連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第1頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三為了了解中職學(xué)校女學(xué)生的身體發(fā)育情況，在某校16歲的女生中，選出60名學(xué)生進(jìn)行身高測(cè)量，結(jié)果如下（單位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 158159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157162 162 159 154 165 166 157 151 146 151158 160 165 158 163 163 162 161 154 165162

2、162 159 157 159 149 164 168 159 153第2頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三下面根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖 第3頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三從頻率直方圖看出，該校16歲女生的身高的分布狀況具有“中間高、兩頭低”的特點(diǎn)，即身高在157.5cm至160.5cm的人數(shù)最多，往左右兩邊區(qū)間內(nèi)的人數(shù)越少，而且左右兩邊近似對(duì)稱(chēng) 樣本容量越大，所分組數(shù)會(huì)相應(yīng)越多，頻率分布直方圖中的小矩形就變窄設(shè)想如果樣本容量無(wú)限增大，且分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖所有的小矩形的上端會(huì)無(wú)限地接近于一條光滑曲線，我們把這條曲線叫

3、做概率密度曲線（如圖） 第4頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三概率密度曲線精確地反映了隨機(jī)變量 在各個(gè)范圍內(nèi)取值的規(guī)律以這條曲線為圖像的函數(shù)yf（x）叫做 的概率密度函數(shù) 如圖， 在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率恰好為圖中陰影部分的面積 在區(qū)間（-，a）取值的概率 恰好是位于曲線與x軸之間，直線xa左側(cè)部分圖形的面積 第5頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三一、定義 如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，存在非負(fù)可積函數(shù)f (x) ，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或密度函數(shù)或密度。二、性質(zhì) (1) f(x

4、)01x2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第6頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三二、性質(zhì)(4) 在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處有： (6) 連續(xù)型隨機(jī)變量取任何實(shí)數(shù)值a的概率等于0.由性質(zhì)(6)可得： (5) 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)不僅右連續(xù)，而且是連續(xù)函數(shù)。第7頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三連續(xù)型密度函數(shù) X p(x) 2.4. P(X=a) = 0離散型分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).4. 點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較5. F(x)為階梯函數(shù)。 5. F(x)為連

5、續(xù)函數(shù)。 F(a0) = F(a). F(a0) F(a).第8頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 例1 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 (x)=Ae-|x|（ -x+ ）試求: (1) 常數(shù)A ；(2) P0X2；(3) 分布函數(shù)F(x).解 (1) 由 得：故：A = 0.5； (2)第9頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 (3) 當(dāng)x a 和 B = Y a 獨(dú)立，解: 因?yàn)?P(A) = P(B), P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)從中解得且 P(AB)=3/4,求常數(shù) a .且由A、B 獨(dú)立，得= 2P(A) P(A)2

6、= 3/4從中解得: P(A)=1/2, 由此得 0a a )練習(xí)3第13頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三1 、均勻分布 如果隨機(jī)變量X的概率密度為則稱(chēng)X在區(qū)間a,b上服從均勻分布。記為 XUa,b可知X落在a,b內(nèi)任一小區(qū)間c,d內(nèi)的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)2.3.2 常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布第14頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三分布函數(shù)為：xf ( x)abxF( x)ba第15頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 X U(2, 5). 現(xiàn)在對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大

7、于 3 的概率.解：記 A = X 3 , 則 P(A) = P( X 3) = 2/3設(shè) Y 表示三次獨(dú)立觀測(cè)中 A 出現(xiàn)的次數(shù),則 Y B(3, 2/3)，所求概率為 P(Y2) =P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例3第16頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三2. 指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記作XE().其分布函數(shù)為第17頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其中0是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記作XE().分布函數(shù)為1xF( x)0 xf ( x)0指數(shù)分布的另一種表示形

8、式 第18頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 指數(shù)分布常用來(lái)作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命；動(dòng)物的壽命；電話問(wèn)題中的通話時(shí)間都常假定服從指數(shù)分布特別：指數(shù)分布具有無(wú)憶性，即：P( X s+t | X s )=P( X t )第19頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 例4 假設(shè)某種熱水器首次發(fā)生故障的時(shí)間X（單位：h）服從指數(shù)分布，其概率密度為（1）該熱水器在100 h內(nèi)需要維修的概率是多少？（2）該熱水器能正常使用600 h以上的概率是多少？解（1） （2） 第20頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 正態(tài)分布是

9、應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布. 正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱(chēng)為高斯分布.德莫佛 德莫佛（De Moivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.3. 正態(tài)分布第21頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三1. 定義 若X的概率密度為分布函數(shù)為：F(x)x其中,(0)為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布。記作 X N（,2）第22頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三2. 正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的圖形的性質(zhì) (1) f(x) 關(guān)于 是對(duì)稱(chēng)的.f(x)x0在 點(diǎn) p

10、(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改變, (3) 若 固定, 改變,小大f(x)左右移動(dòng), 形狀保持不變. 越大曲線越平坦; 越小曲線越陡峭.第23頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三(x)x0 xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)密度函數(shù)記為 (x),分布函數(shù)記為 (x).第24頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三證明：第25頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三3. 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表計(jì)算概率 4) P|X| 1.54 = 1- P|X| 1.54=1-0.8764=0.1236例5 設(shè)XN(0,1) ,計(jì)算PX2.35 ；

11、 P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54； P|X| 1.54 1）PX2.35 =(2.35)= 0.99062）P-1.64 X0 .82 = (0.82)- (-1.64) = (0.82)- 1-(1.64) = 0.74343) P|X| 1.54= (1.54)- (-1.54) =2(1.54)-1= 0.8764第26頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三例6 設(shè)隨機(jī)變量 求 解 例7（3原則）設(shè)X N (, 2)，求 P|X-|, P|X-|2, P|X-|3，解 P|X|= PX+第27頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期

12、三 在一次試驗(yàn)中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量X落在以為中心，3為半徑的區(qū)間(-3, +3)內(nèi)的概率相當(dāng)大(0.9974)，即X幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說(shuō)在一般情形下，X在一次試驗(yàn)中落在(-3, +3)以外的概率可以忽略不計(jì)。 在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P|X|31，忽略|X|3的值。如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。第28頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 設(shè) X N(, 2), P(X 5) = 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .例8 = 1.76 =4解: 第29頁(yè)，共33頁(yè)，20

13、22年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三 例9 某廠生產(chǎn)罐裝咖啡，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為0.5kg，長(zhǎng)期生產(chǎn)實(shí)踐表明自動(dòng)包裝機(jī)包裝的每罐咖啡的重量X服從參數(shù) =0.05kg的正態(tài)分布. 為了使重量少于0.5kg的罐頭數(shù)不超過(guò)10%，應(yīng)把自動(dòng)包裝線所控制的均值參數(shù)調(diào)節(jié)到什么位置上？ 解 由題設(shè)知 假如把自動(dòng)包裝線控制的值調(diào)節(jié)到0.5kg位置，則有第30頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三即重量少于0.5kg的罐頭占全部罐頭數(shù)的50%，這顯然不符合要求. 所以應(yīng)該把自動(dòng)包裝線控制的值調(diào)到比0.5kg大一些的位置，使得 查附表1可得 即 應(yīng)將調(diào)到不小于0.5645的位置.第31頁(yè)，共33頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)16分，星期三已知 X N(3, 22), 且 PXk = PXk, 則 k = ( ).3課堂練習(xí)(1) 設(shè) X N(,