位：小時），求這類電子元件的平均解:小時。由定義可得壽命E(X)。例3設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為討論E(X) 是否存在。解: 由于即積分不絕對收斂，因此E(X) 不存在。例43、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的

5、某個函數(shù)g(X)的期望.故可以按照期望的定義把Eg(X )計(jì)算出來.（1）因?yàn)間( X )也是隨機(jī)變量，它的分布可以由已知的X的分布求出來，已知X 的分布律為求 的數(shù)學(xué)期望。 1/4 1/8 1/4 3/8 -1 0 1 2 1/8 1/2 3/8 0 1 4解: 的分布律為 說明：使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X )g(X )的分布而只根據(jù)X的分布求E g(X ) 呢？的分布，一般是比較復(fù)雜的，那么是否可以不先求例5定理1 設(shè)( g為連續(xù)函數(shù) ) 設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為若級數(shù)絕對收斂,則g(X) 的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f (x),若絕對收斂,則g

6、(X) 的數(shù)學(xué)期望為這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便。知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。該公式的重要性在于:當(dāng)我們求Eg(X )時,不必設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為解：求例6 設(shè)(X, Y)為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為若級數(shù)絕對收斂,則Z 的數(shù)學(xué)期望 設(shè)(X, Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f (x,y),若絕對收斂,則Z 的數(shù)學(xué)為期望為定理2 設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量, g(X, Y)是二元連續(xù)函數(shù)已知( X, Y )的分布律為 求解:例7解：同理一般來說， ,那么何時相等？已知 的概率密度 求例81. 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;2. 若C是常數(shù)，則E(CX)=CE(X);3.4、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4. 設(shè)X, Y 獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y);推廣：當(dāng)Xi 獨(dú)立時,有注意:由E(XY)=E(X)E(Y )不一定能推出X,Y 獨(dú)立.5.（柯西-施瓦爾茲不等式）了解線性性質(zhì)總結(jié)：幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望 . X為離散型隨機(jī)變量 (0-1)分布 泊松分布 二項(xiàng)分布. X為連續(xù)型隨機(jī)變量 均勻分布 指數(shù)分布(3) 正態(tài)分布已知服從參數(shù)為 3 的指數(shù)分布，X , Y相互獨(dú)立，求解: 由隨機(jī)變量的性質(zhì)可知例9第i 站無人下車,第i 站有人下車.解: 設(shè)則且有故一民航送客載有20 位旅