誤差理論與數(shù)據(jù)處理

1、偏差理論與數(shù)據(jù)辦理第一章緒論-1研究偏差的意義是什么簡(jiǎn)述偏差理論的主要內(nèi)容。答：研究偏差的意義為：(1)正確認(rèn)識(shí)偏差的性質(zhì)，剖析偏差產(chǎn)生的原由，以除去或減小偏差；(2)正確辦理丈量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在必定條件下獲得更湊近于真值的數(shù)據(jù)；(3)正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)儀器或采用儀器和丈量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)條件下，獲得理想的結(jié)果。偏差理論的主要內(nèi)容：偏差定義、偏差根源及偏差分類等。1-2試述丈量偏差的定義及分類，不一樣種類偏差的特色是什么答：丈量偏差就是測(cè)的值與被丈量的真值之間的差；依據(jù)偏差的特色和性質(zhì)，可分為系統(tǒng)偏差、隨機(jī)偏差、粗大偏差。系統(tǒng)偏差的特色是在所處丈量條件下，偏差的絕

2、對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或依據(jù)必定的規(guī)律變化（大小和符號(hào)都按必定規(guī)律變化）；隨機(jī)偏差的特色是在所處丈量條件下，偏差的絕對(duì)值和符號(hào)以不行預(yù)約方式變化；粗大偏差的特色是可取性。1-3試述偏差的絕對(duì)值和絕對(duì)偏差有何異同，并舉例說(shuō)明。答：(1)偏差的絕對(duì)值都是正數(shù)，不過(guò)說(shuō)實(shí)質(zhì)尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸差其他大小數(shù)目，不反應(yīng)是“大了”仍是“小了”，不過(guò)差異量；絕對(duì)偏差即可能是正當(dāng)也可能是負(fù)值，指的是實(shí)質(zhì)尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸的差值。+多少表示大了多少，-多少表示小了多少。就丈量而言,前者是指系統(tǒng)的偏差不決但標(biāo)準(zhǔn)值確立的，后者是指系統(tǒng)自己標(biāo)準(zhǔn)值不決15測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180o0002”,試求丈量的絕對(duì)偏差和相對(duì)偏差解

3、：絕對(duì)偏差等于：180o0002180o2相對(duì)偏差等于：2220.000003086410.000031%180o18060606480001-6在全能測(cè)長(zhǎng)儀上，丈量某一被測(cè)件的長(zhǎng)度為50mm，已知其最大絕對(duì)偏差為1m，試問(wèn)該被測(cè)件的真切長(zhǎng)度為多少解：絕對(duì)偏差測(cè)得值真值，即：LLL0已知：L50，L1m，測(cè)件的真切長(zhǎng)度0LL50（mm）1-7用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)丈量某壓力得，該壓力用更正確的方法測(cè)得為，問(wèn)二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)丈量值的偏差為多少解：在實(shí)質(zhì)檢定中，常把高一等級(jí)精度的儀器所測(cè)得的量值看作實(shí)質(zhì)值。故二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)丈量值的偏差測(cè)得值實(shí)質(zhì)值，即：（Pa）1-8在丈量某一長(zhǎng)度時(shí)，讀數(shù)值為，

4、其最大絕對(duì)偏差為20m，試求其最大相對(duì)偏差。絕對(duì)偏差max100%相對(duì)偏差max測(cè)得值2010-6100%2.318.6610-4%1-9、解：2由g4(h1h2)，得2T421.042309.81053m/s22.048042h2)對(duì)(h1VTgT2進(jìn)行全微分，令hh1h2，并令Vg，Vh，取代dg，dh，dT得Vg42Vh82hVT23TT進(jìn)而VgVh2VT的最大相對(duì)偏差為：ghTVgmaxVhmax2VTmaxghT=0.0000520.00051.042302.0480=104%由g42(h1h2)，得T42h，所以T2g43.141592T1.042202.047909.81053由

