離散群和子群精品課件

1、離散群和子群第1頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. -吳揚(yáng)揚(yáng)制-2 8.1 半群和獨(dú)異點(diǎn) 2.可交換獨(dú)異點(diǎn)的性質(zhì)定理8.1.1 設(shè)為可交換獨(dú)異點(diǎn)，T為S中所有冪等元的集合，則 T,是的子獨(dú)異點(diǎn)。證明(1) 在T上封閉 a,bT, 有aa=a, bb=b (ab)(ab) =(aa)(bb)交換性、結(jié)合性 = ab (2) eT ee=e e也是冪等元 因此T,是的子獨(dú)異點(diǎn) 分析前面例題冪等性第2頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. -吳揚(yáng)揚(yáng)制-3 8.1 半群和獨(dú)異點(diǎn) 3.半群同態(tài)（1）定義半群同態(tài)獨(dú)異點(diǎn)同態(tài)單位元映射到單位元例2：設(shè)A=,B=

2、 定義h: * N, x*, h(x)=x(串的長(zhǎng)度） x,y*, h(xoy)=xoy=x+y=h(x)+h(y)且h()=0 h是A到B的獨(dú)異點(diǎn)同態(tài)* 分析與的同構(gòu)映射h:RR+,h(x)=ex (xR)第3頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. -吳揚(yáng)揚(yáng)制-48.1 半群和獨(dú)異點(diǎn) 3.半群同態(tài)（2）其中：fx：SS，yS,fx(y)=x*y性質(zhì)定理8.1.2 半群與同態(tài)。 例3：半群,其中，S=a,b,c, *運(yùn)算定義為：* a b ca a b cb b c ac c a b定義到同態(tài)映射h: SSS，xS, h(x)=fx即 h(a)=fah(b)=fbh(c)

3、=fc其中,fa：SS，fa(a)=a*a=a, fa(b)=a*b=b, fa(c)=a*c=cfb：SS，fb(a)=b*a=b, fb(b)=b*b=c, fb(c)=b*c=afc：SS，fc(a)=c*a=c, fc(b)=c*b=a, fc(c)=c*c=b第4頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. -吳揚(yáng)揚(yáng)制-58.1 半群和獨(dú)異點(diǎn) 3.半群同態(tài)（3） 定理8.1.3 任意獨(dú)異點(diǎn)都同構(gòu)于某一變換獨(dú)異點(diǎn)。 即必與的某個(gè)子獨(dú)異點(diǎn)同構(gòu)。 其中：fa：SS，bS,fa(b)=a*b a,bS, cS, h(a*b)=h(a)oh(b)fa*b(c)=(a*b)*c且

4、faofb(c)=fa(fb(c)=fa(b*c)=a*(b*c)=(a*b)*c fa*b(c)= faofb(c) fa*b= faofb故h是從到的半群同態(tài)。證明定理：半群與同態(tài)。證 定義h:SSS, aS, h(a)=fa, 第5頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. 6 第八章 半群和群8.2 群的定義和性質(zhì) 1. 基本概念群：設(shè)為獨(dú)異點(diǎn)，如果aG,a都可逆，則稱為群。阿貝爾群： 若群中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱為可交換群，也稱阿貝爾群。例1：分析下列系統(tǒng)： A=B=C=D=E=第6頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. 78.2 群的定義

5、和性質(zhì) 2. 判定定理定理8.2.1 設(shè) 為半群。若（1）有左單位元，即elA, 使得aG, 有ela=a （2）每個(gè)元素有左逆元， 即aG alG, 使得ala=el ,則 是群。證明(1) aG al是逆元. alG， aG，使aal=el.aal =el(aal) =(aal)(aal) =a(ala)al=aelal= a(elal) = aal = el al是右逆元(2) el是單位元 aG, 有ael = a(ala)= (aal)a = ela = a el是右單位元第7頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. 8 8.2 半群和獨(dú)異點(diǎn) 3.群的性質(zhì)定理8.

6、2.2 設(shè) 為半群。若a，bG,方程ax=b和ya=b在G中都有解，則 是群。性質(zhì)： 設(shè) 為群。則a，bG,方程（ab）-1 =b-1a-1 ;a，bG,方程ax=b和ya=b在G中有唯一解;中消去律成立。證明：群 只有單位元素是唯一的冪等元素。 證：顯然單位元素ee = e，是冪等元素。 假設(shè)a G是冪等元素，即aa = a，于是aa = ae，由于 消去律成立，因此a = e。第8頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. 9 8.2 半群和獨(dú)異點(diǎn) 4.元素的階定義： 設(shè) 為群，aG。若 nI+,an e,則稱a的階是無(wú)限的，否則an = e的最小正整數(shù)n為a的階。A的階也稱為a的周期，常用|a|表示。第9頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. 10 8.3 子群和群同態(tài) 1.子群定義：子群和真子群的定義例定理定理定理定理例第10頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期五. 11 8.3 子群和群同態(tài) 2.群同態(tài)定義：群同態(tài)和群同構(gòu)