5線性定常系統(tǒng)的綜合

1、線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)及其特& AxBu, y Cxx(0) t A、B、C均為常陣 u=-kx +u=-Fy+ u=-kx +u=-Fy+其中：k為rnF為rm常陣，輸出反饋矩陣。 二(t)作為性能指標(biāo)（3）以使系統(tǒng)的輸出 y 無靜差一個(gè)外部信(t)作為性能指標(biāo)（3）以使系統(tǒng)的輸出 y 無靜差一個(gè)外部信J(u() (x Qx RuTT0RQ1AQ2 )12121（1） 狀態(tài)可直接測量：直接實(shí)2確和系統(tǒng)參數(shù)攝動問題（魯棒控制理論來解決）1（1） 狀態(tài)可直接測量：直接實(shí)2確和系統(tǒng)參數(shù)攝動問題（魯棒控制理論來解決）魯棒控制：系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定性裕度（增益裕度、相位裕度等3狀

2、態(tài)反饋和輸出反1v uyxCBAK閉狀態(tài)反饋和輸出反1v uyxCBAK閉反饋控制規(guī)ABC)的方程為 反饋控制規(guī)ABC)的方程為 & Ax Buy :u Kx K r n狀態(tài);v 參考., r維向狀態(tài)反饋后的閉環(huán)的狀態(tài)空間& (A BK )x C閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk (s) C(sI A )1 2v uyxCB反饋控制規(guī)AK& AxBu2v uyxCB反饋控制規(guī)AK& AxBu y Cx:u Fy u FCx F rm輸出反饋陣 (A BFC )x y C)1 (A BFC )x y C)1 (s) C(sI A F若受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)表 示為G0(s) C(sI 則GF (s) G0(s)I

3、FG0 (I G0(s)FG0(二1x測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)）v uyxBCxx的重xx A&二1x測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)）v uyxBCxx的重xx A&2uyvxBC串聯(lián)補(bǔ)償2uyvxBC串聯(lián)補(bǔ)償三受控系統(tǒng)0的能控性判據(jù)陣Qc BMABM反饋系統(tǒng)ck的能控性判據(jù)陣 三受控系統(tǒng)0的能控性判據(jù)陣Qc BMABM反饋系統(tǒng)ck的能控性判據(jù)陣 BM(A BK)BMA BK)n1假設(shè)受控系統(tǒng)0 完全能控,必有Qc BABMAn1B BM(A BK)BMA BK)n1(ABK)B AB而(ABK故的B, 的(ABK)2 B (ABK)(A BK)B (ABK)2 B (ABK)(A BK)B (A BK)(AB A

4、2B ABKB BKAB 故(A BK )2 B的由B, AB, A2 B的線性組合表示。以此類推( A BK )n1 B的由B, AB, A2 BL An1 B的因此Qck 又,可把c (A,B,C)看作由ck (A BK),B,C) 經(jīng)反饋而c (A BK) BK),B,C)故而Qc Qc ck 能控當(dāng)且僅當(dāng)c & 2x 0u31oy :能觀測性判別 QCA& 2x 0u31oy :能觀測性判別 QCAooo 能觀測引入狀態(tài)反K 0,4& (A BK )x 2x 0v則反饋系統(tǒng) :1y x C 能觀測性判別QC(A BK r k 為不完全能觀測K 0 1 CrK 0 1 Cr k 為四12

5、狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為（A-BK），其中K為狀態(tài)反饋陣。輸四12狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為（A-BK），其中K為狀態(tài)反饋陣。輸反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為（A-BFC），其中F為輸出反饋陣，這里相當(dāng)于狀態(tài)反饋陣中的K陣，但K度大，而F度小，尤其是FC對系統(tǒng)的影響效果要比K小得多，所以輸出反饋3。45. 3。45. 極點(diǎn)一u=-v& (ABK極點(diǎn)一u=-v& (ABK)x的極點(diǎn)為* ,L,i 1,2,L,K的算法& 證：必要性：已知可配置極點(diǎn)，欲證A，b為能控利用反證法，假設(shè)A，K的算法& 證：必要性：已知可配置極點(diǎn)，欲證A，b為能控利用反證法，假設(shè)A，b不完全能控，則必可AA b c1cP0Ac ,K

