福建省長(zhǎng)泰名校2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，ABCDO，且ABCD，SOOB3，SE.，異面直線SC與OE所成角的正切值為（ ）ABCD2由曲線圍成的封閉圖形的面積為（

2、）ABCD3已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值等于( )A2BC4D84對(duì)于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，.下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是( )發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A2B3C3.5D45復(fù)數(shù)的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限6的展開(kāi)式中的系數(shù)是-10，則實(shí)數(shù)( )A2B1C-1D-27中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里，其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里，超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程（單位：萬(wàn)

3、公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（ ）A每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列8已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為( )ABCD9某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（ ）.A，且B，且C，且D，且10設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)

4、，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為（ ）A1BCD11已知數(shù)列中，()，則等于（ ）ABCD212是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數(shù)的極大值為_(kāi).14如圖，在平行四邊形中，,則的值為_(kāi).15如圖所示，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，, 則異面直線與所成的角為_(kāi).16在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在單位圓上，設(shè)，且若，則的值為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化

5、為直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求的值.18（12分）已知函數(shù).（1）若曲線的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）已知向量， .（1）求的最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求的面積.20（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）設(shè)H在AC上，若，求PH與平面PBC所成角的正弦值.22（10分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)

6、為免費(fèi)民用（1）在一次全民健身活動(dòng)中，四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次抽取共25場(chǎng)，在中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為，其相應(yīng)維修費(fèi)用為元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù)：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99用最小二乘法求與的回歸直線方程；叫做籃球館月惠值，根據(jù)的結(jié)論，試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式：，2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題

7、，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】可過(guò)點(diǎn)S作SFOE，交AB于點(diǎn)F，并連接CF，從而可得出CSF（或補(bǔ)角）為異面直線SC與OE所成的角，根據(jù)條件即可求出，這樣即可得出tanCSF的值.【題目詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)S作SFOE，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則CSF（或補(bǔ)角）即為異面直線SC與OE所成的角，又OB3，SOOC，SOOC3，；SOOF，SO3，OF1，；OCOF，OC3，OF1，等腰SCF中，.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角的關(guān)系，平行線分線段成比例的定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、

8、A【答案解析】先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為，再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【題目詳解】封閉圖形的面積為.選A.【答案點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.3、D【答案解析】畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【答案解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).【題目詳解】由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為，故選：

9、C.【答案點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5、C【答案解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡(jiǎn)單題.6、C【答案解析】利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【題目詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，則，所以，解得.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.7、D【答案解析】由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【題目詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題8、A【答

10、案解析】根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【題目詳解】由題可知，則解得，由可得，答案選A【答案點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功9、D【答案解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長(zhǎng)度，進(jìn)一步求出個(gè)各棱長(zhǎng).【題目詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【答案解析】設(shè)，因?yàn)?，得到，利用直線的斜率公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【題目詳解】由題意，拋物

11、線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)?，即線段的中點(diǎn)，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線的斜率的最大值為1.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.11、A【答案解析】分別代值計(jì)算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問(wèn)題得以解決.【題目詳解】解：，()，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【答案解析】根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選

12、項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】先求函的定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值點(diǎn)，即可求出函數(shù)的極大值【題目詳解】函數(shù)，令得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值，極大值為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸

13、思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用14、【答案解析】根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出，然后代入AB2，AD1即可求出的值【題目詳解】AB2，AD1， 141故答案為：1【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、【答案解析】要求兩條異面直線所成的角，需要通過(guò)見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，找出邊的中點(diǎn)，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角【題目詳解】取的中點(diǎn)E,連AE, ,易證，為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，易算得在故答案為【答案點(diǎn)睛】本題考查異面直線

14、所成的角，本題是一個(gè)典型的異面直線所成的角的問(wèn)題，解答時(shí)也是應(yīng)用典型的見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，注意求角的三個(gè)環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求16、【答案解析】根據(jù)三角函數(shù)定義表示出，由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合求得，而，展開(kāi)后即可由余弦差角公式求得的值.【題目詳解】點(diǎn)在單位圓上，設(shè)，由三角函數(shù)定義可知，因?yàn)椋瑒t，所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，所以 故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，余弦差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1） ： ， ：；（2）【答案解析】（1）消去參數(shù)求得直線的普通方程，將兩邊同乘以，化簡(jiǎn)求得

15、圓的直角坐標(biāo)方程.（2）求得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，求得的值.【題目詳解】（1）消去參數(shù)，得直線的普通方程為，將兩邊同乘以得，圓的直角坐標(biāo)方程為；（2）經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)在直線上，可轉(zhuǎn)化為，將式代入圓的直角坐標(biāo)方程為得，化簡(jiǎn)得，設(shè)是方程的兩根，則，與同號(hào)，由的幾何意義得.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問(wèn)題，屬于中檔題.18、（1）；（2）或【答案解析】（1）根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由導(dǎo)函數(shù)求得有最小值，進(jìn)而

16、可知由唯一零點(diǎn)，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結(jié)合零點(diǎn)定義化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；求得并令求得極值點(diǎn)，列出表格判斷的單調(diào)性與極值，即可確定與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【題目詳解】（1）依題意，設(shè)切點(diǎn)為，故，故，則；令，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實(shí)數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線與曲線在有兩個(gè)交點(diǎn)”；由于.由，解得，.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋十?dāng)或時(shí)，直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【答案點(diǎn)睛】

17、本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，由切線方程求參數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點(diǎn)的意義及綜合應(yīng)用，屬于難題.19、（1）；（2）或【答案解析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結(jié)合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解【題目詳解】（1）最小正周期 .（2）由（1）知， ， 又或. 解得或當(dāng)時(shí)，由余弦定理得即， 解得.此時(shí).當(dāng)時(shí)，由余弦定理得.即，解得.此時(shí).【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論

18、思想，屬于基礎(chǔ)題20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【答案解析】（1）由底面為菱形，得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定可得平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：底面為菱形，底面，平面，又，平面，平面；（2）解：，為等邊三角形，.底面，是直線與平面所成的角為，在中，由，解得.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，.，.設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，.由，取，得；由，取，得.平面與平面所成