集合的概念及其表示

1、集合的概念及其表示1第1頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四本章學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)達(dá)到如下目標(biāo)：深入理解掌握集合的概念和不同的表示方法；理解集合間的關(guān)系和特殊集合，包括冪集等；熟練掌握集合的基本運(yùn)算（交、并、補(bǔ)、差、對(duì)稱差等）；理解集合運(yùn)算的規(guī)律和主要證明方法；了解集合的圖形表示法，能夠借助文氏圖直觀表示復(fù)雜的集合；2第2頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四1.1 集合論(set theory)十九世紀(jì)數(shù)學(xué)最偉大成就之一集合論體系樸素(naive)集合論公理(axiomatic)集合論（蔡梅羅(Zermelo ) )創(chuàng)始人康托(Cantor)Ge

2、org Ferdinand Philip Cantor 1845 1918德國(guó)數(shù)學(xué)家, 集合論創(chuàng)始人。他在這一領(lǐng)域的貢獻(xiàn)包括實(shí)數(shù)集合不可數(shù)性的發(fā)現(xiàn)。 3第3頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四 什么是集合(set)集合：是一種原始概念，不能精確定義。一些具有某種特點(diǎn)的對(duì)象的整體就構(gòu)成集合，這些對(duì)象稱為元素(element)或成員(member)。用大寫英文字母A,B,C,表示集合用小寫英文字母a,b,c,表示元素aA：表示a是A的元素，讀作“a屬于A” aA：表示a不是A的元素，讀作“a不屬于A”4第4頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四什么是集合(se

3、t)（續(xù)）例 ： (1) 偶素?cái)?shù)集合2, 稱為單元集。(2) 二進(jìn)制的基數(shù)集合0, 1。(3) 英文字母(大寫和小寫)的集合。(4) C#語(yǔ)言的基本字符構(gòu)成一個(gè)字符集。(5) 計(jì)算機(jī)主存的全部存儲(chǔ)單元集合。(6) 全體實(shí)數(shù)的集合。(7) 廣工全體師生的集合。5第5頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四集合的性質(zhì)1（外延 (extension) 公理）1. 外延 (extension) 公理-兩個(gè)集合A和B相等的充分必要條件是它們有相同的元素。I：互異性: 一個(gè)集合的各元素是可以互相區(qū)分開的, 即每一元素在一個(gè)集合中只出現(xiàn)一次。II：無(wú)序性: 集合中元素排列次序無(wú)關(guān)緊要, 即集

4、合表示形式的不唯一性。例：a, b = b, aIII. 確定性：任一元素是否屬于一個(gè)集合, 回答是確定的。6第6頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四集合的性質(zhì)2（正則 (regularity)公理）3. 對(duì)任何集合S, 有S S；只能說(shuō) S S，不能說(shuō)S=S。（正則 (regularity) 公理的推論）從而規(guī)定了集合S與 S的不同層次性。說(shuō)明：1.集合與其成員是兩個(gè)截然不同的概念, 集合的元素可以是任何具體或抽象事物, 包括別的集合, 但不能是本集合自身。2.先有成員后才形成集合, 所以一個(gè)正在形成中的集合并不能作為一個(gè)實(shí)體充當(dāng)本集合的成員。7第7頁(yè)，共41頁(yè)，2022

5、年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四1.2 數(shù)的集合表示N：自然數(shù)(natural numbers)集合，N=0,1,2,3,Z：整數(shù)(integers)集合， Z=0,1,2,=,-2,-1,0,1,2,Q：有理數(shù)(整數(shù)商Quotient : i/j, j 0)R：實(shí)數(shù)(Real numbers)集合C：復(fù)數(shù)(complex numbers)集合P：素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù) (Prime)集合8第8頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四1.3 集合的表示 列舉法（枚舉法） 描述法（特征法）9第9頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四1.列舉法(roster)列出集合中的全

6、體元素，元素之間用逗號(hào)分開，然后用花括號(hào)括起來(lái)，例如A=a,b,c,d,x,y,z B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9集合中的元素不規(guī)定順序。C=2,1=1,2集合中的元素各不相同。C=2,1,1,2=2,110第10頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四用列舉法表示集合并不總是可能的。例如, 區(qū)間0, 1中的所有實(shí)數(shù)的集合就不能用這種方法給出。從計(jì)算機(jī)的觀點(diǎn)看, 列舉法是一種“靜態(tài)”表示法, 若把全部列舉的數(shù)據(jù)都存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中, 那將占用大量的存儲(chǔ)空間。11第11頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四2.描述法(defining predicate