6、 K 對任一狀態(tài)反有21det(sI AbK)detP(sI AbKPsI A bc K1A12 bK K 對任一狀態(tài)反有21det(sI AbK)detP(sI AbKPsI A bc K1A12 bcKsI c0det(sI Ac bc K1 )det(sI Ac 其中K KP K。12充分性。已知A，b為能控，欲證可配對單輸入問題來證明若 A, b能控,則必可任意地配置閉環(huán)環(huán)極點(diǎn) n1 L1s (s)det(sI A) 令由 A, b能控,導(dǎo)出如下能控規(guī)范對單輸入問題來證明若 A, b能控,則必可任意地配置閉環(huán)環(huán)極點(diǎn) n1 L1s (s)det(sI A) 令由 A, b能控,導(dǎo)出如下能

7、控規(guī)范形0MIA P1AP b P1b 0L01,*,L*,導(dǎo)出再由任意指定的期望閉環(huán)極nn*(s) (s*)sn L *s *i10i并且, k kP k ,L,* *n1000于是0MM * Abk*0000M0L0n于是0MM * Abk*0000M0L0nL1det(sI Abk) det(sI Abk sn sn1 L*s*10表明對任給*,L,k kP1n三1給定能控系統(tǒng)的矩陣對A，b和一組期望的閉,L,n1n ki(Abk)三1給定能控系統(tǒng)的矩陣對A，b和一組期望的閉,L,n1n ki(Abk)(i 1,2,L,i第一步：計(jì)算A的特征多det(sI A) snL1s 第二步：計(jì)算

8、由 * ,L,* 所決定的多項(xiàng)式，n*(s)(s )L(s*)sn*sn1 L*s 1n10第三步：計(jì)算 k * ,* *011Pb,L, Ab,b1nn1MnLQ Pk 00 & x 0u12 Q Pk 00 & x 0u12 1 1jj12300 6 r1cAs0s 0(s) det( A) det s18s2 720s 12再計(jì)算*3 (s) (s ) (s2)(s1 j)(s1 j) s *6s32ik 再計(jì)算*3 (s) (s ) (s2)(s1 j)(s1 j) s *6s32ik 24 求12計(jì)算變換陣P A2b 0 1 0 b2 6 0 10 0 1011Q P1 011k k

9、Q 4 66 14 12 14 186 144四（一） 單輸入1& Axbu y cxL 1s 系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為(s)det(sI A)四（一） 單輸入1& Axbu y cxL 1s 系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為(s)det(sI A) nAxbuy c非奇異變換化控規(guī)范0M01 MOc cP A bP 1b 1 0Lg(s) c(sI A)1b c(sI A)1L sg(s) c(sI A)1b c(sI A)1L sLs10定義幾個(gè)常數(shù) nnL1 cAb n1cAn3L bn1bL0nnn1, ,L, *nn (s)(s )L*1sQ P1*n*, ,L, *nn (s)(s )L*1sQ P1*n

10、*n10iik P為使Abc化為能控規(guī)范形Abc k *而0& (Abk)xy & (Abk)xbu其能控規(guī)范形為y其中0M01MOAbk b 1 *& (Abk)xbu其能控規(guī)范形為y其中0M01MOAbk b 1 *L01,c 10系統(tǒng)狀態(tài)反饋的傳遞函數(shù)gk (s) c(sI Abkbc(sI AbkL s L s*12而2而輸出反饋的極點(diǎn)配& Axy u Fy輸出反饋的極點(diǎn)配& Axy u FyF為rm反饋矩陣，v為參, ,L,*2n確定一個(gè)反饋矩陣F，使導(dǎo)出的輸出反饋& (A BFC )x y C(ABFC) (i 1,2,L,*iiuFyv2.輸出反饋局限性：對完全能控n維單輸入單輸

11、出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)& AxuFyv2.輸出反饋局限性：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)& Axy uvfyv (s) c(sI Abfc)1證：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：g 而閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式(s) det(sI Af(sI Abfc)(sI A)I (sI A)1detI G2(s)G1(s) detI G1(s)G2(sdetI G2(s)G1(s) detI G1(s)G2(s)A)A)1f又到det(sI A)det1 fc(sI A)1c(sIA)1b(s)/det(sI A)表和f (s)(s)f(s)(s)(s)而和c(sI A)1b (s)/(s)對于能控和能觀測的受控系統(tǒng)

