7正弦定理和余弦定理及解三角形-2018年高考數(shù)學(xué)(文)熱點(diǎn)題型和提分秘籍含解析-5718

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形胸懷問(wèn)題2本部分是高考取的重點(diǎn)察看內(nèi)容,主要察看利用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀，求三角形的面積等3命題形式多種多樣，解答題以綜合題為主，常與三角恒等變換、平面向量相聯(lián)合熱點(diǎn)題型一應(yīng)用正弦、余弦定理解三角形例1、【2017山東】在C中,角，C的對(duì)邊分別為a，bcC為銳角三角形,且知足sin12cosC2sincosCcossinC,，若則以低等式建立的是（A）a2b（B）b2a(C）2（D）2【答案】A【剖析】sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC因此2sinBcosCsinAco

2、sC2sinBsinA2ba,選A?！咀兪窖芯俊?1）在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b。若2asinB錯(cuò)誤!b，則角A等于(）A。錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!(2)在ABC中，角A，B,C所對(duì)的邊分別為a，b,c。若a學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1，c42，B45,則sinC_?！敬鸢浮浚?)A（2)錯(cuò)誤!因此sinC錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!?！咎岱置伢拧拷馊切蔚姆椒记梢阎獌山呛鸵贿叄撊切问谴_定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形擁有不唯一性，過(guò)去依照三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷?！矩灤蝗凇吭贏BC中,內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別是abca2b2，,若錯(cuò)誤!bc

3、，sinC2錯(cuò)誤!sinB，則A(）A30B60C120D150【答案】A【剖析】sinC2錯(cuò)誤!sinB，由正弦定理，得c2錯(cuò)誤!b，cosA錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，又A為三角形的內(nèi)角，A30。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精熱點(diǎn)題型二判斷三角形的形狀例2、在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC。(1)求角A的大小;(2)若sinBsinC錯(cuò)誤!，試判斷ABC的形狀。【提分秘笈】判斷三角形形狀的方法技巧解決判斷三角形的形狀問(wèn)題，一般將條件化為只含角的三角函數(shù)的關(guān)系式，爾后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系

4、式，爾后利用常有的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系。其他，在變形過(guò)程中要注意A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.【貫串交融】在ABC中,內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2c22a22b2ab，則ABC是(）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形【答案】A熱點(diǎn)題型三與三角形面積相關(guān)的問(wèn)題例3【2017浙江,14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2點(diǎn)為AB延伸線上一點(diǎn),BD=2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_【答案】15,1024【剖析】取BC中點(diǎn)E,DC中點(diǎn)F，由題意：AEBC,BFCD，ABE中，cosABCBE1,cosDBC1,sinDB

5、C1115,AB44164SBCD1BDBCsinDBC1522又cosDBC12sin2DBF1,sinDBF10，44cosBDCsinDBF10,4綜上可得，BCD面積為15,cosBDC1024【變式研究】在銳角ABC中，內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c,且2asinB3b。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(1)求角A的大??；(2）若a6,bc8,求ABC的面積?！酒饰觥浚?)由2asinB3b，得2a錯(cuò)誤!，又由正弦定理錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,得錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，因此sinA錯(cuò)誤!，因?yàn)闉殇J角，因此A錯(cuò)誤!。2)由（1）及a2b2c22bccosA,得b2c2bc（bc）23bc36，又bc8,因此

6、bc錯(cuò)誤!，由S錯(cuò)誤!bcsinA，得ABC的面積為錯(cuò)誤!?！咎岱置伢拧咳切蚊娣e公式的應(yīng)用原則(1）關(guān)于面積公式S錯(cuò)誤!absinC錯(cuò)誤!acsinB錯(cuò)誤!bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式。2）已知三角形的面積解三角形。與面積相關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化。【貫串交融】在ABC中，內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別是a,b，c.若c2（ab）26，C錯(cuò)誤!，則ABC的面積是（）A3B。錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D3錯(cuò)誤!【答案】C學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精126錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。1.【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4,BC=2點(diǎn)D為AB延伸線上一點(diǎn),BD

7、=2，連接CD，則BDC的面積是BDC_，cos=_【答案】15,1024【剖析】取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，由題意:AEBC,BFCD，ABE中，cosABCBE1，cosDBC1,sinDBC1115，AB44164SBCD1BDBCsinDBC1522又cosDBC12sin2DBF4sinDBF4，1,10cosBDCsinDBF10，4綜上可得，BCD面積為15，cosBDC10242?！?017課標(biāo)1】ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為a23sinA（1）求sinBsinC；(2）若6cosBcosC=1，a=3,求ABC的周長(zhǎng)。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專

