高中數(shù)學復習專題-特殊數(shù)列求和及求通項

1、高中數(shù)學復習專題特殊數(shù)列求和及求通項一、考點自練：1已知數(shù)列an滿足a10，an1eq f(anr(3),r(3)an1)(nN*)，則a20_2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn_ 3設，nN，則數(shù)列bn的通項公式= 4數(shù)列an滿足a11，且，則數(shù)列的前10項和為 二、典例剖析：例1 正項數(shù)列an的前項和Sn滿足：（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）令，數(shù)列bn的前項和為證明：對于任意的，都有例2 已知等差數(shù)列an中，前項和為且滿足條件：（）（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若數(shù)列bn的前項和為，且有（），證明：數(shù)列是等比數(shù)列；又，求數(shù)列cn的前n項和Wn例3已知數(shù)

2、列an和bn滿足a1a2a3an（nN*）若an為等比數(shù)列，且ab36b2（1）求an與bn（2）設cneq f(1,an)eq f(1,bn)（nN*）記數(shù)列cn的前n項和為Sn（i）求Sn；（ii）求正整數(shù)k，使得對任意n均有SkSn例4 已知數(shù)列an滿足，是數(shù)列an的前n項和（1）若數(shù)列an為等差數(shù)列（）求數(shù)列的通項；（）若數(shù)列bn滿足，數(shù)列cn滿足，試比較數(shù)列bn 前項和Bn與cn前項和Cn的大??；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍數(shù)列作業(yè)1已知數(shù)列an中，an1eq f(2an,2an)且a7eq f(1,2)，則a5_2已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n（nN*），則a1

3、0_314916(1)n1n2等于_4函數(shù)，若數(shù)列an滿足，則a2013+ a2014=_5已知數(shù)列an：滿足a11，ana1eq f(1,2)a2eq f(1,n1)an1(n2，nN*)，若an100，則n_6設數(shù)列an的前項和為，且，為等差數(shù)列，則_ 7數(shù)列an滿足，并且，則數(shù)列an的第100項為 8數(shù)列an滿足，則的前60項和為 9已知Sn和Tn分別為數(shù)列an與數(shù)列bn的前項和，且a1e4，SneSn+1e5，an（nN*）則當Tn取得最大值時，n的值為_10已知數(shù)列an的通項公式為，記為此數(shù)列的前n和，若對任意正整數(shù)n，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 11數(shù)列an中,且，則的通項公式為

4、12設為數(shù)列an的前n項和,（nN*），則（1）_；（2）_ 13已知數(shù)列an的首項為，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t使m，s，t成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請說明理由14已知數(shù)列是等差數(shù)列，為的前項和，且，；數(shù)列對任意，總有成立.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.15已知數(shù)列an中，（2）若Sn是數(shù)列an的前n項和，求滿足Sn0的所有正整數(shù)n高中數(shù)學復習專題（教師版）特殊數(shù)列求和及求通項一、考點自練：1已知數(shù)列an滿足a10，an1eq f(anr(3),r(3)an1)(nN*)，則a

5、20_解：由a10，an1eq f(anr(3),r(3)an1)(nN*)，得a2eq r(3)，a3eq r(3)，a40，由此可知：數(shù)列an是周期變化的，且循環(huán)周期為3，所以可得a20a2eq r(3)2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn_eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n13設，nN，則數(shù)列bn的通項公式= 2n+1 解：由條件得2bn，且b14所以數(shù)列bn是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則bn42n12n+14（2015年江蘇高考11）數(shù)列an滿足a11，且，則數(shù)列的前10項和為 解：由題意得：所以，二、典例剖析：例1 正項數(shù)列an的前項

6、和Sn滿足：（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）令,數(shù)列bn的前項和為證明：對于任意的，都有（1）解：由，得由于an是正項數(shù)列,所以于是，時，綜上，數(shù)列an的通項（2）證明：由于則 例2 已知等差數(shù)列an中，前項和為且滿足條件：（）（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若數(shù)列bn的前項和為，且有（），證明：數(shù)列是等比數(shù)列；又，求數(shù)列cn的前n項和Wn解：（1）（），當n1時，即又，a22da2a11，ana1+(n1)dn數(shù)列an的通項公式為ann（2）由可得Tn+1bn+1Tn+bn，Tn+1Tn2bn 1，bn+12bn 1，即bn+112(bn1)，是等比數(shù)列且b112，公比q2，bn1(

7、b11)qn122n12nbn2n+1 cnWnc1+c2+cn3+5()2+7()3+(2n+1)()n 利用錯位相減法，可以求得Wn5例3（2014浙江卷）已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an（nN*）若an為等比數(shù)列，且a12，b36b（1）求an與bn；（2）設cneq f(1,an)eq f(1,bn)(nN*)記數(shù)列cn的前n項和為Sn（i）求Sn；（ii）求正整數(shù)k，使得對任意n均有SkSn解：（1）由題意a1a2a3an，b3b26，知a38又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以數(shù)列an的通項為an2n(nN*)所以，a1a2a3an(eq r(2)n(n1) 故數(shù)列bn的