12、A，B，C，令系統(tǒng)的對于能控和能觀測的受控系統(tǒng)A，B，C，令系統(tǒng)的維數(shù)n，u FyrB=r, 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問一ABCu Kx系統(tǒng)鎮(zhèn)定問一ABCu Kxx (ABK)xv為參三1 (A,B,C0就是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（1）對不完全能控系統(tǒng)0 ABC A PAP B PB , , )為能控部分,( Ac ,0)三1 (A,B,C0就是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（1）對不完全能控系統(tǒng)0 ABC A PAP B PB , , )為能控部分,( Ac ,0)為不能控部分 1 KK1 ?；藢θ我鉅顟B(tài)反饋陣K=K ,K ,2 )BcK det(sI A BK) det(sI A BK) detcsI c0 BcK1)

13、為完全能控部分，可根據(jù)極點(diǎn)配置定理，選擇狀態(tài),陣K，使 Bc K1 )的特征值具有負(fù)實(shí)部1)為完全能控部分，可根據(jù)極點(diǎn)配置定理，選擇狀態(tài),陣K，使 Bc K1 )的特征值具有負(fù)實(shí)部1為不能控部分，當(dāng)且僅當(dāng)A 的特征值都具有負(fù)實(shí)部( c部分為漸近穩(wěn)定)時(shí)，則引入狀態(tài)反饋的閉環(huán)定是漸近穩(wěn)定的， 因而系統(tǒng)證畢是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定Q( （A c能2三A，B能控性。若不完全能控，進(jìn)入下一步；若完全能判Ac , 2三A，B能控性。若不完全能控，進(jìn)入下一步；若完全能判Ac , Bc2）對A，B按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，導(dǎo)出陣P。計(jì)算： A P1P A12BcB P1B 0 dimAc n1dimAc 3）對Ac B

14、c *2，按多輸入情形極點(diǎn)配置算法，計(jì)算*L1K3）對Ac Bc *2，按多輸入情形極點(diǎn)配置算法，計(jì)算*L1K1 計(jì)算rn鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋矩陣KK10P *,L，按多輸入情形極點(diǎn)配置算法，計(jì)算12n鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋矩陣系統(tǒng)解耦問一二設(shè)有多輸入多輸出系統(tǒng) 0 ABC& Ax系統(tǒng)解耦問一二設(shè)有多輸入多輸出系統(tǒng) 0 ABC& Axy uRr其中xRny（1）r=m 且r=n 即傳遞函數(shù)陣G0 (s)u Kx其中Krn狀態(tài)反饋陣。Lruvyxu Kx其中Krn狀態(tài)反饋陣。LruvyxLCBAKdetL(A BK),BL,C(s) detL(A BK),BL,C(s) C(sI A BK)1G如果存在某個(gè)K、L

15、陣，使閉環(huán)傳遞函G(s) O0 ABC當(dāng)i 當(dāng)i 0 ABC當(dāng)i 當(dāng)i 有控制作vi對yi 無控制作(i, j ,L, 問題的提出狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的狀態(tài)向量 x 的每一個(gè)分量勻狀態(tài)重構(gòu)問題和狀態(tài)觀測xi(i ,L, 問題的提出狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的狀態(tài)向量 x 的每一個(gè)分量勻狀態(tài)重構(gòu)問題和狀態(tài)觀測xi(i ,L,t時(shí)xt g0 x定義：設(shè)有線性定常系統(tǒng)0t g0 x定義：設(shè)有線性定常系統(tǒng)0 AB1g 以(t (t)t(tg是2（1）觀測器 gy u 02（1）觀測器 gy u 0（4）觀測的結(jié)構(gòu)應(yīng)盡可能簡單，即 （5）觀測12A BuL(yC),(0)xyuBC0BL(y為

16、修正項(xiàng)Ag12A BuL(yC),(0)xyuBC0BL(y為修正項(xiàng)Agu和yn (ALC)Ly x x 用xyuC: (A LC u和yn (ALC)Ly x x 用xyuC: (A LC )x(0) x x0 0 x0上式表明 L大, ( A LC )的特征值i ( A LC )(i 1,2,L , n )均具有負(fù)實(shí)部 , 那么一定可做到lim (t) lim x(tBttg.BBxy& Fz NuuBCw Ez x x1其中為通過輸出2x2接測量得到狀態(tài)。x1得到狀態(tài)zwEN是x中不能直接測(nmBxy& Fz NuuBCw Ez x x1其中為通過輸出2x2接測量得到狀態(tài)。x1得到狀態(tài)

