《衍生金融工具》(第二版)課件第十章二叉樹定價(jià)模型

1、第十章 二叉樹定價(jià)模型1111本章導(dǎo)讀對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，一種有用并且很流行的方法是構(gòu)造二叉樹（binomial tree）。這里的二叉樹是指代表在期權(quán)期限內(nèi)可能會(huì)出現(xiàn)的股票價(jià)格變動(dòng)路徑的圖形。這種方法假設(shè)股票價(jià)格服從隨機(jī)游動(dòng)（random walk）。在樹形上的每一步，股票價(jià)格以某種概率向上移動(dòng)一定的比率，同時(shí)以某種概率會(huì)向下移動(dòng)一定的比率。在步長(zhǎng)足夠小的極限狀態(tài)下，這種模型與布萊克-斯科爾斯-默頓模型是一致的。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)的歷史波動(dòng)率模擬出其在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并從每一路徑最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格往回推導(dǎo)計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格，直到求出期權(quán)現(xiàn)價(jià)。本章解釋了

2、用來(lái)對(duì)期權(quán)定價(jià)的無(wú)套利假設(shè)的特點(diǎn)，介紹了常用于美式期權(quán)和其他衍生產(chǎn)品定價(jià)所用的二叉數(shù)值方法，并且引進(jìn)了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。2本章導(dǎo)讀對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，一種有用并且很流行的方法是構(gòu)造二知識(shí)結(jié)構(gòu)圖3二叉樹定價(jià)模型單步二叉樹定價(jià)模型期權(quán)價(jià)格與漲跌概率無(wú)關(guān)狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性的內(nèi)在聯(lián)系風(fēng)險(xiǎn)中性世界與現(xiàn)實(shí)世界的定價(jià)多步二叉樹定價(jià)模型Delta對(duì)沖二叉樹定價(jià)模型的拓展歐式期權(quán)美式期權(quán)確定參數(shù)u與d鞅二叉樹的Matlab實(shí)現(xiàn)三叉樹定價(jià)跳躍過(guò)程的對(duì)沖知識(shí)結(jié)構(gòu)圖3二叉樹定價(jià)模型單步二叉樹定價(jià)模型期權(quán)價(jià)格與漲第一節(jié) 單步二叉樹定價(jià)模型【例101】假定某標(biāo)的股票當(dāng)前價(jià)

3、格是1元，一個(gè)月后股價(jià)有兩種可能：上漲到2元，或者下跌到0.5元。如圖101所示。如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年6%，則在當(dāng)前時(shí)刻，購(gòu)買一張一個(gè)月到期、執(zhí)行價(jià)格為1元的該股票看漲期權(quán)，期權(quán)價(jià)格應(yīng)該為多少?圖101 引例4第一節(jié) 單步二叉樹定價(jià)模型【例101】假定某標(biāo)的股55首先構(gòu)造股票和期權(quán)的證券組合，使得無(wú)論股票價(jià)格是上漲還是下跌，證券組合的價(jià)值都保持不變，設(shè)由一份期權(quán)c和份股票S構(gòu)成的證券組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，滿足：cu+Su=cd+Sd其中，下標(biāo)u和d分別表示股票上漲和下跌狀態(tài)。代入數(shù)值，上式變?yōu)?1+2=0+0.5可得=-2/3。因此構(gòu)造資產(chǎn)組合 ，即買入2份股票，賣出3份看漲期權(quán)，有 即資產(chǎn)組合的到

