級數(shù)的收斂性精品課件

1、級數(shù)的收斂性第1頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二1 級數(shù)的收斂性第十二章 數(shù)項級數(shù)第2頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二1. 計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積一、問題的提出第3頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二1. 無窮級數(shù)的定義設(shè)有數(shù)列un:u1, u2, , un, , 則稱表達示為一個無窮級數(shù)，簡稱為級數(shù). 其中， un稱為級數(shù)的一般項或通項.無窮級數(shù)的概念第4頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二若級數(shù)的每一個項un均為常數(shù)，則稱該級數(shù)為常數(shù)項級數(shù)；若級數(shù)的每一項均為同一個變量的

2、函數(shù)un = un(x), 則稱級數(shù)為函數(shù)項級數(shù).第5頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例1. 下列各式均為常數(shù)項級數(shù)第6頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例2. 下列各式均為函數(shù)項級數(shù)第7頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二2. 級數(shù)的斂散性定義無窮級數(shù)的前n項之和：稱為級數(shù)的部分和.若存在，則稱級數(shù)收斂，S稱為級數(shù)的和：第8頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二若不存在(包括為)，則稱級數(shù)發(fā)散.第9頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推播放第10頁，共96

3、頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第11頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第12頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第13頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第14頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第15頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第16頁，共96頁，2022

4、年，5月20日，9點54分，星期二周長為面積為第 次分叉：第17頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二于是有結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界雪花的面積存在極限（收斂）第18頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例3. 討論等比級數(shù)的斂散性.解：等比級數(shù)的部分和為：當(dāng)公比 | r |1時，當(dāng)公比 r =1時，當(dāng)公比 r = 1時，Sn=a, n為奇數(shù)0, n為偶數(shù), 故不存在. 綜上所述，當(dāng)公比| r |1時, 等比級數(shù)收斂；當(dāng)公比| r |1時，等比級數(shù)發(fā)散.第20頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例4. 討論級數(shù)的斂散性.解：第2

5、1頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二而故，即該級數(shù)收斂.第22頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二3. 收斂級數(shù)的余項收斂級數(shù)稱為收斂級數(shù)的余項，記為的和S與其部分和Sn的差SSn顯然第23頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二二、級數(shù)收斂的必要條件定理：若級數(shù)收斂，則必有證 設(shè)第24頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例5. 判別的斂散性.解：由于故該級數(shù)發(fā)散.第25頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例6. 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.證 調(diào)和級數(shù)的部分和有：第26頁，共96頁，2022年，5月2

6、0日，9點54分，星期二第27頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二由數(shù)學(xué)歸納法，得 k=0, 1, 2, 而故 不存在，即調(diào)和級數(shù)發(fā)散. 第28頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二若c0為常數(shù)，則有相同的斂散性，且三、無窮級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1第29頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證的部分和為的部分和為故從而同時收斂或同時發(fā)散.第30頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二若其和分別為S1和S2，則級數(shù)且性質(zhì)2第31頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證的部分和為：故第32頁，共96頁，2022年，5

7、月20日，9點54分，星期二即 級數(shù)收斂，且第33頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例7. 因為等比級數(shù)所以級數(shù)第34頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例8. 問題(1) 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？答：是發(fā)散的.問題(2) 兩個發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？答：不一定.第35頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二 在一個級數(shù)的前面加上或者去掉有限項后，所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同. (但對收斂級數(shù)來說，它的和將改變.)性質(zhì)3第36頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證 設(shè)級數(shù)的

8、部分和為Sn,去掉級數(shù)的前面m項后得到的級數(shù)的部分和為S k:第37頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二由于Sm當(dāng)m固定時為一常數(shù)，所以故 級數(shù)與級數(shù)第38頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二 對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新級數(shù)仍然收斂，且其和不變. 性質(zhì)4第39頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例9. 考慮一下幾個問題：(1) 收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？答：不一定.(2) 發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？答：不一定發(fā)散.(3) 如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散，原級數(shù)是否也發(fā)散？答：原級數(shù)也發(fā)散.第40頁，共96頁，

9、2022年，5月20日，9點54分，星期二證明 四、級數(shù)收斂的必要條件：第41頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二注意1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散; 發(fā)散2.必要條件不充分.第42頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二討論第43頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二8項4項2項2項 項由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.第44頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二五、小結(jié)常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法第45頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二思考題第46頁，共96頁，2022年，5月20日，9點5

