全等三角形之截長補(bǔ)短法

1、 11/11例題1如圖所示，在RtABC中，C=90，BC=AC，AD平分BAC交BC于D，求證：AB=AC+CD考點(diǎn)：HYPERLINK javascript:void(0)全等三角形的判定與性質(zhì)專題：HYPERLINK javascript:void(0)證明題分析：利用已知條件，求得B=E，2=1，AD=AD，得出ABDAED（AAS），AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD解答：證法一：如答圖所示，延長AC，到E使CE=CD，連接DEACB=90，AC=BC，CE=CD，B=CAB=45，E=CDE=45，B=EAD平分BAC，1=2在ABD和AED中，B=E，2=1

2、，AD=AD，ABDAED（AAS）AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD證法二：如答圖所示，在AB上截取AE=AC，連接DE，AD平分BAC，1=2在ACD和AED中，AC=AE，1=2，AD=AD，ACDAED（SAS）AED=C=90，CD=ED，又AC=BC，B=45EDB=B=45DE=BE，CD=BEAB=AE+BE，AB=AC+CD點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；通過SAS的條件證明三角形全等，利用三角形全等得出的結(jié)論來求得三角形各邊之間的關(guān)系例題2圖，AD是ABC中BC邊上的中線，求證：AD （AB+AC）考點(diǎn)： HYPERLINK javascrip

3、t:void(0) 全等三角形的判定與性質(zhì)； HYPERLINK javascript:void(0) 三角形三邊關(guān)系專題： HYPERLINK javascript:void(0) 計(jì)算題分析：可延長AD到E，使AD=DE，連BE，則ACDEBD得BE=AC，進(jìn)而在ABE中利用三角形三邊關(guān)系，證之解答：證明：如圖延長AD至E，使AD=DE，連接BEBD=DC，AD=DE，ADC=EDBACDEBDAC=BE在ABE中，AEAB+BE，即2ADAB+ACAD （AB+AC）點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，能夠熟練掌握在ABC中，ACB=90，AC=BC，直線M

4、N經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)； HYPERLINK javascript:void(0) 全等三角形的判定與性質(zhì)； HYPERLINK javascript:void(0) 等腰直角三角形專題： HYPERLINK javascript:void(0) 證明題分析：（1）由已知AC=BC，ADC=CEB=90，利用互余關(guān)系可證DAC=ECB

5、，可證ACDCBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此時(shí)，仍有ACDCBE，AD=CE，CD=BE，利用線段的和差關(guān)系得DE=AD-BE解答：證明：（1）DAC+ACD=90，ACD+ECB=90，DAC=ECB，又AC=BC，ADC=CEB=90，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CE+CD=AD+BE；（2）DE=BE-AD仿照（1）可證ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD點(diǎn)評：本題考查了用旋轉(zhuǎn)法尋找證明三角形全等的條件，關(guān)鍵是利用全等三角形對應(yīng)線段相等，將有關(guān)線段進(jìn)如圖，點(diǎn)P在AOB的部，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線O

6、A、OB的對稱點(diǎn)，線段MN交OA、OB于點(diǎn)E、F，若PEF的周長是20cm，則線段MN的長是 20cm考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 軸對稱的性質(zhì)分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：EP=EM，PF=FN，所以線段MN的長=PEF的周長解答：解：根據(jù)題意，EP=EM，PF=FN，MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=PEF的周長，MN=20cm點(diǎn)評：主要考查了軸對稱的性質(zhì)：對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等（1）如圖所示，已知ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點(diǎn)O試說明BOC=90+$frac12$A；（2）如圖所示，在ABC中，BD、CD分別是AB

7、C、ACB的外角平分線試說明D=90-$frac12$A；（3）如圖所示，已知BD為ABC的角平分線，CD為ABC外角ACE的平分線，且與BD交于點(diǎn)D，試說明A=2D考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 三角形的外角性質(zhì)； HYPERLINK javascript:void(0) 角平分線的定義； HYPERLINK javascript:void(0) 三角形角和定理分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)可得，BOC+OCB=90-$frac12$A，根據(jù)三角形角和定理可得BOC=90+$frac12$A；（2）根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得BCD=$frac12$