4、期價(jià)值是確定的1元。 由于該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，由無(wú)套利均衡定價(jià)原理：于是，當(dāng)前時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格為c0=0.335元。第一節(jié) 單步二叉樹定價(jià)模型55首先構(gòu)造股票和期權(quán)的證券組合，使得無(wú)論股票價(jià)格是上漲還是6第一節(jié) 單步二叉樹定價(jià)模型假設(shè): (1)標(biāo)的資產(chǎn)可以細(xì)分成不同的份額來(lái)買賣; (2)借貸利率相同;(3)標(biāo)的資產(chǎn)的買價(jià)和賣價(jià)一樣;(4)標(biāo)的資產(chǎn)在下一時(shí)段的價(jià)格只有兩種可能。圖102 單步二叉樹6第一節(jié) 單步二叉樹定價(jià)模型假設(shè): 圖102 單步7先構(gòu)造待定比例的對(duì)沖組合，即要求由份標(biāo)的資產(chǎn)的空頭和1份期權(quán)多頭組成無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合=c-S在期末的價(jià)值是確定的 。即在兩種狀態(tài)下，組合的價(jià)值相等: T=

5、u=cu-Su=d=cd -Sd (10.1) 解得: =(cu - cd)/(Su - Sd ) (10.2) 因?yàn)橘Y產(chǎn)組合在期末的價(jià)值是確定的，因此根據(jù)無(wú)套利原理，組合的期初價(jià)值應(yīng)該為期末價(jià)值的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn): 0=c-S0=（cu-Su）e-rT (10.3) 將式(10.2)代入式(10.3)，解得: c=(cu (1-de-rT )+ cd (ue-rT)-1)/(u-d) (10.4) 或c=e-rT pcu+(1-p)cd (10.5) 其中： p=(erT-d)/(u-d) (10.6)第一節(jié) 單步二叉樹定價(jià)模型7先構(gòu)造待定比例的對(duì)沖組合，即要求由份標(biāo)的資產(chǎn)的空頭和1份第二節(jié)

6、 股票價(jià)格漲跌概率不影響期權(quán)的定價(jià)8在例101和例102的單步二叉樹模型中，并沒(méi)有涉及標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲和下跌的概率。難道標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲和下跌的概率對(duì)期權(quán)的價(jià)格沒(méi)有影響嗎?進(jìn)一步，期權(quán)價(jià)格是未來(lái)期望回報(bào)的貼現(xiàn)值嗎?比如：當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲和下跌的概率分別為（50%，50%）以及（90%，10%），期權(quán)的價(jià)格還是一樣的嗎？ 答案是肯定的，期權(quán)的價(jià)格仍然是一樣的。思考：第二節(jié) 股票價(jià)格漲跌概率不影響期權(quán)的定價(jià)8在例101和例第二節(jié) 股票價(jià)格漲跌概率不影響期權(quán)的定價(jià)9期權(quán)是零和博弈，當(dāng)市場(chǎng)上有足夠多的期權(quán)參與者，讓期權(quán)價(jià)格等于平均回報(bào)貌似是合理的，然而這與求出的期權(quán)的價(jià)格0.33元并不相等。進(jìn)一步，

7、如果期權(quán)的價(jià)格是0.5元，那么在現(xiàn)在時(shí)刻構(gòu)造零成本投資組合:賣出兩份期權(quán)得1元，立即買入一份股票。到期時(shí)，若股票漲為2元，則股票盈利和期權(quán)虧損剛好抵消，組合價(jià)值仍然為0;若股票價(jià)格跌為0.5元，則期權(quán)價(jià)值為0，組合價(jià)值帶來(lái)了0.5元的盈利。相當(dāng)于市場(chǎng)免費(fèi)提供了一份看跌期權(quán)，存在套利。再說(shuō)，若股價(jià)上漲和下跌的概率都為50%，則股票未來(lái)的平均價(jià)格為(2+0.5)/2=1.25元，按照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值為1.25元，也不等于股票現(xiàn)價(jià)1元。若未來(lái)股價(jià)上漲和下跌的概率為（90%，10%），則股票未來(lái)的平均價(jià)格按照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)值依然不等于現(xiàn)價(jià)1元。鑒于上述原因，我們?cè)?0.1中的期權(quán)定價(jià)過(guò)程中，回避

