普通物理學(xué)課件：第四章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、第四章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)際物體都是有形狀、大小的。當(dāng)需要研究物體的自身運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體不能被看作質(zhì)點(diǎn)。但很多情況下，可忽略物體在運(yùn)動(dòng)過程中的形變。剛體：物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離在運(yùn)動(dòng)中保持不變。研究方法：視剛體為無窮多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系。每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)服從牛頓定律。而整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的疊加。剛體的一般運(yùn)動(dòng)平動(dòng)（可看作質(zhì)點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（2）剛體的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（3）剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理及其應(yīng)用；（4）剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律；（5）力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、剛體的動(dòng)能定理。主要內(nèi)容：（1）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律；4-1 剛體的運(yùn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)均繞一固

2、定直線作圓周運(yùn)動(dòng)，該直線稱為轉(zhuǎn)軸。非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)繞一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，該軸也在空間運(yùn)動(dòng).平動(dòng)：剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的方向在運(yùn)動(dòng)中保持不變。AAABBBpv本章主要討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4-2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律（課本2-7 ）1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻對(duì)點(diǎn)O的位矢為 ，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)的角動(dòng)量為： 的方向符合右手法則大小：角動(dòng)量單位：kgm2s-12、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力對(duì)參考點(diǎn) O 的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的角動(dòng)量變化率.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。 恒矢量

3、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律沖量矩：4-3 質(zhì)心、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（課本2-1 ）在討論質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)時(shí)，引入質(zhì)心（或質(zhì)心參照系）的概念，?？珊?jiǎn)化計(jì)算。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m1、 m2、 mi、 mn，它們的位矢r1、 r2、 ri、 rn 。則質(zhì)心的位矢定義為：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體：或：xyzomiC為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量。其中：質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置是確定的，該位置不因坐標(biāo)系的不同選擇而不同。例：質(zhì)量均勻的細(xì)桿，坐標(biāo)原點(diǎn)選在一端。CoxdxL/2xM, L例：質(zhì)量均勻的細(xì)桿，坐標(biāo)原點(diǎn)選在桿中央。CoxdxxM, L對(duì)質(zhì)量分布均勻，形狀對(duì)稱的物體，質(zhì)心就在其幾何中心。質(zhì)心、重心是兩個(gè)不同的概念，但物體不太

4、大時(shí)，質(zhì)心和重心位置重合。當(dāng)以質(zhì)心為參照系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量為零。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：可見：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，就好象一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，而該質(zhì)點(diǎn)所受的力等于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受外力之和。即：稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。4-4 剛體的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述：角位移矢量：dt時(shí)間內(nèi)位矢轉(zhuǎn)過的角度。方向沿轉(zhuǎn)軸角速度矢量：角位移的時(shí)間變化率。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一質(zhì)元的線速度和角速度的關(guān)系為：p角加速度矢量：角速度的時(shí)間變化率。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)，所以各角量可用 標(biāo)量表示。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元角量 均相同，但 各質(zhì)元線量 均不同。 角量與線量的關(guān)系

5、：可見：研究剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)用角量描述比用線量描述 方便得多。2、剛體的角動(dòng)量：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不能用動(dòng)量進(jìn)行描述，而要用角動(dòng)量進(jìn)行描述。定義：剛體上任一質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為：定義：剛體繞某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：?jiǎn)挝唬簁gm2所以，剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：p3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度，它的大小取決于：(1) 剛體質(zhì)量； (2) 質(zhì)量的分布； (3) 轉(zhuǎn)軸的位置。對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：質(zhì)量體分布時(shí)：質(zhì)量面分布時(shí)：質(zhì)量線分布時(shí)：應(yīng)用以下兩個(gè)定理，往往可簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：(1) 平行軸定理：(2) 正交軸定理：設(shè)zc為通過剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸，z為與zc平行的另一轉(zhuǎn)

6、軸。兩轉(zhuǎn)軸相距d，則：其中：md2相當(dāng)于質(zhì)量全部集中于c時(shí)，對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 剛體對(duì)通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。薄板形剛體對(duì)板內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和等于剛體對(duì)過兩軸交點(diǎn)并垂直于板面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Czzcdyozx作業(yè)：證明這一定理作業(yè)：證明這一定理例題1： 求質(zhì)量為M、長(zhǎng)為 L 的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； （3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點(diǎn)并和棒垂直。（1）棒上任取線元dx，其質(zhì)量為dm。L、MxdxC該線元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：整根棒對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：L、MxdxL、MhCzzc（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸取在棒的一端

7、時(shí)：（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點(diǎn)并和棒垂直時(shí)：由平行軸定理：當(dāng)h=L/2時(shí)，與(1)的情況相同，由上式：例題2： 求密度均勻的圓盤對(duì)通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為M。在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)，環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：prdrM4-5 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定理外力對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，與力的大小、方向、作用點(diǎn)的位置都有關(guān)。但外力在平行于轉(zhuǎn)軸方向的分力對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內(nèi)的分力。1、力矩：pfcosdof sin定義：外力相對(duì)于某固定軸的力矩為：力矩的大?。浩渲校悍Q為外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力臂。力矩的大小也可

