結(jié)構(gòu)力學(xué)第六章平面應(yīng)力問題的有限單元法

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)第六章平面應(yīng)力問題的有限單元法第1頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二 有限元方法已被公認(rèn)為應(yīng)力分析的有效工具，受到工程界科學(xué)研究者的廣泛重視?，F(xiàn)在的有限元軟件種類繁多，較為突出的有：MSC/NASTRAN、ANSYS、MARC、Algor、ABAQUS、等。 本章主要通過板的平面應(yīng)力問題介紹有限元基本方法。引言：第2頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二引言：第3頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 1.平面應(yīng)力問題t/2t/2Oxyzy圖6-1第4頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0

2、分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 因為板面上(z= t/2 )不受力，所以有應(yīng)力分量 由于板很薄，故可以認(rèn)為在整個薄板上所有各點上都有： 根據(jù)剪應(yīng)力互等定律：第5頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 這樣，板中任一點的九個應(yīng)力分量就只剩下三個應(yīng)力分量，即第6頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 因而這種問題稱為平面應(yīng)力問題。同時，由于板很薄，所以這三個應(yīng)力分量，以及分析問題時須考慮的三個應(yīng)變分量x 、y 、xy及和兩個位移分量u，v，都可以認(rèn)為沿厚度不變化。這就是說，它們只是坐標(biāo)x

3、和y的函數(shù)，不隨坐標(biāo)z的變化而變化。 在平面應(yīng)力問題中，可用如下三個向量分別表板中任一點的應(yīng)力、應(yīng)變和位移；(6-1)(6-2)(6-3)第7頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二 在船體結(jié)構(gòu)中，很多問題可以簡化為平面應(yīng)力問題處理。例如甲板開口、舷側(cè)、橫梁開孔和肘板的強度問題等等。6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 2.基本方程式 基本方程式包括平衡微分方程式、幾何方程式和物理方程式，此外還有邊界條件方程式。下面依次到處平面應(yīng)力問題的這些方程式 第8頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二xyxyCXYxy6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 (1)平衡微分方程式

4、根據(jù)平衡條件導(dǎo)出的各應(yīng)力分量之間的微分關(guān)系就是平衡微分方程式圖6-2第9頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 首先以通過中心C，并平行于z軸的直線為矩軸，列力矩平衡方程Mc=0。第10頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 其次，以x軸為投影軸，列出力投影的平衡方程Fx=0：第11頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 其次，以y軸為投影軸，列出力投影的平衡方程Fy=0：第12頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)

5、力問題及其基本方程式 由此，得到平面應(yīng)力問題的平衡方程： 這兩個微分方程中包含三個未知數(shù)x、 y、xy =yx：因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定，還必須考慮變形情況才能解決問題。(6-4)第13頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二xy (2)幾何方程式 下面從平面應(yīng)力問題的幾何學(xué)方面，導(dǎo)出應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程式。O第14頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 線段PA的正應(yīng)變： 線段PB的正應(yīng)變：(a)(b)第15頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式

6、剪應(yīng)變xy： 線段PA的轉(zhuǎn)角為： 線段PB的轉(zhuǎn)角為：第16頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 剪應(yīng)變xy： 式(a)、(b)、(c)是應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，現(xiàn)歸納為：稱為平面應(yīng)力問題的幾何方程式，又稱柯西方程式(c)(6-5)第17頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二 由式（6-5）可見，當(dāng)板內(nèi)各點的位移分量u、v為已知函數(shù)時，就可確定各點的應(yīng)變分量x、 y、 xy；反之，假定三個應(yīng)變分量函數(shù)，那么按式（6-5）的前兩個式子就可以求出位移函數(shù)u、v，若用此兩個位移分量函數(shù)代入第三個方程式求xy，就會與假定的xy