8、了股票上漲和下跌的概率以及對(duì)應(yīng)的貼現(xiàn)率，直接根據(jù)無(wú)套利原理按照標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格來(lái)給期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。我們并不是在一個(gè)絕對(duì)條件下對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，而是根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格來(lái)計(jì)算期權(quán)的價(jià)格，如果市場(chǎng)是有效的，那么標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)格反映了未來(lái)上漲和下跌的概率以及風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率，這些通過(guò)無(wú)套利原理反映到期權(quán)的定價(jià)過(guò)程中。因此在期權(quán)定價(jià)中，不用再考慮標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲和下跌的實(shí)際概率。第二節(jié) 股票價(jià)格漲跌概率不影響期權(quán)的定價(jià)9期權(quán)是零和博弈，第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理10以當(dāng)前t=0時(shí)刻的1元現(xiàn)金為例，到t=T時(shí)刻的價(jià)值，不僅和時(shí)間有關(guān)，而且和所處的狀態(tài)有關(guān)。通俗地講，對(duì)于前者，如果做無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資可獲取r元的利息；

9、對(duì)于后者，在未來(lái)經(jīng)濟(jì)繁榮狀態(tài)和經(jīng)濟(jì)衰退狀態(tài)下，未來(lái)面值1元現(xiàn)金在當(dāng)前的價(jià)值是不一樣的。通常用狀態(tài)價(jià)格來(lái)表示在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。如果未來(lái)時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)格是PA ，一年后其價(jià)格要么上升到uPA ，要么下降到dPA 基本證券1在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券2恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是u，基本證券2的價(jià)格是d。 圖10-4 兩種狀態(tài)下

10、的基本證券第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理10以當(dāng)前t=0時(shí)刻的1第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理11購(gòu)買uPA 份基本證券1和dPA 份基本證券2組成一個(gè)假想的證券組合。該組合在T時(shí)刻無(wú)論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流。所以有：PA =uuPA +ddPA 或1 =uu +dd由單位基本證券組成的組合u+d在T時(shí)刻無(wú)論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報(bào)都是1元。這是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，其收益率應(yīng)該是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r，有：u +d = e-rT 解得：u=(1-de-rT)/(u-d)d=(ue-rT-1)/(u-d)決定基本證券價(jià)格的有三個(gè)因素?zé)o風(fēng)險(xiǎn)利率r，價(jià)格上升的速度u與下降的速度d。只

11、要有具備上述性質(zhì)的一對(duì)基本證券存在，我們就能夠通過(guò)復(fù)制技術(shù)，為金融市場(chǎng)上的任何有價(jià)證券定價(jià)。第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理11購(gòu)買uPA 份基本證第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理12第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理12第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理13方法二：用現(xiàn)實(shí)中的證券A和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券來(lái)復(fù)制證券B解：用份證券A和當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)值為L(zhǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)值為I的組合，其成本是：I=100+L。一年后，該組合無(wú)論市場(chǎng)價(jià)格上升還是下降，都必須與證券B的價(jià)格相同。于是有：Iu=107+Le0.02=103Id=98+Le0.02=98.5解得：=0.5L=48.52于是證券B現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)值

12、是：I=100+L=1000.5+48.52=98.52兩種方法求得的證券B價(jià)格是一致的。狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)同樣也可用于對(duì)衍生證券的定價(jià)。第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理13方法二：用現(xiàn)實(shí)中的證第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理14【例104】 仍然討論例101。在當(dāng)前t=0時(shí)刻，股價(jià)為1元， 一個(gè)月后股價(jià)有兩種可能:以1/2的概率上漲到2元，或者以1/2的概率下跌到0.5元，不妨假定利率r=0。如何確定該股票的1個(gè)月到期的歐式平價(jià)看漲期權(quán)的價(jià)格? 解：歐式平價(jià)看漲期權(quán)在到期日如果股價(jià)上漲，其收益為1，如果股價(jià)下跌，收益為0。用份該股票和當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)值為L(zhǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)值為I的組合，其成