7、)也稱作特征法。以某個(gè)小寫英文字母表示該集合中的任意一個(gè)元素，并指出該類元素的共同特征。例 : 正奇數(shù)集合 Odd = m | m=2n + 1且nN。例 : 0, 1上的所有連續(xù)函數(shù)所形成的集合可記成 : C0, 1 = f (x) | f (x)在0, 1上連續(xù)。12第12頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四描述法(defining predicate)描述法也稱作謂詞法，性質(zhì)描述法。用謂詞P(x)表示x具有性質(zhì)P ，用x|P(x)表示具有性質(zhì) P 的集合，例如P1 (x): x是小寫英文字母A=x|P1 (x)=x| x是英文字母=a,b,c,d,x,y,z P2 (

8、x): x是十進(jìn)制數(shù)字B=x|P2(x)= x|x是十進(jìn)制數(shù)字 =0,1,2,3,4,5,6,7,8,913第13頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四描述法（續(xù)）兩種表示法可以互相轉(zhuǎn)化，例如E=2,4,6,8, /列舉法=x|x0且x是偶數(shù) /描述法 =x|x=2(k+1)，k為非負(fù)整數(shù)=2(k+1) | k為非負(fù)整數(shù) 有些書在列舉法中用:代替|, 例如2(k+1): k為非負(fù)整數(shù)14第14頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四1.4 集合之間的關(guān)系子集、真子集（包含關(guān)系與相等關(guān)系）空集、全集冪集15第15頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，

9、星期四子集：設(shè)A和B是兩個(gè)集合, 若A中的每一個(gè)元素都是B的元素, 則稱A是B的子集(subset), 也稱B包含(include)A, 記作A B(或B A)。真子集：若A為B的子集, 且A B, 則稱A為B的真子集(proper subset), 或稱B真包含A, 記作A B, B稱為A的超集(superset)。集合的包含關(guān)系：子集與真子集16第16頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四子集、真子集(舉例)設(shè)A=England國(guó)家足球隊(duì)全體成員 B=England國(guó)家足球隊(duì)前鋒成員 C=歐文, 魯尼則有 B A, C B, C A也有 B A, C B, C A17第1

10、7頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四子集(舉例)設(shè)A=a,b,c,B=a,b,c,d,C=a,b,則AB, CA, CB， C ABACBabcdefghij18第18頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四例 ：N Q R C。例 ：臺(tái)灣人都是中國(guó)人, 臺(tái)灣人真包含于中國(guó)人, 即 臺(tái)灣人 中國(guó)人?！啊迸c“”“”的區(qū)別:符號(hào)“”表示元素與集合間的隸屬關(guān)系; 例： 1N /* 1N，正確與否？*/“” “”是集合之間的包含關(guān)系, “” “”的兩邊均是集合, 地位平等。集合之間可以沒(méi)有任何關(guān)系。真子集(舉例)19第19頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)

11、21分，星期四包含關(guān)系的性質(zhì)設(shè)A、B、C為3個(gè)集合, 由定義可知集合的包含關(guān)系有如下性質(zhì)：(1) A A。 (自反性)(2) 若A B且B A, 則A = B。(反對(duì)稱性)(3) 若A B且B C, 則A C。(傳遞性)20第20頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四“”傳遞性證明若AB,且BC, 則AC證明: 因?yàn)?AB ，所以對(duì)于任意屬于A的元素x，都有xB； 又因?yàn)锽C，則xC； 任何屬于A的元素都屬于C。即： AC21第21頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四“”傳遞性證明若AB,且BC, 則AC證明: 要證AC，即證AC并且AC首先證明ACAB

12、AB 并且 AB AB 同理 BC BC, 所以AC.反證法證明AC 假設(shè)A=C, 則BCBA, 又AB, 故A=B, 此與AB矛盾, 所以A=C不成立，因而AC成立. 所以, AC. 22第22頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四相等關(guān)系定義1：由外延公理, 集合A與集合B的元素完全相同時(shí), A = B。相等關(guān)系判定定理： 設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合, 若A B 且 B A, 則稱A與B相等, 記作 A = B。集合的相等關(guān)系23第23頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四集合的相等關(guān)系有如下性質(zhì)：(1) A = A。(自反性)(2) 若A = B, 則B

13、= A。(對(duì)稱性)(3) 若A = B且B = C, 則A = C。 (傳遞性)兩個(gè)相等的集合并不意味著它們是用同樣的方式定義的。例 ：設(shè)集合A是方程 x2 x = 0 的解的集合,A = x | x2 x = 0; x2 x = 0 的解為0和1 B = 0, 1;則 A = B。24第24頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四空集(empty set)空集:不包含任何元素的集合稱為空集(empty set), 記作, 或 。例 ：方程 x2 + 1 = 0 的實(shí)根集合是空集。這說(shuō)明空集是客觀存在的。空集的引入, 可以使許多問(wèn)題的敘述得到簡(jiǎn)化。下列命題成立： ； 25第25