17、zwEN是x中不能直接測(nm)x 1FMG四 1結(jié)論：n 維線性定常系統(tǒng)0 ABC是能觀測的，即若（A，C）觀測，則必可采用 (A四 1結(jié)論：n 維線性定常系統(tǒng)0 ABC是能觀測的，即若（A，C）觀測，則必可采用 (ALC) Ly(0)2 Axy Cx ，設(shè)A，C為能觀測，再對所給定被估計(jì)設(shè)計(jì)的全維觀測器指定一組期望極點(diǎn) , ,L, ，則設(shè)計(jì)全維狀n第一步：導(dǎo)出對偶系統(tǒng),CT ,第二步：利用極點(diǎn)配置算法，對矩陣對AT CT i(AT CTK) i 1,2,L,i的反饋增益陣KL；第四步：計(jì)算（ALC ），的反饋增益陣KL；第四步：計(jì)算（ALC ）， (ALC) Bu即為 x而其nq定義n n

18、 P其中R為(n mn常陣且為非奇,唯一的和任意.PQ Q其nq定義n n P其中R為(n mn常陣且為非奇,唯一的和任意.PQ Q1又n(nm CQRQI0Inm 顯然Qn1201CQ1 Im CQ2 x ABC,& PAP1x PBu Ax Buy CP1x CQ2x 令x1x2q和(n q)& ux ABC,& PAP1x PBu Ax Buy CP1x CQ2x 令x1x2q和(n q)& ux&A2x1y mxx1為系統(tǒng)的輸出 yx2 無法測量,需進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu) .x2的狀態(tài)方程和輸出方(A21 y B2& y B u x1定義輸入u A21y 輸出w & A11y A22x2 2得規(guī)

19、范形式: w A12x2對(n m)維子系統(tǒng)(3)(n m)2定義輸入u A21y 輸出w & A11y A22x2 2得規(guī)范形式: w A12x2對(n m)維子系統(tǒng)(3)(n m)2( Lw2通過選取L而任意配置A22 LA12)的全部特征值,并將u和w入上式得(A22LA12)2 L(& A11yB1u)(A21y2z 2 消去& (A22 LA12)z(A22 LA12)L(A21 LA11)y(B2 LB1此式為以u和y為輸入的(n m) z x2 y 2 x P1x 于是系統(tǒng)狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài)為y Q1y y 2 x P1x 于是系統(tǒng)狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài)為y Q1yQ2(zL Q1,Q2

20、yLzu現(xiàn)取( n m) 維線性定常系統(tǒng)& FzGy其中現(xiàn)取( n m) 維線性定常系統(tǒng)& FzGy其中：待定系數(shù)矩陣F，G和HC=m,A,C(nm)(nm),(nm)m,(nm)P 為非奇異的(n m n滿秩陣TTAFT H F的全部特征值i 并且估計(jì)狀態(tài)i ,L,( m均具有負(fù)實(shí)部 1 Q1 yF的全部特征值i 并且估計(jì)狀態(tài)i ,L,( m均具有負(fù)實(shí)部 1 Q1 yx zzCQ Tn(nm P m) 第二步：選取一個(gè)m實(shí)常陣，使得， m) 第二步：選取一個(gè)m實(shí)常陣，使得，為能控，GMFGMnm1G nrP & FzGy Q1yQ P1 n(nm引入觀測器的狀態(tài)反控制系統(tǒng)的特一線性定常受控系

21、& Axy 0 A, B為能控引入觀測器的狀態(tài)反控制系統(tǒng)的特一線性定常受控系& Axy 0 A, B為能控AC為能觀按性能指標(biāo)確定狀態(tài)反饋控制u Kx并引入觀測器, 令引入的(n m)維觀測器為& FzGy: 1 xzz得到包含觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動態(tài)方程為AxBAxBFHKQ2 z y 二1dim() dim(0)dim(ob2 iA BKj(Fi 1,2,L,j 1,2,L,n 3觀測器的引入，不影響由狀態(tài)反饋K所配置的系統(tǒng)特i(A i 1,2,L,j(Fj 1,2,L,n GK (s) GKBABK 的特征值負(fù)實(shí)部23倍。45例GK (s) GKBABK 的特征值負(fù)實(shí)部23倍。45例100000& 0 x y0 1 14(s) (s1)(s1 1 14(s) (s1)(s1 j)(s1 j)(ss4 10s 10s 再令K為K k4則10k30400A