13、本是：I=1+L。到T時(shí)，該組合無(wú)論市場(chǎng)價(jià)格上升還是下降，都與看漲期權(quán)的價(jià)格相同。于是有：Iu=2+Le0/12=1Id=0.5+Le0/12=0 解得：=2/3 L=-1/3于是看漲期權(quán)現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)值是：I=1+L=1/3第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理14【例104】 仍然15第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理15第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理16第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)(risk-neutral valuation)是衍生產(chǎn)品定價(jià)中十分重要而且非常簡(jiǎn)捷的方法。我們可以假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性(risk-neutral)的，這個(gè)假設(shè)是指面臨投資風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，投資者不需要額

14、外的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，也就是說(shuō)消除了風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界叫作風(fēng)險(xiǎn)中性世界(risk-neutral world)。當(dāng)然，我們現(xiàn)實(shí)世界不是風(fēng)險(xiǎn)中性的，投資人承受的風(fēng)險(xiǎn)越大要求的收益就越高。但是，神奇的是，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界給出的衍生產(chǎn)品的價(jià)格，不僅在風(fēng)險(xiǎn)中性世界是正確的，在現(xiàn)實(shí)世界也是正確的。這讓我們避開了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度這一無(wú)法明晰的主觀因素，大大簡(jiǎn)化了定價(jià)過(guò)程。16第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)(ris17風(fēng)險(xiǎn)中性世界的特征可以簡(jiǎn)化衍生產(chǎn)品的定價(jià)：1、標(biāo)的資產(chǎn)（如股票）的收益率期望等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；2、用于對(duì)衍生產(chǎn)品（如期權(quán)）的收益期望值貼現(xiàn)的利率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

15、。第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)具體過(guò)程如下：設(shè)q為風(fēng)險(xiǎn)中性世界股票S上漲的概率，1-q為股票下跌的概率。由（1）有：qS0u+(1-q)S0d= S0erT得到：q=(erT-d)(u-d) (10.7)這就是風(fēng)險(xiǎn)中性概率。由（2）有：衍生產(chǎn)品f的當(dāng)前價(jià)格為：f= qfu+(1-q)fde-rT17風(fēng)險(xiǎn)中性世界的特征可以簡(jiǎn)化衍生產(chǎn)品的定價(jià)：第三節(jié) 狀態(tài)18 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)有著內(nèi)在聯(lián)系，它們?cè)诒举|(zhì)上是一致的。 將未來(lái)分為上漲和下跌兩種狀態(tài)時(shí)，注意到上漲和下跌是互斥事件，它們的狀態(tài)價(jià)格之和為1，因此可以將上漲和下跌情形下的狀態(tài)價(jià)格定義為一種概率，此即是風(fēng)險(xiǎn)中性概率

16、，因?yàn)橄瞬煌瑺顟B(tài)（風(fēng)險(xiǎn)）的影響，對(duì)應(yīng)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，貼現(xiàn)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 換句話說(shuō)，因?yàn)槭袌?chǎng)是完全且無(wú)套利的，所以在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合的收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。因此，則在新定義的風(fēng)險(xiǎn)中性概率下，證券價(jià)格等于未來(lái)期望回報(bào)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理18 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)有著內(nèi)在聯(lián)系，它們?cè)诒?9第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理以【例103】為例，可以驗(yàn)算當(dāng)前t=0時(shí)刻的股價(jià)1元，剛好等于上漲行情下的回報(bào)2元乘以狀態(tài)價(jià)格（視為上漲的風(fēng)險(xiǎn)中性概率）1/3，加上下跌行情下的回報(bào)0.5元乘以狀態(tài)價(jià)格（視為下跌的風(fēng)險(xiǎn)中性概率）2/3，再按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0進(jìn)行貼