8、（A+ABC）、DBC=$frac12$（A+ACB）；根據(jù)三角形角和定理可得BDC=90-$frac12$A；（3）根據(jù)BD為ABC的角平分線，CD為ABC外角ACE的平分線，可知，A=180-1-3，D=180-4=5=180-3-$frac12$（A+21），兩式聯(lián)立可得2D=A解答：解：（1）在ABC中，OB、OC分別是ABC、ACB的平分線，A為xBOC+OCB=$frac12$（180-A）=$frac12$（180-x）=90-$frac12$A故BOC=180-（90-$frac12$A）=90+$frac12$A；（2）BD、CD為ABC兩外角DBC、BCE的平分線A為xBC

9、D=$frac12$（A+ABC）、DBC=$frac12$（A+ACB）由三角形角和定理得，BDC=180-BCD-DBC=180-$frac12$A+（A+ABC+ACB）=180-$frac12$（A+180）=90-$frac12$A；（3）如圖：BD為ABC的角平分線，CD為ABC外角ACE的平分線1=2，5=$frac12$（A+21），3=4，在ABE中，A=180-1-3在CDE中，D=180-4-5=180-3-$frac12$（A+21），即2D=360-23-A-2A，把代入得2D=A點(diǎn)評：此類題目比較簡單，考查的是三角形角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形角和定理，屬

10、中學(xué)階段的常規(guī)題如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 4處考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 三角形的切圓與心； HYPERLINK javascript:void(0) 直線與圓的位置關(guān)系專題： HYPERLINK javascript:void(0) 應(yīng)用題分析：依題意可作四個(gè)圓分別與三條直線相切，其中三個(gè)在三角形外部，一個(gè)在三角形部，其圓心就是可供選擇的地址解答：解：可作四個(gè)圓分別與三條直線相切，其中三個(gè)在三角形外部，一個(gè)在三角形部故填4點(diǎn)評：本題涉及圓的相關(guān)知識，難度中等如圖甲所示，

11、在ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點(diǎn)P，則P點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF，若P點(diǎn)在BC的延長線上，那么請你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 等腰三角形的性質(zhì)； HYPERLINK javascript:void(0) 三角形的面積專題： HYPERLINK javascript:void(0) 證明題分析：猜想：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF根據(jù)SPAB= ABPD，SPAC= ACPE，SCAB= ABCF，SPAC= ABPE， ABPD=

12、 ABCF+ ABPE，即可求證解答：猜想：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF證明：連接AP，則SPAC+SCAB=SPAB，SPAB= ABPD，SPAC= ACPE，SCAB= ABCF，又AB=AC，SPAC= ABPE，ABPD= ABCF+ ABPE，即 AB（PE+CF）= ABPD，PD=PE+PF點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難度適中，關(guān)鍵是先猜想出PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF再證明如圖，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長BC到E使CE=CD，試判斷BDE的形狀考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0

13、) 等腰三角形的判定； HYPERLINK javascript:void(0) 等邊三角形的性質(zhì)分析：因?yàn)锳BC是等邊三角形，所以ABC=ACB=60，BD是AC邊上的中線，則DBC=30，再由題中條件求出E=30，即可判斷BDE的形狀解答：證明：ABC是等邊三角形ABC=ACB=60AD=CDDBC= ABC=30CE=CDCDE=EACB=CDE+EE=30DBE=EBD=DEBDE是等腰三角形點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；此題把等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定結(jié)合求解考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，得到E=30是正確解答本題的關(guān)鍵（2007）某家電商場經(jīng)

14、銷A，B，C三種品牌的彩電，五月份共獲利48 000元已知A種品牌彩電每臺可獲利100元，B種品牌彩電每臺可獲利144元，C種品牌彩電每臺可獲利360元請你根據(jù)相關(guān)信息，補(bǔ)全彩電銷售臺數(shù)的條形圖和所獲利潤的百分?jǐn)?shù)的扇形圖考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 扇形統(tǒng)計(jì)圖； HYPERLINK javascript:void(0) 條形統(tǒng)計(jì)圖專題： HYPERLINK javascript:void(0) 圖表型分析：根據(jù)獲利總數(shù)與扇形圖，可計(jì)算出B型彩電的獲利，進(jìn)而求出B型彩電的數(shù)目；接著可求出C型彩電的獲利和臺數(shù)；利用A、C型的獲利和獲利總數(shù)分別求出它們所獲利潤的百