8、通項為bnn(n1) (nN*)（2）（i）由（1）知cneq f(1,an)eq f(1,bn)eq f(1,2n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)(nN*)所以Sneq f(1,n1)eq f(1,2n)（nN*）（ii）因為c10，c20，c30，c40，當n5時，cneq f(1,n（n1）)eq blcrc(avs4alco1(f(n(n1),2n)1)，而eq f(n(n1),2n)eq f(n1)(n2),2n1)eq f(n1)(n2),2n1)0，得eq f(n(n1),2n)eq f(5(51),25)1，所以，當n5時，cn0綜上，若對

9、任意nN*恒有SkSn，則k4例4 已知數(shù)列an滿足，是數(shù)列an的前n項和（1）若數(shù)列an為等差數(shù)列（）求數(shù)列的通項；（）若數(shù)列bn滿足，數(shù)列cn滿足，試比較數(shù)列bn 前項和Bn與cn前項和Cn的大??；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）（）因為，所以，即，又，所以， 又因為數(shù)列成等差數(shù)列，所以，即，解得，所以； （）an2n1（），0，其前n項和Bn0， 又(16t24t1)bn，其前n項和Cn(16t24t1)Bn，CnBn2(8t22t1)Bn ，當t或t時，CnBn；當t或t時，CnBn；當tt時，CnBn（2）由知，兩式作差得，an+2+an+1+an6n+3，an+3

10、+an+2+an+16(n+1)+3，再兩式作差得，an+3an6當n1時，ana1x；當n3k1時，ana3k1a2+(k1)63x+6k62n+3x4；當n3k時，ana3ka3+(k1)6149x+6k62n9x+8；當n3k+1時，ana3k+1a4+(k1)61+6x+6k62n+6x7對任意nN，anan+1恒成立，a1a2且a3k1a3ka3k+1a3k+2，解得故實數(shù)x的取值范圍為(，)數(shù)列作業(yè)（教師版）1已知數(shù)列an中，an1eq f(2an,2an)且a7eq f(1,2)，則a5_2已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n（nN*），則a10_32314916(1)n1n2

11、等于_(1)n1eq f(n(n1),2) 4函數(shù)，若數(shù)列an滿足，則a2013+ a2014=_提示：周期為35已知數(shù)列an：滿足a11，ana1eq f(1,2)a2eq f(1,n1)an1(n2，nN*)，若an100，則n_解：n2時，ana1eq f(1,2)a2eq f(1,n1)an1，an1a1eq f(1,2)a2eq f(1,n)an，得：an1aneq f(1,n)an，eq f(an1,an)eq f(n1,n)（n2），由累積法知：ann（n2），又a11，an的通項公式為ann（nN*）an100，n100.來6設數(shù)列an的前項和為，且，為等差數(shù)列，則_解： 設，

12、有，則，即，當時，所以，即，所以是以為公比，1為首項的等比數(shù)列，所以， 7數(shù)列an滿足，并且，則數(shù)列an的第100項為 8數(shù)列an滿足，則的前60項和為 1830解：由得，即，也有，兩式相加得，設為整數(shù)，則，于是9已知Sn和Tn分別為數(shù)列an與數(shù)列bn的前項和，且a1e4，SneSn+1e5，an（nN*）則當Tn取得最大值時，n的值為_4或510已知數(shù)列an的通項公式為，記為此數(shù)列的前n和，若對任意正整數(shù)n，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 解：由數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法，兩式相減得，代入，整理得， 時，11數(shù)列an中,且，則的通項公式為 解： 時，,為常數(shù)列，所以 又也滿足上式， 的通項公

13、式為（或者用迭乘法）12設為數(shù)列an的前n項和, （nN*），則（1）_；（2）_； 解：，即，即，解得當是偶數(shù)且時，又，所以因此，所以，即偶數(shù)項的和為零，所以13已知數(shù)列an的首項為，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t使m，s，t成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請說明理由解：（1） ， ， ，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列 （2）由（1）知，即， 假設存在互不相等的正整數(shù)滿足條件，則有,所以化簡得，即， 因為，所以得.但是，當且僅當時等號成立，這與互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整數(shù)滿足題給的條件14已知數(shù)列是等差數(shù)列，為的前項和，且，；數(shù)列對任意，總有成立.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.解：（1）設的公差為，則解得，所以 所以 當兩式相除得因為當適合上式，所以 （2）由已知，得則 當為偶數(shù)時