17、現(xiàn)。即：股票價(jià)格=(21/3+0.52/3)/(1+0)=1；同樣，對(duì)于期權(quán)，也有：期權(quán)價(jià)格= =(11/3+02/3)/(1+0)=1/3，如圖105所示。0.5;02;12/31/31;1/319第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理以【例103】為例20第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理對(duì)單步二叉樹來(lái)說(shuō)，記q=(erT-d)(u-d)1-q=(u-erT)(u-d) (10.5)當(dāng)0derT ，10.152，也就是說(shuō)，若股價(jià)到達(dá)該點(diǎn)則看跌期權(quán)需要提前執(zhí)行，最終計(jì)算得PA=0.08 。 美式平價(jià)看跌期權(quán)價(jià)格為0.08元，比相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價(jià)格0.06元高。29第六節(jié) 美式期權(quán)的二叉樹定價(jià)方法

18、【例104】如圖130第七節(jié) 參數(shù)u和d的選擇30第七節(jié) 參數(shù)u和d的選擇31第八節(jié) 鞅31第八節(jié) 鞅32第八節(jié) 鞅 32第八節(jié) 鞅 33第八節(jié) 鞅結(jié)論2 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，歐式期權(quán)的貼現(xiàn)價(jià)格是鞅。 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，不支付紅利的股票的貼現(xiàn)價(jià)格是一個(gè)鞅，股票和貨幣的任意投資組合的貼現(xiàn)價(jià)格都是鞅。因此，如果一個(gè)衍生證券可以通過(guò)股票和貨幣的組合來(lái)復(fù)制，則該衍生證券的貼現(xiàn)價(jià)格是鞅，利用鞅的性質(zhì)立刻可以得到衍生證券的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式。例如，我們?cè)?0.4節(jié)利用股票和貨幣的組合復(fù)制了期權(quán)，式(10.20)表明了期權(quán)的貼現(xiàn)價(jià)格是鞅，其風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式為式(10.4)。 值得一提的是，美式期權(quán)與歐式期權(quán)不同

19、，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，美式期權(quán)的貼現(xiàn)價(jià)格不是鞅，而是上鞅。因?yàn)槊朗狡跈?quán)的持有人可能會(huì)錯(cuò)過(guò)最佳的執(zhí)行時(shí)機(jī)，在此情形下，美式期權(quán)的貼現(xiàn)價(jià)格具有下降趨勢(shì)。不支付紅利的美式期權(quán)是鞅，因?yàn)樘崆皩?shí)施是不明智的。33第八節(jié) 鞅34第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn)本節(jié)以市場(chǎng)上實(shí)際交易的期權(quán)，在Matlab軟件中利用二叉樹方法計(jì)算其價(jià)格，并與市場(chǎng)報(bào)價(jià)比較。 【例105】 表101是2012年6月10日觀察的2012年7月21日到期的美國(guó)SPDR S&P 500 ETF (SPY) 期權(quán)數(shù)據(jù)，執(zhí)行價(jià)格指數(shù)為133，美國(guó)紐約證券交易所(NYSE)顯示的標(biāo)的指數(shù)SPY為133.1，一年期LIBOR美元利率為1.070

20、20%，按折算因子換算成年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為1.070 20%*365/360=1.085 1%，標(biāo)的指數(shù)的波動(dòng)率采用VIX指數(shù)，為21.23%，S&P500過(guò)去12個(gè)月的紅利率為2.06%，市場(chǎng)給出的看漲期權(quán)買賣價(jià)分別為3.27和3.21美元。表101SPY看漲看跌期權(quán)價(jià)格表34第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn)本節(jié)以市場(chǎng)上實(shí)際交易的期35利用二叉樹方法在Matlab中計(jì)算相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格，以及程序的耗時(shí)為: tic， call=LatticeEurCall(133.1，133，0.010851，1/12，0.2123，500，0.0206)，toc call = 3.2441 Elapsed tim

21、e is 0.032579 seconds.tic，put=LatticeEurPut(133.1，133 ，0.010851，1/12，0.2123，500，0.0206)，tocput =3.2522Elapsed time is 0.013202 seconds. tic，CallPrice， PutPrice= blsprice(133.1，133，0.010851，1/12，0.2123，0.0206)，tocCallPrice =3.2442PutPrice =3.2523Elapsed time is 0.017565 seconds. 第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn)35利用二