8、以寫作：當(dāng)有幾個(gè)外力同時(shí)作用于剛體時(shí)，合外力矩等于各外力力矩的矢量和：可見：只有垂直于位矢方向的分力 f sin 才對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn) 動(dòng)起作用。但對(duì)于作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，合外力矩可用代數(shù)和表示： 剛體所受合外力為零時(shí)，合外力矩不一定為零，反之亦然。2、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：剛體中第i個(gè)質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為：對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：其中：為第i個(gè)質(zhì)元所受的作用力；為fi對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。對(duì)整個(gè)剛體：為所有質(zhì)元所受外力矩和內(nèi)力矩的矢量和：因?yàn)閯傮w內(nèi)每一對(duì)內(nèi)力的力矩均等值、反向，所以內(nèi)力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)無影響。設(shè) 為剛體所受的合外力矩，則：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：剛體所受的合外力矩等于剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸 角動(dòng)量的時(shí)間變化率。非相對(duì)論

9、情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為常量：所以，經(jīng)典力學(xué)中剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定理可表示為：當(dāng)外力矩一定時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，則角加速度越小。說明 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。例題3 (課本P117:例題3-3)設(shè) m1 m2，定滑輪可看作勻質(zhì)圓盤，其質(zhì)量為M而半徑為r 。繩的質(zhì)量不計(jì)且與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸的摩擦力不計(jì)。求： m1 、 m2的加速度及繩中的張力。隔離滑輪及重物，畫受力分析圖。因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以：T 1= T 1 ， T 2= T 2 。m1m2Mm2 gMroT2T1m1 gT2T1aa解方程：若滑輪質(zhì)量不計(jì)，即M=0，則：4-6 剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律外力矩持續(xù)作用一段時(shí)間后，剛體

10、的角速度才會(huì)改變。1、剛體的角動(dòng)量定理：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：式中稱為合外力矩在 t = t2-t1內(nèi)的沖量矩(N m s)。角動(dòng)量定理：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在同一 時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量定理對(duì)非剛體也成立，此時(shí)：2、角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)物體所受合外力矩為零時(shí)，有：即：當(dāng)物體所受合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。角動(dòng)量守恒的兩種情況：(1) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度都不變；(2) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度都改變，但兩者的乘積保持不變。例題4質(zhì)量為 M，半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞垂直中心軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的人站在臺(tái)邊。開始時(shí)，人與轉(zhuǎn)臺(tái)都靜止。若人沿臺(tái)邊走動(dòng)一周。求：轉(zhuǎn)臺(tái)和人相對(duì)地面各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少角度？設(shè)人

11、對(duì)地角速度 ，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地角速度 ，人對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)角速度rel ，則：人與轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)地角動(dòng)量守恒：得：所以人對(duì)地轉(zhuǎn)過的角度：（設(shè)T為人沿轉(zhuǎn)臺(tái)走一周所需時(shí)間）轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地轉(zhuǎn)過的角度：負(fù)號(hào)表示人與轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。4-7 剛體的動(dòng)能定理1、力矩的功：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)每一對(duì)質(zhì)元間內(nèi)力的合力矩為零，所以研究剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只需考慮外力矩的作用。podsd設(shè)剛體在外力作用下產(chǎn)生元位移ds，則外力對(duì)剛體所作的元功為：式中：為外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。所以：當(dāng)剛體在外力矩作用下由角位置0轉(zhuǎn)到時(shí)，外力矩作功：外力矩的功率為：可見：功率一定時(shí)，轉(zhuǎn)速越低則外力矩越大。2、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，某質(zhì)元mi的動(dòng)能為：整個(gè)剛體

12、的動(dòng)能為：即：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能的角量表示，而不是區(qū)別于 平動(dòng)動(dòng)能的另一種形式的能量。3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：得：即：合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 動(dòng)能的增量。4、剛體的重力勢(shì)能：hcCEp=0將剛體的全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)，該質(zhì)心所擁有的重力勢(shì)能，即為整個(gè)剛體的重力勢(shì)能。若轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，則剛體的重力勢(shì)能在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)保持不變。勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)牛頓第二定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理動(dòng)能定理動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)（剛體平動(dòng)）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 質(zhì)量為 m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿，可繞水平轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸離桿一端l/3，設(shè)桿由

13、水平位置自由轉(zhuǎn)下，求：(1)桿在水平位置時(shí)的角加速度；(2)桿在豎直位置時(shí)的角速度和角加速度；(3)桿在豎直位置時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的作用力。例題5oCmgABl/3(1)重力的作用點(diǎn)在質(zhì)心C。由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：得：(2)由機(jī)械能守恒：得：(3)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：oCmgN所以：而桿對(duì)轉(zhuǎn)軸的作用力大小等于N，但方向向下。例題6一磨輪半徑0.10m，質(zhì)量25kg，以50r/s的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng).用工具以200N的正壓力作用在輪邊緣，使它在10s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求工具與磨輪之間的磨擦因數(shù)。f=FFMo磨擦阻力矩：磨輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：為常量，所以磨輪作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)：得：例題7一滑輪半徑R = 0.10m，質(zhì)量M=15kg，一細(xì)繩跨過滑輪，可帶動(dòng)滑輪繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，重物m1=50kg，m2=200kg。不考慮磨擦，求重物加速度和細(xì)繩的張力。RMm1m2隔離物體、畫出受力圖、分析運(yùn)動(dòng)情況。由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理列方程：解得：m2 gm2T2T2T1T1RMaam1例題8課本P141習(xí)題3-22長(zhǎng)l = 0.40m的勻質(zhì)木棒，質(zhì)量M=1.00kg，可繞水平軸o在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒處于豎直位置，現(xiàn)有質(zhì)量m=8g，v=200m/s的子彈從A點(diǎn)射入棒中。 AO=3l/4