10、4分，星期二思考題解答能由柯西審斂原理即知第47頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二練習(xí)題第48頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二第49頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二練習(xí)題答案第50頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二2 正項級數(shù)第十二章 數(shù)項級數(shù)第51頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.第52頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證明即部分和數(shù)列有界3.比較審

11、斂法第53頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù). 第54頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二解由圖可知第55頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二重要參考級數(shù): 幾何級數(shù), P-級數(shù), 調(diào)和級數(shù).第56頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證明第57頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二4.比較審斂法的極限形式:設(shè)=1nnu與=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1) 當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)時，若收斂,則收斂; (3) 當(dāng)時, 若=1nn

12、v發(fā)散,則=1nnu發(fā)散;第58頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證明由比較審斂法的推論, 得證.第59頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二第60頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.第61頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證明第62頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二收斂發(fā)散第63頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù). 兩點注意:第64頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二第65頁，共96頁，2

13、022年，5月20日，9點54分，星期二解第66頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二比值審斂法失效, 改用比較審斂法第67頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二級數(shù)收斂.第68頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二思考題第69頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二思考題解答由比較審斂法知 收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.第70頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二練 習(xí) 題第71頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二第72頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二練習(xí)

14、題答案第73頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二3 一般項級數(shù)第十二章 數(shù)項級數(shù)第74頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二任意項級數(shù)的斂散性1. 交錯級數(shù)及其斂散性 交錯級數(shù)是各項正負相間的一種級數(shù)，它的一般形式為或其中，un0 (n=1, 2, )第75頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二定理(萊布尼茲判別法) 若交錯級數(shù)滿足條件(1) (2) unun+1 (n=1, 2, ) 則交錯級數(shù)收斂，且其和S的值小于u1.(級數(shù)收斂的必要條件) 第76頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二證 只需證明級數(shù)部分和Sn當(dāng)n

15、時的極限存在.1) 取交錯級前2m項之和由條件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及 由極限存在準(zhǔn)則：第77頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二2) 取交錯級數(shù)的前2m+1項之和由條件1):綜上所述，有第78頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例1. 討論級數(shù)的斂散性.解：這是一個交錯級數(shù)，又由萊布尼茲判別法，該級數(shù)是收斂.第79頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例2. 判別級數(shù)的斂散性.解：這是一個交錯級數(shù)，又令x2, +)，則x2, +)，故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立，由萊布尼茲判別法，該級數(shù)收斂.第

16、80頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二解原級數(shù)收斂.第81頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二2. 任意項級數(shù)及其斂散性(1) 級數(shù)的絕對斂和條件收斂定義：若級數(shù)對收斂的；若級數(shù)但級數(shù)第82頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二定理：若(即絕對收斂的級數(shù)必定收斂)證： un |un|從而第83頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)第84頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.第85頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二定理

17、(達朗貝爾判別法) 設(shè)有級數(shù)若(1) 1 (包括= )時，級數(shù)發(fā)散；(3) =1時，不能由此斷定級數(shù)的斂散性.第86頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例5. 判別級數(shù)的斂散性.解：由P一級數(shù)的斂散性，即原級數(shù)絕對收斂.第87頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例6. 判別的斂散性，其中，x1為常數(shù).解：記第88頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二當(dāng)|x|1時，=|x|1時，=1, 此時不能判斷其斂散性.由達朗貝爾判別法：但|x|1時，從而，原級數(shù)發(fā)散.第89頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二例6. 級數(shù)是否絕對

18、收斂?解：由調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性可知，故發(fā)散.但原級數(shù)是一個收斂的交錯級數(shù)：故原級數(shù)是條件收斂，不是絕對收斂的.第90頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二(2) 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1. 任意交換絕對斂級數(shù)中各項的位置，其斂散性不變，其和也不變. 性質(zhì)2. 兩個絕對收斂的級數(shù)的積仍是一個絕對收斂的級數(shù)，且其和等于原來兩個級數(shù)的和之積.第91頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星期二(3) 任意項級數(shù)斂散性的一個判別法定理(迪利赫勒判別法) 設(shè)有級數(shù)任意的 n 1 , 有un un+1, 且又n=1, 2, , M 0為與n無關(guān)的常數(shù)，則級數(shù)若對收斂.第92頁，共96頁，2022年，5月20日，9點54分，星