5、VgmaxVhmax2VTmax，有VTmaxmaxABST(VhmaxVgmin),ABST(VhminVgmax)ghT2hg2hg1-10檢定級(jí)（即引用偏差為%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值偏差2V為最大偏差，問(wèn)該電壓表能否合格最大引用偏差某量程最大示值偏差丈量范圍上限100%22%2.5%100%100該電壓表合格1-11為何在使用微安表等各樣表時(shí)，總希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用答：當(dāng)我們進(jìn)行丈量時(shí)，丈量的最大相對(duì)偏差:xmaxxms%即:maxxms%A0A0A0所以當(dāng)真值必定的狀況下，所采用的儀表的量程越小，相對(duì)偏差越小，丈量越正確。所以我們選擇的量程應(yīng)

6、湊近真值，所以在丈量時(shí)應(yīng)盡量使指針湊近滿度范圍的三分之二以上1-12用兩種方法分別丈量L1=50mm，L2=80mm。測(cè)得值各為，。試評(píng)定兩種方法丈量精度的高低。相對(duì)偏差L1:50mmI150.00450100%0.008%50L2:80mmI280.00680100%0.0075%80I1I2所以L=80mm方法丈量精度高。2113多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)約點(diǎn)不超出，優(yōu)異射手能在距離50m遠(yuǎn)處正確地射中直徑為2cm的靶心，試評(píng)論哪一個(gè)射擊精度高解：多級(jí)火箭的相對(duì)偏差為：0.10.000010.001%10000射手的相對(duì)偏差為：0.01m1cm0.00020.02%

7、50m50m多級(jí)火箭的射擊精度高。1-14若用兩種丈量方法丈量某部件的長(zhǎng)度L1=110mm，其丈量偏差分別為11m和9m；而用第三種丈量方法丈量另一部件的長(zhǎng)度L2=150mm。其丈量偏差為12m，試比較三種丈量方法精度的高低。相對(duì)偏差I(lǐng)111m0.01%110mmI29m0.0082%110mmI312m0.008%150mmI3I2I1第三種方法的丈量精度最高第二章偏差的基天性質(zhì)與辦理2-1試述標(biāo)準(zhǔn)差、均勻偏差和或然偏差的幾何意義。答：從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差能夠理解為一個(gè)從N維空間的一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離的函數(shù)；從幾何學(xué)的角度出發(fā)，均勻偏差能夠理解為N條線段的均勻長(zhǎng)度；2-2試述單次丈量

8、的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)均勻值的標(biāo)準(zhǔn)差，二者物理意義及實(shí)質(zhì)用途有何不一樣。2-3試剖析求聽(tīng)從正態(tài)散布、反正弦散布、均勻散布偏差落在中的概率2-4丈量某物體重量共8次，測(cè)的數(shù)據(jù)(單位為g)為，是求算術(shù)均勻值以及標(biāo)準(zhǔn)差。x236.48236.43n2vii10.0599n1x0.0212n2-5用別捷爾斯法、極差法和最大偏差法計(jì)算2-4，并比較2-6丈量某電路電流共5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA）為，。試求算術(shù)均勻值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然偏差和均勻偏差。x5168.488(mA)5vi2i10.082()51x0.082n50.037(mA)或然偏差：R0.6745x0.025(mA)均勻偏差：T0.7979x0.0

9、30(mA)2-7在立式測(cè)長(zhǎng)儀上丈量某校正量具，重量丈量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mm）為，。若丈量值聽(tīng)從正態(tài)散布，試以99%的置信概率確立丈量結(jié)果。20.001520.001620.001820.001520.0011x520.0015(mm)52vii10.0002551正態(tài)散布p=99%時(shí)，t2.58limxtx2.580.0002550.0003(mm)丈量結(jié)果：Xxlimx(20.00150.0003)mm27在立式測(cè)長(zhǎng)儀上丈量某校正量具，重復(fù)丈量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為mm)為200015，。若丈量值聽(tīng)從正態(tài)散布，試以99的置信概率確立丈量結(jié)果。解：求算術(shù)均勻值nlixi120.0015

