3立體幾何中的向量方法-2017年高考數(shù)學(xué)(理)備考學(xué)易黃金易錯(cuò)點(diǎn)含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1直三棱柱ABCABC中，BCA90，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，BCCA1111111CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A。錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!答案C剖析方法一由于BCA90，三棱柱為直三棱柱，且BCCACC1。成立如圖(1)所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則可得A（0，0，0），B（2,2,0）,M(1，1,2），N(0,1,2），錯(cuò)誤!（1,1，2)(2，2,0）（1，1，2），錯(cuò)誤!(0,1,2)cos錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。2。如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,直線

2、OP與平面A1BD所成的角為，則sin的取值范圍是（)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A錯(cuò)誤!，1B錯(cuò)誤!，1C錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!D錯(cuò)誤!，1答案B剖析依照題意可知平面A1BD平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O，因此過(guò)點(diǎn)P作交線A1O的垂線PE，則PE平面A1BD，因此A1OP或其補(bǔ)角就是直線OP與平面A1BD所成的角.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則依照?qǐng)D形可知直線OP與平面A1BD能夠垂直3如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P在直線BC1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有以下三個(gè)命題：三棱錐AD1PC的體積不變;直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；二面角PAD1C的大小不變其中真命題的序

3、號(hào)是_答案剖析中,BC1平面AD1C,BC1上隨意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，因此體積不變，正確；中,點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面ACD1所成角和直線AC1與平面ACD1所成角不相等,因此不正確；中，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在平面AD1C1B中,既二面角PAD1C的大小不受影響，因此正確4已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn),則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為_(kāi)答案錯(cuò)誤!剖析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為d錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!

4、錯(cuò)誤!。5。如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1ABAC1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CC1,BC的中點(diǎn)，AEA1B1，點(diǎn)D為棱A1B1上的點(diǎn)(1)證明：DFAE；(2）可否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為錯(cuò)誤!？若存在，說(shuō)明點(diǎn)D的地點(diǎn)，若不存在，說(shuō)明原因（1）證明AEA1B1,A1B1AB，AEAB，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精又AA1AB，AA1?面A1ACC1,AE?面A1ACC1，AA1AEA，AB面A1ACC1。又AC?面A1ACC1，ABAC，以A為原點(diǎn)成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則有A(0,0，0)，E錯(cuò)誤!，F(xiàn)錯(cuò)誤!，A1(0,0，1），B1(1，

5、0,1），由（1）可知平面ABC的法向量n(0，0，1)設(shè)平面DEF的法向量為m(x，y，z）,則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!),錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!令z2（1），則n（3,12，2(1）平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精錯(cuò)誤!，|cosm，n錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，即錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，解得錯(cuò)誤!或錯(cuò)誤!（舍)，當(dāng)點(diǎn)D為A1B1中點(diǎn)時(shí)知足要求6如圖，在以A，B，C，D,E，F(xiàn)為極點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形,AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明：平面ABEFEFDC；（2）求二面角EBCA的余弦值由(1）知DF

6、E為二面角DAFE的平面角,故DFE60，則DF2，DG錯(cuò)誤!,可得A（1，4,0），B（3,4，0），E（3,0，0），D(0，0，錯(cuò)誤!）由已知，ABEF，因此AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD,故ABCD,CDEF，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由BEAF，可得BE平面EFDC，因此CEF為二面角CBEF的平面角，CEF60，進(jìn)而可得C（2,0，錯(cuò)誤!)因此錯(cuò)誤!(1，0，錯(cuò)誤!）,錯(cuò)誤!（0，4，0)，錯(cuò)誤!(3，4，錯(cuò)誤!），錯(cuò)誤!(4，0，0）設(shè)n(x，y，z）是平面BCE的法向量，則錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!因此可取n（3,0，錯(cuò)誤!)設(shè)m是平面ABCD的法向量，則錯(cuò)誤!同理可取m

7、(0，錯(cuò)誤!，4)，則cos。(3)面面夾角設(shè)平面、的夾角為(0)，則cos錯(cuò)誤!cos，v|。易錯(cuò)起源3、利用空間向量求解研究性問(wèn)題例3、以以下圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MDNB1，E為BC的中點(diǎn)(1）求異面直線NE與AM所成角的余弦值;(2）在線段AN上可否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在,求線段AS的長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明原因解（1）由題意，易得DMDA，DMDC，DADC。以以下圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC，DM所在直線分別為x軸，y軸，z軸,成立空間直角坐標(biāo)系學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。因此異面直線NE與AM所

8、成角的余弦值為錯(cuò)誤!。(2）假定在線段AN上存在點(diǎn)S,使得ES平面AMN，連結(jié)AE.由于錯(cuò)誤!(0，1,1），可設(shè)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（0，)，0，1,【變式研究】如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB,且ABBP2，ADAE1,AEAB,且AEBP.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn),求證：EM平面ABCD；2）線段PD上可否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于錯(cuò)誤!？若存在，試確定點(diǎn)的地點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明原因證明由已知，平面ABCD平面ABPE,且BCAB，則BC平面ABPE，因此BA，BP，BC兩兩垂直，故以點(diǎn)B為原點(diǎn)，錯(cuò)誤!,

