高中導數的實際應用練習題課件

1、存在問題存在問題不等式、證明等問題不等式、證明等問題1.(遼寧)設函數f(x)xax2blnx曲線yf(x)過P(1,0)且在P點處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)2x2.1.(遼寧)設函數f(x)xax2blnx曲線yf(高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件1.3.3 導數的實際應用 1.3.3 導數

2、的實際應用 在經濟生活中，人們經常遇到最優(yōu)化問題，例如為使經營利潤最大、生產效率最高，或為使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要尋求相應的最佳方案或最佳策略，這些都是最優(yōu)化問題。導數是解決這類問題的基本方法之一?，F在，我們研究幾個典型的實際問題。 在經濟生活中，人們經常遇到最優(yōu)化問題，例如為使經營利解決優(yōu)化問題的方法： 首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當的函數關系，并確定函數的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內求函數取值的情境，即核心問題是建立適當的函數關系。再通過研究相應函數的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數是一個有力的工具解決優(yōu)化問題的方法：解決數學模型作答用

3、函數表示的數學問題優(yōu)化問題用導數解決數學問題優(yōu)化問題的答案利用導數解決優(yōu)化問題的基本思路：解決數學模型作答用函數表示的數學問題優(yōu)化問題用導數解決數學問例1. 在邊長為a的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的長方體容器，為使其容積最大，截下的小正方形邊長應是多少？例1. 在邊長為a的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它解：設小正方形邊長為xcm，則箱子容積解：設小正方形邊長為xcm，則箱子容積所以 令 解得x1= a，x2= a（舍去），在區(qū)間(0， a)內，且當0 x0，當 axa時，V (x)0)，所以f(x)=kx(d2x2)，0 xd，dhx

4、解：如圖，設斷面的寬為x，高為h，則h2=d2x2，所以f在開區(qū)間(0，d)內，令f (x)=k(d23x2)=0， 解得x= d， 其中負根沒有意義，舍去.當0 x0，當 dxd時，f (x)0， 因此在區(qū)間(0，d)內只有一個極大值點x= d，所以f(x)在x= d取得最大值， 在開區(qū)間(0，d)內， 解得x= d， 其中負這就是橫梁強度的最大值， 這時 即當寬為 d，高為 時，橫梁的強度最大。這就是橫梁強度的最大值， 這時 即當寬為 例圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最省？例圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取解：設圓柱的高為

5、h，底半徑為R，則表面積 S=2Rh+2R2 由V=R2h，得 則 S(R)=2R +2R2 = +2R2解：設圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積 S=2Rh+2令 解得 R= 從而h= 即h=2R， 因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值 答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省令 解得 R= 從而h= 即h=2R， 因為S(R)只2.用長度為l的鐵絲圍成長方形，求圍成長方形的最大面積.2.用長度為l的鐵絲圍成長方形，求圍成長方形的最大面積.2.用長度為l的鐵絲圍成長方形，求圍成長方形的最大面積.解：設長方形的長為x，則寬為長方形面積為 即所以s=-2x+ , 令s=0 解得x=當0 x0

6、 ；當 x 時, s0 所以x= 是極大值點且唯一，所以x= 是最大值點,因此,圍成長方形的最大面積為2.用長度為l的鐵絲圍成長方形，求圍成長方形的最大面積.解：3.把長度為l的鐵絲分成兩段，各圍成一個正方形，問怎樣分法，才能使它們的面積之和最小.3.把長度為l的鐵絲分成兩段，各圍成一個正方形，問怎樣分法，3.把長度為l的鐵絲分成兩段，各圍成一個正方形，問怎樣分法，才能使它們的面積之和最小.它們面積之和為 即所以 令s=0 解得x=當0 x 時, s0 ；當 x0 所以x= 是極小值點且唯一，所以x= 是最小值點,因此,分成相等兩段使它們的面積之和最小.解：設其中一段長為x，則另段長為l-x.

7、3.把長度為l的鐵絲分成兩段，各圍成一個正方形，問怎樣分法，練習B1.等腰三角形的周長為2P，它圍繞底邊旋轉一周成一幾何體，問三角形的各邊長分別是多少時，幾何體的體積最大？ABC練習B1.等腰三角形的周長為2P，它圍繞底邊旋轉一周成一幾何練習B1.等腰三角形的周長為2P，它圍繞底邊旋轉一周成一幾何體，問三角形的各邊長分別是多少時，幾何體的體積最大？所以 令 解得解：設等腰三角形的腰為x,則底邊長為2P-2x.圍繞底邊旋轉一周成一幾何體為兩個圓錐，體積為即ABC練習B1.等腰三角形的周長為2P，它圍繞底邊旋轉一周成一幾何當0 x0 ；當 x p時, V0 所以x= 是極大值點且唯一，所以x= 是

8、最大值點,此時幾何體的體積最大.這時等腰三角形的腰為 ,則底邊長為 當0 x0 ；當 x2.做一個容積為216mL的圓柱形封閉容器，高與底面直徑為何值時，所用材料最??？2.做一個容積為216mL的圓柱形封閉容器，高與底面直徑為何2.做一個容積為216mL的圓柱形封閉容器，高與底面直徑為何值時，所用材料最??？解：設圓柱底面半徑為R,則圓柱的高為圓柱形容器的面積為所以令s=0 解得當0 x 時, s0 ；當 x0 2.做一個容積為216mL的圓柱形封閉容器，高與底面直徑為何所以 是極小值點且唯一，所以 是最小值點,此時所用材料最省.這時高與底面直徑為所以 是極小值點且唯一，所以 例3如圖，一海島駐