10、mmn求單次丈量的標(biāo)準(zhǔn)差nvi2i1261082.55104mmn14求算術(shù)均勻值的標(biāo)準(zhǔn)差x2.551041.14104mmn5確立丈量的極限偏差因n5較小，算術(shù)均勻值的極限偏差應(yīng)按t散布辦理?，F(xiàn)自由度為：n14；1，查t散布表有：ta極限偏差為limxtx1045.24104mm寫(xiě)出最后丈量結(jié)果Lxlimx20.00155.24104mm2-9用某儀器丈量工件尺寸，在清除系統(tǒng)偏差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差0.004mm，若要求丈量結(jié)果的置信限為0.005mm，當(dāng)置信概率為99%時(shí)，試求必需的丈量次數(shù)。正態(tài)散布p=99%時(shí)，t2.58limxtnn2.580.0042.0640.005n4.26取n5

11、210用某儀器丈量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差，若要求丈量的同意極限偏差為，而置信概率P為時(shí)，應(yīng)丈量多少次解：依據(jù)極限偏差的意義，有tx依據(jù)題目給定得已知條件，有0.0015nt0.0015n1.50.001查教材附錄表3有若n5，v4，有t，t2.782.78n51.242.236若n4，v3，有t，t3.183.18n41.592即要達(dá)題意要求，一定起碼丈量5次。2-12某時(shí)某地由氣壓表獲得的讀數(shù)（單位為Pa）為，其權(quán)各為1，3，5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)均勻值及其標(biāo)準(zhǔn)差。8i1pixi102028.34()x8Papii18pivxi2i186.95(Pa)x8(81)pii1

12、2-13丈量某角度共兩次，測(cè)得值為1241336，2241324，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為3.1,213.8，試求加權(quán)算術(shù)均勻值及其標(biāo)準(zhǔn)差。p1:p212:1219044:96112x2413201904416961424133519044961pi3.1190443.0 xxi219044961i1pi2-14甲、乙兩丈量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角各重復(fù)丈量5次，測(cè)得值以下：甲:7220,730,7235,7220,7215;乙:7225,7225,7220,7250,7245;試求其丈量結(jié)果。甲：甲o(hù)2060352015ox72572305vi2（2252（-1022甲i1-10）（30）（-15）5

13、1418.4甲18.48.23x甲55乙：x乙7o225252050457o233552vi22222i1（-8）（-8）（）（17）（12）13乙14513.5乙13.56.04x乙55p甲:p乙12:1212:123648:6773x甲x乙8.236.04xp甲x甲p乙x乙3648306773337o27o232p甲p乙36486773p甲8.2336484.87xx甲p甲p乙36486773Xx3x7232152-15試證明n個(gè)相等精度測(cè)得值的均勻值的權(quán)為n乘以任一個(gè)丈量值的權(quán)。證明：解：由于n個(gè)丈量值屬于等精度丈量，所以擁有同樣的標(biāo)準(zhǔn)偏差：個(gè)丈量值算術(shù)均勻值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：xn已知權(quán)與方

14、差成反比，設(shè)單次丈量的權(quán)為P1，算術(shù)均勻值的權(quán)為P2，則P:P1:11:n1222xP2nP12-16重力加快度的20次丈量擁有均勻值為9.811m/s2、標(biāo)準(zhǔn)差為0.014m/s2。另外30次丈量擁有均勻值為9.802m/s2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.022m/s2。假定這兩組丈量屬于同一正態(tài)整體。試求此50次丈量的均勻值和標(biāo)準(zhǔn)差。p1:p21112:12:20.0142242:147x12x220.02220309.808(m/s2)2421470.014242（2）x2421470.0025m/s202-17對(duì)某量進(jìn)行10次丈量，測(cè)得數(shù)據(jù)為，試判斷該丈量列中能否存在系統(tǒng)偏差。x14.96按貝塞爾公式

15、10.263310vi按別捷爾斯法21.253i10.264210(101)由21u得u210.0034112u0.67所以丈量列中無(wú)系差存在。n12-18對(duì)一線圈電感丈量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較獲得的，后準(zhǔn)線圈比較獲得的，測(cè)得結(jié)果以下（單位為mH）：，；，。6次是和另一個(gè)標(biāo)試判斷前4次與后6次丈量中能否存在系統(tǒng)偏差。使用秩和查驗(yàn)法：排序：序號(hào)12345第一組第二組序號(hào)678910第一組第二組T=+7+9+10=查表T14T30TT所以兩組間存在系差2-19對(duì)某量進(jìn)行10次丈量，測(cè)得數(shù)據(jù)為，試判斷該丈量列中能否存在系統(tǒng)偏差。x14.96按貝塞爾公式10.263310vi按別捷爾斯法2