7、不同。這樣就出現(xiàn)了矛盾。這一矛盾是因為板內(nèi)任一點的應(yīng)變分量之間有相互聯(lián)系所造成的，如果在假定各應(yīng)變分量函數(shù)時不反映出這種聯(lián)系，那就將使變形不連續(xù)，即板變形將發(fā)生空隙或裂縫。從數(shù)學(xué)上講，式（6-5）的應(yīng)變分量是三個，而位移分量只有兩個，因此三個應(yīng)變分量不能相互獨立，而必然有一定的聯(lián)系，這個關(guān)系叫應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或應(yīng)變相容條件?，F(xiàn)推導(dǎo)如下：6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式第18頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 應(yīng)變相容方程或叫應(yīng)變協(xié)調(diào)方程： 稱為變形連續(xù)方程或圣維南方程(6-6)第19頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1

8、平面應(yīng)力問題及其基本方程式 （3）物理方程式 上面建立了二個平衡微分方程式和三個幾何方程式，五個方程式中共有八個未知函數(shù)x、 y 、xy 、u、v、x、 y、 xy，尚需補充三個方程式才可能求解。這三個方程式就是應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，即物理方程式。物理方程式就是材料力學(xué)中廣義虎克定律，平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律為：第20頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 或?qū)懗桑?6-7)(6-8)第21頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 用矩陣形式表示為： 簡記為：稱為平面應(yīng)力問題的彈性矩

9、陣(6-9)(6-10)第22頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 （4）邊界條件 上述式（6-4）、（6-5）、（6-7）或（6-8）一共有八個基本方程式。這八個基本方程式中包含八個未知函數(shù)（坐標(biāo)x,y的函數(shù)）；三個應(yīng)力分量；三個應(yīng)變分量；兩個位移分量。方程的數(shù)目恰好等于未知函數(shù)的數(shù)目。因此，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，由上述方程式求解未知函數(shù)是可能的。 根據(jù)邊界條件的不同，平面應(yīng)力問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。第23頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 （4）邊界條件 在位移

10、邊界問題中，物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是在全部邊界上有：式中，us和vs在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。這就是平面應(yīng)力問題的位移邊界條件。(6-11)第24頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 （4）邊界條件 在應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，也就是說，面力分量X和Y在全部邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。根據(jù)面力分量與邊界上應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可以把面力已知條件轉(zhuǎn)換為應(yīng)力已知的條件，這就是所謂應(yīng)力邊界條件，推導(dǎo)如下：xNXYYX第25頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式

11、在物體邊界上取直角三角形的微塊PAB，它的斜面AB與物體邊界面重合，如圖6-4所示。用N表示邊界面的外法線法向，其方向余弦為：xNXYYX第26頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 設(shè)該邊界面AB 的長度為ds，則截面PA和PB的長度分別為lds和mds，另設(shè)微塊的厚度為1。由微塊的平衡條件Fx=0，得第27頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.1平面應(yīng)力問題及其基本方程式 同理由微塊的平衡條件FY=0，得另外一方程式。這兩個方程式為： 式（6-12）就是平面應(yīng)力問題的應(yīng)力邊界條件。如果考慮第三個平衡條件FM=0，則可以

12、再寫出一個方程式，但是在ds趨近于零時，設(shè)一方程式將成為剪應(yīng)力互等方程式。(6-12)第28頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.2解題方法及有限單元法概念 1.解題方法簡介 傳統(tǒng)的彈性力學(xué)解題方法有三種：位移法，應(yīng)立法和混合法。 當(dāng)平面應(yīng)力問題按位移法求解時，以位移分量u、v為基本未知函數(shù)。將幾何方程式（6-5）代入物理方程式（6-8），得應(yīng)力分量與位移分量之間的關(guān)系式，再將所得關(guān)系式代入平衡微分方程式（6-4）和應(yīng)力邊界條件（6-12），簡化后得到：(6-13)第29頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.2解題方法及有限單元法概念 和：(6-14)第30頁，共32頁，2022年，5月20日，19點0分，星期二6.2解題方法及有限單元法概念 當(dāng)平面應(yīng)力問題按應(yīng)力法求解時，以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。將幾何方程式