集合學(xué)習(xí)漫談

1、集合學(xué)習(xí)漫談 中國是由五十六個(gè)民族組成的大家庭；高一（ 3）班全體同學(xué)；小于 10 的全部質(zhì)數(shù)；到線段 AB 兩端距離相等的全部點(diǎn)組成的圖形常言道：“ 物以類聚,人以群分”其實(shí),用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看,這就是一種最淳樸、最生活化的 3）班同學(xué)的集合、小于 10 的質(zhì)數(shù)集 集合的概念上面的四句話分別表示中國民族的集合、高一（合和 AB 的垂直平分線（點(diǎn)的集會(huì)）集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一,集合論也成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論集合是高中數(shù)學(xué)必修教材（1）中所學(xué)到的第一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容,也是今后學(xué)習(xí)和研究函數(shù)的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué), 第一應(yīng)當(dāng)留意數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí),只有真正懂得了概念的內(nèi)涵,才能進(jìn)一步運(yùn)用概念去分析和解決問

2、題 集合是指在確定范疇內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成的整體爭論集合,就必要分析構(gòu)成集合的對(duì)象元素,以及這些元素所具有的共同屬性描述法就清楚的反映了集合的本質(zhì),它的基本模式是： 元素 | 元素的共同屬性 例如“ 到線段 AB 兩端距離相等的全部點(diǎn)組成的圖形” 運(yùn)用描述法可以表示為 P | PA=PB ,即它表示一個(gè)點(diǎn)集,且集合中每一個(gè)元素 P都中意 PA=PB 又如,對(duì)于集合 A= y | y=x 2+ 1 與集合 B= x, y | y=x 2+1 第一應(yīng)分析集合的代表元,確定該集合的元素是什么；進(jìn)而弄清該集合中元素的共同屬性集合 A 中的元素是數(shù),集合 B 中的元素是點(diǎn)雖然兩個(gè)集合的元素

3、的共同屬性的表達(dá)形式都是 y=x 2+1,但意義卻完全不同集合 A 是數(shù)集,它表示 x 2+1 的取值范疇,即集合 A 表示不小于 1 的實(shí)數(shù)集；集合 B 是平面上的點(diǎn)集,它表示平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)在（函數(shù)yx21的圖象0,1）且開口向上的拋物線上全部點(diǎn)構(gòu)成的集合,即懂得了元素和集合的概念,才能對(duì)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系作出正確判定,并進(jìn)行集合間的各種運(yùn)算 例如,空集與集合 之間關(guān)系的正確回答應(yīng)當(dāng)是,當(dāng)表示元素時(shí),2 ；x 2,Qy|y當(dāng)表 示 集 合 時(shí) , 又 如 , 已 知 集 合Py|yx ,Mx ,y|yx2,Nx,y|y2x ,試求0：1 PQ; 2PQ; 3MN; 4PN

4、; 5 C MC Q PQPy y由于集合 P、 Q 為數(shù)集,Py|y0, QR ,所以,（1）；（2）1 PQQR 而集合 M、N 均為點(diǎn)集, 因此（3）MNx y , |y2 x 2 x0,0,2, 4；y（4） PN；（5） C M C N 平面上除去（ 0,0）和（ 2,4）的點(diǎn) 如不能精確懂得集合的概念,解答上述問題就有可能誤會(huì)為PQPN0,0,2,4對(duì)概念有了正確的懂得為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)要進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué),仍需要具備確定的數(shù)學(xué)的基本技能和數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)的內(nèi)容通常都表現(xiàn)為“ 數(shù)” 和“ 形” 兩個(gè)方面實(shí)際上,數(shù)與形是同一事物的兩種不同的表現(xiàn)形式,以形助數(shù)可以使問題變得更直觀、

5、生動(dòng), 而依數(shù)解形就可以使問題變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、精確恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“ 數(shù)形結(jié)合” 的思想,不僅可以使問題得到正確解決,仍可以使解題變得更簡捷明白集合既可以運(yùn)用列舉法或描述法表示,也可以運(yùn)用 Venn 圖表示恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用 Venn 圖表示法, 不僅可以幫忙我們懂得概念,仍可以開拓解題思路例如,設(shè)全集 U= x|為不大于 30 的質(zhì)數(shù) ,A C B U 3,5,11, C A U B 17,23, C A U C B U 2,13,19,求集合 A 和 B此題可以從“ 數(shù)” 的角度,運(yùn)用規(guī)律推理得到正確答案,其解答過程為：U 2 , 5,3 7, , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29

6、,由 A C U B ,3 ,5 11 可得 ,3 ,5 11 A,且 5,3 , 11 B；由 CU A B 17 , 23 得 17 , 23 A, 且 17 , 23 B； 由 C U A C U B ,2 13 , 19 得CU A B ,2 13 , 19 綜上可得 A 3 5, 7, , 11 , 29 ,B 7 , 17 , 23 , 29 如此題能運(yùn)用 Venn 圖從“ 形” 的角度分析,顯得更加直觀清楚U A AB A2,13,19 CUA B和CUAB 根3,5,11 7 29 17,23 具體方法為： 如圖,全集被分成四個(gè)部分B, C UB ,據(jù)題設(shè)將各部分所確定的元素填

7、進(jìn)去即可得到正確答案 A 3 , ,5 7 , 11 , 29 ,B 7 , 17 , 23 , 29 嚴(yán)密的規(guī)律性是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,重視思維的規(guī)律性和嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)與訓(xùn)練是特別必要的 如,已知集合 M x | ax 22 x 1 0 中只有一個(gè)元素, 求實(shí)數(shù) a 的取值此題如不留意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的問題,就會(huì)使解答不完整,僅由 4 4 a 0 得到 a=1,實(shí)際2 上,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=0 時(shí),集合 M 中也只有一個(gè)元素再如, 已知集合Px|x22x30 ,Qx|ax10 ,如PQQ,求實(shí)數(shù)a 的值此題的解答中如不留意到集合Q 可以為空集的情形,必將漏解由于同學(xué)們剛剛進(jìn)入高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),對(duì)數(shù)學(xué)的一些思想方法可能仍不是很熟識(shí),想要熟練地加以運(yùn)用就會(huì)顯得更加困難,但這并不行怕,只要能在平常的學(xué)習(xí)中,多問幾個(gè)為什么,使解題從偶然走向必定,那么,你的學(xué)習(xí)才能和解題才能確定會(huì)得到提高集合論的創(chuàng)立者德國偉大的數(shù)學(xué)家康托爾（18451918）,就是由于不中意于對(duì)一些看似沖突卻又實(shí)際存在的問題的大眾化熟識(shí),而去刻苦鉆研,拋棄一切體會(huì)和直觀,用理論進(jìn)行論證,最終取得了令世人矚目的成就,創(chuàng)立了對(duì)數(shù)學(xué)具有深遠(yuǎn)而廣泛影響的基礎(chǔ)理論集合論最終,留給同學(xué)們兩個(gè)好玩的問題,閑暇時(shí)你不妨想一想：假如從兩個(gè)同心圓動(dòng)身畫射線,那么射線就在這兩個(gè)