8、精【答案】(1）2.（2）333。33。【2017課標(biāo)3】ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b，c。已知sinA3cosA0，a=27,b=2。1）求c;(2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積。【答案】(1)c4;（2)3【剖析】（1）由已知得tanA3，因此A2.3在ABC中，由余弦定理得3，即284c24ccos2c22c240。解得：c6(舍去)，c4。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（2）有題設(shè)可得CAD=，因此BADBACCAD621ABADsin故ABD面積與ACD面積的比值為2611ACAD2又ABC的面積為242sin23，因此的面積為3.1BACABD【考點(diǎn)】余弦

9、定理解三角形；三角形的面積公式4?！?017天津】在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c。已知ab，a5,c6，3。sinB（）求b和sinA的值;（）求sin(2A4)的值.【答案】（1)b13。(2)7226cos2A12sin2572.A。故sin(2A)sin2Acoscos2Asin26134441?！?016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在ABC中,B,BC邊上的高等4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精于1BC,則cosA（）3(A）31010（B）1010（C)1010（D）31010【答案】C【剖析】設(shè)BC邊上的高為AD,則BC3AD，因此ACAD2DC25AD,AB2AD由余弦定理，

10、知cosAAB2AC2BC22AD25AD29AD210，應(yīng)選C2ABAC22AD5AD102。【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA4，cosC5，a1，則b513【答案】21133【。2016高考天津理數(shù)】在ABC中，若AB=13，BC=3,C120,則AC=（）（A)1（B)2(C）3（D）4【答案】A【剖析】由余弦定理得139AC23ACAC1，選A.4【.2016高考江蘇卷】在銳角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精則tanAtanBtanC的最小值是.【答案】8.【剖析】sinAsin(B+C)2si

11、nBsinCtanBtanC2tanBtanC,又tanB+tanC,因tanA=tanBtanC1-tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC22tanAtanBtanCtanAtanBtanC8,即最小值為8.【2015高考天津，理13】在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知ABC的面積為315，bc2,cosA1,則a的值4為.【答案】8【剖析】因?yàn)?A，因此sinA1cos2A15，4115bc2又SABC2bcsinA8bc315,bc24,解方程組bc24得b6,c4，由余弦定理得a2b2c22bccosA6242264164，因此

12、a8。42015高考北京,理12】在ABC中，a4,b5，c6,則sin2AsinC【答案】1sin2A2sinAcosA2ab2c2a224253616【剖析】sinCsinCc26251bc6【2015高考新課標(biāo)1，理16】在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75，BC=2，則AB的取值范圍是。【答案】（62,6+2）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2015江蘇高考，15】（本小題滿分14分）在ABC中，已知AB2,AC3,A60。(1）求BC的長(zhǎng)；2)求sin2C的值【答案】（1)7；（2）4732015高考湖南，理17】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，abtanA,且B為鈍角

13、.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（1)證明：BA2;（2）求sinAsinC的取值范圍。【答案】（1)詳看法析；（2）(2,9.28sinAasinA【剖析】(1）由abtanA及正弦定理，得cosAbsinB，sinBsin(A)sinBcosA，即2，又B為鈍角，因此2A(,)BABA2，故2，即2；（2）由（1）知，C(AB)(2A2)22A0,A(0,4)，于是sinAsinCsinAsin(22A)sinAcos2A2sin2AsinA12(sinA1)29,0A，0sinA2,4842因此22(sinA1)299，由此可知sinAsinC的取值范圍是(2,9.248828（2014湖北

14、卷）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似知足函數(shù)關(guān)系:f(t）10錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!tsin錯(cuò)誤!t，t0，24)(1)求實(shí)驗(yàn)室這日的最大溫差(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2014江西卷）已知函數(shù)f(x)sin（x）acos（x2)，其中aR,錯(cuò)誤!。(1）當(dāng)a2,錯(cuò)誤!時(shí)，求f（x）在區(qū)間0,上的最大值與最小值；（2)若f錯(cuò)誤!0，f(）1，求a，的值學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（2014四川卷）已知函數(shù)f(x）sin錯(cuò)誤!。(1）求f（x）的單一遞加區(qū)間;2）若是第二象限角，f錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!cos2，求