9、錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!分別為x軸，軸,z軸正方向，成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系則P（0，2，0），D(2，0,1)，M錯(cuò)誤!，E(2，1，0)，C(0，0,1），因此錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.易知平面ABCD的一個(gè)法向量n（0，1，0），因此錯(cuò)誤!n(1，0,錯(cuò)誤!）(0,1,0)0,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精取y11，得平面PCD的一個(gè)法向量等于n1(0，1,2)，假定線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成的角的正弦值等于錯(cuò)誤!。設(shè)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(01），則錯(cuò)誤!(2，2，1)(2，2,),，）BN錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(2,22因此sincos錯(cuò)誤!，n1錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。2因此9810,解得1或錯(cuò)誤

10、!(舍去）因此，線段PD上存在一點(diǎn)N，當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于錯(cuò)誤!.【名師點(diǎn)睛】空間向量最適合于解決這類立體幾何中的研究性問(wèn)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理,只要經(jīng)過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷解題時(shí)，把要成立的結(jié)論看作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“可否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椤包c(diǎn)的坐標(biāo)可否有解，可否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，因此為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法【智謀過(guò)人，戰(zhàn)勝自我】存在研究性問(wèn)題的基本特點(diǎn)是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)可否存在或某一結(jié)論可否成立解決這類問(wèn)題的基本策略是先假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在

11、（或結(jié)論成立)或姑且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，爾后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否認(rèn)假定;否則，給出必然結(jié)論1已知平面ABC,點(diǎn)M是空間隨意一點(diǎn),點(diǎn)M知足條件錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，則直線AM()A與平面ABC平行B是平面ABC的斜線C是平面ABC的垂線D在平面ABC內(nèi)答案D剖析由已知得M、A、B、C四點(diǎn)共面因此AM在平面ABC內(nèi)，選D.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.如圖，點(diǎn)P是單位正方體ABCDA1B1C1D1中異于A的一個(gè)極點(diǎn)，則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!的值為()A0B1C0或1D隨意實(shí)數(shù)答案C剖析個(gè)向量：,，,，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，其中一個(gè)與錯(cuò)

12、誤!重合，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!21；錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!垂直，這時(shí)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0；錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!的夾角為45，這時(shí)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!1cos錯(cuò)誤!1，最后錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!1cosBAC1錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!1,應(yīng)選C.3在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A（2，0,0)，B2，2,0），C（0,2,0)，D（1,1,2）若S1，S2，S3分別是三棱錐DABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（)AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D剖析以以下圖，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精AD4如圖，三棱錐ABCD的棱長(zhǎng)全相等，點(diǎn)的中點(diǎn)，則

13、直線CE與BD所成角的余弦值為(E為)A。錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!答案A剖析設(shè)AB1，則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!)(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cos60cos60cos60錯(cuò)誤!。cos錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.選A.5已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A.錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!答案A6正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!的取值范圍是_答案0,1剖析以DA所在的直

14、線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD1所在的直線為z軸，成立空間直角坐標(biāo)系Dxyz。則D(0，0，0)，C（0,1，0），A(1，0，0)，B(1,1，0），D1(0,0，1)錯(cuò)誤!(0,1,0），錯(cuò)誤!（1，1,1)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(，），且01.錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（，1，)，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!10，17在素來(lái)角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,6），B（3，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8），現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60的二面角，則折疊后A、B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)答案2錯(cuò)誤!剖析如圖為折疊后的圖形，其中作ACCD，BDCD，則AC6，BD8，CD4，兩異面直線AC，BD所成的角為6

15、0,故由錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，得錯(cuò)誤!2|錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!|268，錯(cuò)誤!2錯(cuò)誤!.8已知ABCDA1B1C1D1為正方體，(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!)23錯(cuò)誤!2；錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!)0；向量錯(cuò)誤!與向量錯(cuò)誤!的夾角是60；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.其中正確命題的序號(hào)是_答案剖析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,中(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）2錯(cuò)誤!23錯(cuò)誤!23，故正確；中錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!9.以以下圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形,AB學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精AE，F(xiàn)AFE，AEF45。(1）求證：EF平面BCE；（2）設(shè)

16、線段CD，AE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P，M，求證：PM平面BCE.證明由于ABE是等腰直角三角形，ABAE，因此AEAB,由于平面ABEF平面ABCD,且平面ABEF平面ABCDAB.因此AE平面ABCD,因此AEAD,即AD,AB,AE兩兩垂直,成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB1,則ADAE1。1）A（0，0，0）,B(0,1，0），D（1，0，0）,E(0,0,1），C（1,1，0），由于FAFE，AEF45，因此AFE90,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2）M錯(cuò)誤!，P(1,錯(cuò)誤!，0）,進(jìn)而錯(cuò)誤!（1,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!),于是錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0。因此PMEF,又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，故PM平面BCE。10。以以下圖的多面體中,EA平面ABC，D