16、1.253i10.264210(101)由21u得u210.0034112u0.67所以丈量列中無(wú)系差存在。n12-20對(duì)某量進(jìn)行12次丈量，測(cè)的數(shù)據(jù)為，試用兩種方法判斷該丈量列中能否存在系統(tǒng)偏差。解：剩余偏差校核法x20.1250.065)0.54由于V顯著不為0，存在系統(tǒng)偏差。2）剩余偏差察看法剩余偏差符號(hào)由負(fù)變正，數(shù)值由大到小，在變大，所以繪制剩余偏差曲線，可見(jiàn)存在線形系統(tǒng)偏差。122（3）vii10.0511112vi21.253i10.06n(n1)1u1u210.1912u0.603n1所以不存在系統(tǒng)偏差。2-22第三章偏差的合成與分派3-1相對(duì)丈量時(shí)需用54.255mm的量塊組做

17、標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸為l140mm，l212mm，l31.25mm，l41.005mm。經(jīng)丈量，它們的尺寸偏差及其丈量極限偏差分別為l10.7m,l20.5ml30.3m,l40.1m,liml10.35m,liml20.25m,liml30.20m,liml40.20m。試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正當(dāng)及給相對(duì)丈量帶來(lái)的丈量偏差。修正當(dāng)=(l1l2l3l4)=(0.70.50.30.1)(m)丈量偏差:l=2222liml1liml2liml3liml4=(0.35)2(0.25)2(0.20)2(0.20)20.51(m)3-2為求長(zhǎng)方體體積V，直接丈量其各邊

18、長(zhǎng)為a161.6mm，b44.5mm,c11.2mm,已知丈量的系統(tǒng)偏差為a1.2mm，b0.8mm，c0.5mm，丈量的極限偏差為a0.8mm，b0.5mm，c0.5mm，試求立方體的體積及其體積的極限偏差。VabcVf(a,b,c)V080541.44(mm3)體積V系統(tǒng)偏差V為：Vbcaacbabc2745.744(mm3)2745.74(mm3)立方體體積實(shí)質(zhì)大小為：VV0V77795.70(mm3)limV(f)2a2(f)2b2(f)2c2abc(bc)22(ac)22(ab)22abc3729.11(mm3)丈量體積最后結(jié)果表示為:VV0VlimV(77795.703729.11

19、)mm333長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為，2,丈量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為；標(biāo)準(zhǔn)差各為1、1323。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式為：Va1a2a3V)22(V22(V)22體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為：V(1)2a33a1a2現(xiàn)可求出：Va2a3；Va1a3；Va1a2a1a2a3若：123則有：V)22(V22(V22V2(V)2V)2V(1)2)3()a2(a1a2a3a1a3(a2a3)2(a1a3)2(a1a2)2若：123則有：(a2a3)22(a1a3)22(a1a2)22V1233-4丈量某電路的電流I22.5mA，電壓U12.6V，丈量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為I0.5mA，U0.1V，求所耗功率PUI及其

20、標(biāo)準(zhǔn)差P。P283.5(mw)Pf(U,I)U、I成線性關(guān)系UI1P(f)2U2(f)2I22(f)(f)uIUIUIfUfIIUUI22.5UI8.55(mw)3-9丈量某電路電阻R兩頭的電壓U，按式I=U/R計(jì)算出電路電流，若需保證電流的偏差為，試求電阻R和電壓U的丈量偏差為多少解：在I=U/R式中，電流I與電壓U是線性關(guān)系，若需要保證電流偏差不大于，則要保證電壓的偏差也不大于R。312按公式V=r2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm，h約為20cm，要使體積的相對(duì)偏差等于1，試問(wèn)r和h丈量時(shí)偏差應(yīng)為多少解：若不考慮丈量偏差，圓柱體積為Vr2h3.142220251.2cm3依據(jù)題意，體積