15、cossin的值【剖析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)ysinx的單一遞加區(qū)間為錯(cuò)誤!，kZ，由錯(cuò)誤!2k3x錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!2k，kZ，得錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!x錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,kZ。因此,函數(shù)f（x)的單一遞加區(qū)間為錯(cuò)誤!，kZ。(2)由已知，得sin錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!(cos2sin2）,因此sincos錯(cuò)誤!cossin錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(cos2sin2），即sincos錯(cuò)誤!(cossin）2（sincos）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精當(dāng)sincos0時(shí),由是第二象限角，得錯(cuò)誤!2k，kZ，此時(shí)，cossin2。當(dāng)sincos0時(shí)，(cossin）2錯(cuò)誤!。由是第二象限角，得cossin0,此時(shí)cossin錯(cuò)

16、誤!.綜上所述，cossin錯(cuò)誤!或錯(cuò)誤!.1.在ABC中，sinA=sinB是ABC為等腰三角形的)A.充分不用要條件B.必要不充分條件C。充要條件D.既不充分也不用要條件2.在ABC中,若A=3，B=4,BC=32，則AC=（)A.23B.3C。23D.45【剖析】選C.由正弦定理可得:sinABC=sinBAC，BCsinB32sin=2.433.在ABC中，若a2+b2c2，則ABC的形狀是（）A。銳角三角形B。直角三角形學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精C.鈍角三角形D。不能夠確定222【剖析】選C.由余弦定理:a+b2abcosC=c，因?yàn)閍2+b2c2，因此2abcosC0,因此C為鈍角

17、，ABC是鈍角三角形.4.已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c,且cc-ba=sinC+sinBsinA，則B=(）A.6B。4C。3D。345.在ABC中,角A，B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c。若C=120，c=2a,則（）A.abB。abC。a=bD.a與b的大小關(guān)系不能夠確定【剖析】選A。由余弦定理得2a2=a2+b22abcos120，b2+aba2=0，即(ba)2+1=0，=-1+251，故ba。6。在ABC中,內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知8b=5c，C=2B，則cosC=（）A.257B.257C。257D。2524學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】

18、選A。由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理及8b=5c得cosB=sinC2sinB=c2b=，因此2cosC=cos2B=2cosB-1=24(5)21=257。7.ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b，c，若B=A+3，b=2aB=(A。6B.4C.3D。2【剖析】選D.由正弦定理及b=2a得sinB=2sinA，由B=A+3，則sin(A+3)=2sinA，sinA+23cosA=2sinA,3sinA=3cosA，tanA=33，0A,即有A=6，B=6+3=2.8.如圖，在ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，22,AB=32，AD=3，則BD的長(zhǎng)

19、為.sinBAC=3【答案】3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精9。在ABC中,C=90，M是BC的中點(diǎn).若sinBAM=，則sinBAC=。【答案】36【剖析】設(shè)AC=b，AB=c，BC=a，在ABM中由正弦定理得1sin2aBAM=sincBMA,因?yàn)閟inBMA=sinAC，CMA=AM又AC=b=2a2212232,c-，AM=b+4a=c-4a22因此sinc-a.BMA=322c-4a12ac又由得1=c2-a2,3232c-4a兩邊平方化簡(jiǎn)得4c4-12a2c2+9a4=0，因此2c23a2=0，因此sinBAC=6.310.在ABC中，a=15，b=10，A=60，則cosB=.學(xué)必求

20、其心得，業(yè)必貴于專精【答案】3611。在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2A+sin2Csin2B=3sinAsinC，則B=?！敬鸢浮?【剖析】在ABC中，因?yàn)閟in2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC，因此利用正弦定理得:a2+c2b2=3ac，因此cosB=a2+c2ac2-b2=23，因此B=6.12.如圖，在ABC中,B=45，D是BC邊上的點(diǎn),AD=5,AC=7，DC=3，則AB的長(zhǎng)為。【答案】526學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精13.ABC中，點(diǎn)D是BC上的點(diǎn)，AD均分BAC，BD=2DC.(1)求sinBsinC。(2)若BAC=60，求B

21、?！酒饰觥?1)如圖，由正弦定理得：AD=sinBsinBD，BADAD=sinCsinDC，CAD因?yàn)锳D均分BAC,BD=2DC,因此sinBsinC=BDDC=.2）因?yàn)镃=180（BAC+B，）BAC=60，因此sinC=sin（BAC+B)=23cosB+sinB，由（1)知2sinB=sinC，因此tanB=33，即B=30。14。在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.1)求cosB的值.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）若BABC=2,且b=22，求a和c的值。(2）由BABC=2，可得accosB=2，又cosB=，故ac=6，由b