14、頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四例1 ：判斷下列命題的真假: (1) (2) (3) (4) Solution ：(2)為假; 其余均為真。例2： 列出 B = 和 C = 的全部(真)子集。 Solution ： 且 ； B有兩個(gè)子集: 和 ； B只有一個(gè)真子集 : 。 C, 所以C只有一個(gè)子集, 沒(méi)有真子集。例3:是否存在集合A和B, 使得 AB 且 A B。Solution ：存在。例 A = a, B = a, a。26第26頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四（1） 空集是一切集合的子集。（2） 空集是唯一的。proof 若存在空集合 1和

15、2, 由（1）知 1 2 和 2 1, 根據(jù)集合相等的定義 1 = 2。對(duì)于每個(gè)非空集合S, 至少有兩個(gè)不同的子集, 即 S 和 S S。我們稱和S自身是S的平凡子集。空集的性質(zhì)27第27頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四全集全集: 如果限定所討論的集合A都是某個(gè)集合U的子集,則稱集合U是全集。某些書上也記作E。全集是相對(duì)的, 視情況而定, 因此不唯一.全集只包含與討論有關(guān)的所有對(duì)象, 并不一定包含一切事物。 例：討論(a,b)區(qū)間里的實(shí)數(shù)性質(zhì)時(shí), 可以選U=(a,b), U=a,b), U=(a,b, U=a,b, U=(a,+),U=(-,+)等28第28頁(yè)，共41頁(yè)

16、，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四冪集(power set)冪集: 設(shè)A是集合，A的全體子集組成的集合,稱為A的冪集,記作P(A)，或者2A 。A稱作P(A)的指標(biāo)集。P(A)=x|xA注意: xP(A) xA。也就是說(shuō)，P(A)中的每一個(gè)元素都是集合，這些集合中的元素全部都只能來(lái)自集合A。例：A=a,b, P(A)=,a,b,a,b. 29第29頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四集合的基基：也稱作“勢(shì)”。集合A中元素的個(gè)數(shù)?；鶖?shù)是有限數(shù)的集合稱為有限集, 否則稱為無(wú)限(infinite)集。一般僅對(duì)有限集討論其基的值。定理：設(shè)A是有限集，且|A|=n，則A的冪

17、集的基|P(A)|= 2n 。例：A=a,b, P(A)=,a,b,a,b.|A|=2，則|P(A)|=430第30頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四給定一個(gè)有限集, 要保證不重復(fù)和不遺漏地寫出它的全部子集, 辦法之一就是將子集按基數(shù)由小到大地分類, 相同基數(shù)類的子集再按字母數(shù)字順序逐個(gè)地寫出。例:求出集合S = a, b, c的所有子集。n=3Solution: 0元子集, 只有一個(gè)C30個(gè): ;1元子集, 有C31個(gè): a, b, c；2元子集, 有C32個(gè): a, b, a, c, b, c；3元子集, 有C33個(gè): a, b, c 。共有子集數(shù): C30+C31+

18、C32+C33= (1+1)3 = 23 = 831第31頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四子集與二進(jìn)制數(shù)通過(guò)建立子集與二進(jìn)制數(shù)的關(guān)系，求出集合的所有子集。A=a1, a2, , an, |A|=na1a2a3an0/10/10/10/110110110= a2, a3A的子集與n位二進(jìn)制數(shù)一一對(duì)應(yīng)= a1, a3 , anB101001 B011000 32第32頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四子集與二進(jìn)制數(shù)（舉例）例：設(shè)A = a, b, c, |A| = 3, P(A) = B0= B000 = , B1= B001 =c, B2= B010

19、 =b, B3= B011 =b,c, B4= B100 =a , B5= B101 =a,c B6= B110 =a,b , B7= B111 = a,b,c abc子集B000B001cB010bB011b,cB100aB101a,cB110a,bB111a,b,c33第33頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四若|A|=n，A的任一子集都可用n位二進(jìn)制數(shù)中的某個(gè)數(shù)來(lái)表示;反之, 若給出2n 1中的任何一個(gè)值, 就能夠確定A相應(yīng)的子集。我們只用下標(biāo)來(lái)確定子集的各元素, 而字母B則是無(wú)關(guān)緊要的。若使用十進(jìn)制數(shù)作為子集的下標(biāo), 則轉(zhuǎn)換為A的基數(shù)位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)后同樣處理。34第34頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)21分，星期四例 : 設(shè)S = a1, a2, ., a8, 由B17 和B31所表示的S的子集各是什么? 應(yīng)如何表示子集a1, a8和a3, a8, a7?解 S有28 = 256