21、丈量的相對(duì)偏差為1，即測(cè)定體積的相對(duì)偏差為：V1%即V1%251.21%2.51現(xiàn)按等作用原則分派偏差，能夠求出測(cè)定r的偏差應(yīng)為：r測(cè)定h的偏差應(yīng)為：12.5112V/r1.4120.007cmhrh12.5110.142cm2V/h1.41r23-14對(duì)某一質(zhì)量進(jìn)行4次重復(fù)丈量，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位g)為，。已知丈量的已定系統(tǒng)偏差2.6g,丈量的各極限偏差重量及其相應(yīng)的傳達(dá)系數(shù)以下表所示。若各偏差均聽(tīng)從正態(tài)散布，試求該質(zhì)量的最可信任值及其極限偏差。極限偏差g序號(hào)偏差傳達(dá)系數(shù)隨機(jī)偏差不決系統(tǒng)偏差11213141516781428.6429.2426.5430.8x4428.775(g)428.8(g

22、)最可信任值xx428.82.6431.4(g)5f213f2)22x()ei4i(xiii1xi14.9(g)丈量結(jié)果表示為:xxx(431.44.9)g第四章丈量不確立度41某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次丈量得rr=cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的丈量不確立度，置信概率P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的丈量不確立度已知圓球的最大截面的圓周為：D2r其標(biāo)準(zhǔn)不確立度應(yīng)為：uDr222243.1415920.0052r2r確立包括因子。查t散布表（9），及K故圓球的最大截面的圓周的丈量不確立度為：UKu求圓球的體積的丈量不確立度圓球體積為：V4r33其標(biāo)準(zhǔn)不確立度應(yīng)為：uVr

23、224r222163.1415923.13240.00520.616rr確立包括因子。查t散布表（9），及K最后確立的圓球的體積的丈量不確立度為UKu4-2望遠(yuǎn)鏡的放大率D=f1/f2，已測(cè)得物鏡主焦距f11=（）cm，目鏡的主焦距f22=（）cm，求放大率丈量中由f1、f2惹起的不確立度重量和放大率D的標(biāo)準(zhǔn)不確立度。4-3丈量某電路電阻R兩頭的電壓U，由公式I=U/R計(jì)算出電路電流I，若測(cè)得Uu=（）V，RR=（）、有關(guān)系數(shù)UR=,試求電流I的標(biāo)準(zhǔn)不確立度。4-4某校準(zhǔn)證書(shū)說(shuō)明，標(biāo)稱值10的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻R在20C時(shí)為10.000742129（P=99%），求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確立度，并說(shuō)明

24、屬于哪一類評(píng)定的不確立度。由校準(zhǔn)證書(shū)說(shuō)明給定屬于B類評(píng)定的不確立度QR在，+129范圍內(nèi)概率為99%，不為100%不屬于均勻散布，屬于正態(tài)散布a129當(dāng)時(shí)，Kp2.58p=99%a129)UR50(Kp2.584-5在光學(xué)計(jì)上用的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件丈量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：l140mm，l210mm，l32.5mm，量塊按“級(jí)”使用，經(jīng)查手冊(cè)得其研合偏差分別不超出0.45m、0.30m、0.25m（取置信概率P=%的正態(tài)散布），求該量塊組惹起的丈量不確立度。L52.5mml140mml210mml32.5mmLl1l2l3Qp99.73%Kp3Ul1a0.450.1

25、5(m)Ul2a0.30m)kp3kp0.10(3Ul3a0.250.08(m)kp3ULUl1Ul2Ul30.1520.1020.0820.20(m)第五章線性參數(shù)的最小二乘法辦理3xy2.95-1丈量方程為x2y0.9試求x、y的最小二乘法辦理及其相應(yīng)精度。偏差方程為2x3y1.9v12.9(3xy)v20.9(x2y)v31.9(2x3y)nnnai1ai1xai1ai2yai1li列正規(guī)方程i1i1i1代入數(shù)據(jù)得nnnai2ai1xai2ai2yai2lii1i1i114x5y13.4x0.9625x14y解得y0.0154.6v12.9(30.9620.015)0.001將x、y代入偏差方程式v20.9(0.96220.015)0.032v31.9(20.96230.015)0.021n3vi2vi2丈量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為i1i10.038nt3214d115d121求解不定乘數(shù)d11d125d