9、扎一支部隊，海島離岸邊最近點B的距離是150km，在岸邊距點B300km的點A處有一軍需品倉庫，有一批軍需品要盡快送達海島，A與B之間有一鐵路，現有海陸聯運方式運送?；疖嚂r速為50km，船時速為30km，試在岸邊選一點C，先將軍需品用火車送到點C，再用輪船從點C運到海島，問點C選在何處可使運輸時間最短？ 例3如圖，一海島駐扎一支部隊，海島離岸邊最近點B的距離是1解:設點C與點B的距離是xkm，則運輸時間(0 x300)因為 所以 令T(x)=0，則有 解:設點C與點B的距離是xkm，則運輸時間(0 x300)即25x2=9(1502+x2)， 解此方程，得 x= 舍去負值，取x0=112.5

10、.因為T(0)=11，T(300)=11.2， T(112.5)=則10是三數中最小者， 所以選點C在與點B距離為112.5km處,運輸時間最小。即25x2=9(1502+x2)， 解此方程，得 x= 舍高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件高中導數的實際應用練習題課件例4如圖，已知電源的電動勢為，內電阻為r，問當外電阻取什么值時，輸出的功率最大？Rr例4如圖，已知電源的電動勢為，內電阻為r，問當外電阻取什解：由歐姆定律得電流強度 在負載電路上的輸出功率是P=P(R)=I2R= Rr解：由歐姆定律得電流強度 在負載電路上的輸出功率是P=P(R實驗表明，當，r 一定時，輸出功率

11、由負載電阻R的大小決定， 當R很小時，電源的功率大都消耗在內阻r上，輸出的功率可以變的很??；R很大時，電路中的電流強度很小，輸出的功率也會變的很小，因此R一定有一個適當的數值，使輸出的功率最大。實驗表明，當，r 一定時，輸出功率由負載電阻R的大小決定，令 即 ，解得R=r，因此，當R=r時，輸出的功率最大。令 即 ，解得R練習A1.設兩個正數之和為常數c，求這兩個數之積的最大值.并由此證明不等式練習A1.設兩個正數之和為常數c，求這兩個數之積的最大值.并練習A1.設兩個正數之和為常數c，求這兩個數之積的最大值.并由此證明不等式解：設其中一個正數為x，則另個正數為c-x.這兩個數之積 y=x(c

12、-x)即y=-x2+cx所以y=-2x+c, 令y=0 解得x=當0 x0 ；當 xc時, y0 所以x= 是極大值點且唯一，所以x= 是最大值點,因此這兩個數之積最大值為練習A1.設兩個正數之和為常數c，求這兩個數之積的最大值.并由此可得設a=x, b=c-x則a+b=c代入上式，得即由此可得設a=x, b=c-x則a+b=c代入上式，得即4.x1,x2,.xn是一組已知數據，令S(x)=(x-x1)2 + (x-x2)2+.+(x-xn)2，當x取何值時，S(x)取最小值？4.x1,x2,.xn是一組已知數據，令S(x)=(x-4.x1,x2,.xn是一組已知數據，令S(x)=(x-x1)

13、2 + (x-x2)2+.+(x-xn)2，當x取何值時，S(x)取最小值？解：因為S(x) =(x-x1)2 + (x-x2)2+.+(x-xn)2即S(x)=nx2-2(x1+x2+.+xn)x+(x12+x22+.+xn2)所以S(x)=2nx-2(x1+x2+.+xn)令S(x)=0解得當0 x 時, S(x)0 ；當 x0 4.x1,x2,.xn是一組已知數據，令S(x)=(x-所以 是極小值點且唯一，所以 是最小值點.所以當 時，S(x)取最小值.所以 是習題1-3A6.用邊長為60cm的正方形的鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去相同的小正方形，然后把四邊翻轉900再焊接而成一個

14、長方體水箱，問水箱底邊應取多少才能使水箱的容積最大？習題1-3A6.用邊長為60cm的正方形的鐵皮做一個無蓋水箱習題1-3A6.用邊長為60cm的正方形的鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去相同的小正方形，然后把四邊翻轉900再焊接而成一個長方體水箱，問水箱底邊應取多少才能使水箱的容積最大？解：設水箱底邊長為xcm，則水箱的容積為所以令V=0解得x=40或x=0(舍) 當0 x0當40 x60時, V0所以x=40函數有極大值且唯一，所以x=40是最大值點,所以水箱底邊為40cm才能使水箱的容積最大.習題1-3A6.用邊長為60cm的正方形的鐵皮做一個無蓋水箱7.將長為72cm的鐵絲截成12段

15、，搭成一個正四棱柱的模型，以此為骨架做成一個容積最大的容器，問鐵絲應怎樣截法？習題1-3A7.將長為72cm的鐵絲截成12段，搭成一個正四棱柱的模型，7.將長為72cm的鐵絲截成12段，搭成一個正四棱柱的模型，以此為骨架做成一個容積最大的容器，問鐵絲應怎樣截法？解：設正四邊形邊長為xcm，則正四棱柱容積為 V=-2x3+18x2 (0 x9) 所以V=-6x2+36x令V=0解得x=6或x=0(舍去)當0 x0當6x9時, V0當 時, s0所以 函數有極大值且唯一，所以 是最大值點,所以AB=80cm時，等腰梯形的面積最大.習題1-3B4.在等腰梯形ABCD中，設上底CD=40，腰A5.一正方形內接于另一個正方形（頂點分別在四邊上），問內接正方形的一邊與固定正方形一邊的夾角取什么值時，內接正方形的面積最?。?.一正方形內接于另一個正方形（頂點