15、分?jǐn)?shù)，進(jìn)而補(bǔ)全彩電銷售臺數(shù)的條形圖和所獲利潤的百分?jǐn)?shù)的扇形圖即可解答：解：根據(jù)題意可得：五月份共獲利48000元，B種品牌彩電獲利占30%，即獲利4800030%=14400元，故B種品牌彩電的臺數(shù)為14400144=100臺，則C種品牌彩的臺數(shù)為（48000-120100-14400）360=60臺；據(jù)此可補(bǔ)全條形圖（4分）五月份共賣出（120+100+60）=280臺，其中A種品牌彩電120臺，占獲利的25%，B種品牌彩100臺占獲利的30%，C種品牌彩電60臺，占獲利的45%，據(jù)此可補(bǔ)全扇形圖（6分）說明：條形圖中每畫對1個(gè)條形圖得（2分）扇形圖中每填對1個(gè)扇形得（1分）扇形圖中若標(biāo)成表

16、示A，C計(jì)算的百分?jǐn)?shù)正確，填圖不正確，扣（1）如另畫扇形圖正確也得分點(diǎn)評：本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖中各部分占總體的百分比之和為1，能直接反映部分占總體的百分比大小如圖所示，已知EAAB于點(diǎn)A，CDDF于點(diǎn)D，ABCD，請判斷EA與DF的位置關(guān)系，并說明理由考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 平行線的判定； HYPERLINK javascript:void(0) 垂線； HYPERLINK javascript:void(0) 平行線的性

17、質(zhì)專題： HYPERLINK javascript:void(0) 探究型分析：首先由ABCD，根據(jù)兩直線平行，錯(cuò)角相等，得到BAD=ADC，再根據(jù)垂直的定義得到EAB=CDF=90，則EAB+BAD=CDF+ADC，即EAD=ADF，滿足關(guān)于EADF的條件：錯(cuò)角相等，兩直線平行解答：解：EADF理由如下：EAAB于點(diǎn)A，CDDF于點(diǎn)D（已知），EAB=90，CDF=90（垂直定義）ABCD（已知），BAD=ADC（兩直線平行，錯(cuò)角相等），EAB+BAD=CDF+ADC，即EAD=ADF，EADF（錯(cuò)角相等，兩直線平行）點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義以及平行線的判定定理（2002）如

18、圖，ABCD，直線EF分別交AB、CD于E、F，EG平分BEF，若1=72，則2= 54度考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 平行線的性質(zhì)； HYPERLINK javascript:void(0) 角平分線的定義專題： HYPERLINK javascript:void(0) 計(jì)算題分析：兩直線平行，同旁角互補(bǔ)，可求出FEB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得到BEG，然后用兩直線平行，錯(cuò)角相等求出2解答：解：ABCD，BEF=180-1=180-72=108，2=BEG，又EG平分BEF，BEG= BEF= 108=54，故2=BEG=54點(diǎn)評：本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為：兩

19、直線平行，錯(cuò)角相等；同旁角互補(bǔ)（2006）在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，從盒中隨機(jī)地取出一個(gè)棋子，如果它是黑色棋子的概率是 （1）試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（2）若往盒中再放進(jìn)10顆黑色棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)?，求x和y的值考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 概率公式； HYPERLINK javascript:void(0) 二元一次方程組的應(yīng)用分析：（1）根據(jù)概率的求法：在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，共x+y顆棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，有 成立化簡可得y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若往盒中再放進(jìn)10顆黑色棋子，在盒中有10+x+y

20、顆棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)?，結(jié)合（1）的條件，可得 ，解可得x=15，y=25解答：解：（1）根據(jù)題意得： ，（3分）整理，得8x=3x+3y，（4分）5x=3y，；（5分）（2）解法一：根據(jù)題意，得 ，（7分）整理，得2x+20=x+y+10，y=x+10，（8分）5x=3（x+10），x=15，y=25解法二：（2）根據(jù)題意，可得 ，整理得 ，解得 （8分）點(diǎn)評：此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）= 如圖，在等腰ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)

21、E，連接BP交AC于點(diǎn)F（1）證明：CAE=CBF；（2）證明：AE=BF考點(diǎn)： HYPERLINK javascript:void(0) 全等三角形的判定與性質(zhì)； HYPERLINK javascript:void(0) 等腰三角形的性質(zhì)專題： HYPERLINK javascript:void(0) 證明題分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CH平分ACB，再證明ACE和BCF全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等和全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明解答：（1）證明：在等腰ABC中，CH是底邊上的高線，ACH=BCH，在ACE和BCF中， ，ACEBCF（SAS），CAE=CBF（全等三角形對應(yīng)角相等）；（2）ACEBCF（SAS），AE=BF（全等三角形對應(yīng)邊相等）點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握