22、叉樹方法在Matlab中計(jì)算相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格，以及程36 從計(jì)算結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn):即使是多達(dá)500步的二叉樹算法，在個(gè)人電腦上運(yùn)行，耗時(shí)也非常短，只有千分之幾秒;期權(quán)的二叉樹定價(jià)結(jié)果和布萊克-斯科爾斯定價(jià)結(jié)果非常接近;歐式看漲期權(quán)二叉樹價(jià)格和布萊克-斯科爾斯價(jià)格與市場(chǎng)報(bào)價(jià)吻合得較好，落在買賣價(jià)格之間。 但是，以二叉樹和布萊克-斯科爾斯公式計(jì)算的看跌期權(quán)價(jià)格，比市場(chǎng)報(bào)價(jià)要低很多。這是否違反了無(wú)套利原理呢？并沒(méi)有。因?yàn)槎鏄浜筒既R克-斯科爾斯定價(jià)最基本的假設(shè)是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其波動(dòng)率為常數(shù)，而現(xiàn)有的研究表明標(biāo)的資產(chǎn)的實(shí)際價(jià)格并不服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，真實(shí)的尾部分布要厚得多，市場(chǎng)在下跌時(shí)的波動(dòng)

23、率也更大。 一種普遍認(rèn)可的理論解釋是，看跌期權(quán)為市場(chǎng)提供了一種保險(xiǎn)功能，所以投資者原意為此付出負(fù)的風(fēng)險(xiǎn)溢酬，參見第14章。另外，理論上看跌看漲平價(jià)公式保證看漲看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率相等，然而實(shí)際的金融市場(chǎng)中存在杠桿效應(yīng):當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格上漲時(shí)，波動(dòng)率減小;當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格下跌時(shí)，波動(dòng)率增大。由于波動(dòng)率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響為正，因此實(shí)際中看跌期權(quán)的價(jià)格比理論計(jì)算的價(jià)格要高。 第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn)36 從計(jì)算結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn):即使是多達(dá)500步的二叉樹37第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn)美式期權(quán)2012年6月10日觀察,7月10日周五失效類型執(zhí)行價(jià)SymbolLastChgBidAskVolOpen In

24、tCall605.00OEX120721C0060500014.402.04 14.1016.9079271Put605.00OEX120721P0060500014.901.7013.0015.701232【例106】表102列出了2012年6月10日觀察到的2012年7月21日到期的OEX美式期權(quán)價(jià)格信息,標(biāo)的指數(shù)為605.62,利用Matlab軟件中的美式二叉樹函數(shù)程序計(jì)算得:Amcall=LatticeAmCall(605.62,605,0.010851,1/12,0.2123,500,0.0206)Amcall=14.8728Amput=LatticeAmPut(605.62,605

25、,0.010851,1/12,0.2123,500,0.0206)Amput=14.7155可以看出,美式平價(jià)期權(quán)二叉樹計(jì)算的價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格吻合得較好,即使是看跌期權(quán)。有興趣的讀者可以思考其中原因。表102OEX看漲看跌期權(quán)價(jià)格表37第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn)美式期權(quán)2012年6月138第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn) 自2015年2月9日起，我國(guó)上交所掛牌交易上證50ETF期權(quán)合約。上證50ETF期權(quán)的合約標(biāo)的為“上證50交易型開放式指數(shù)證券投資基金”。 這里運(yùn)用二叉樹程序計(jì)算的價(jià)格和上述市場(chǎng)報(bào)價(jià)非常接近，但并沒(méi)有完全落在買賣報(bào)價(jià)之間，存在少量的誤差。原因可能在于，這里使用的波動(dòng)率是上

26、交所測(cè)算的期權(quán)隱含波動(dòng)率，它是從很多當(dāng)期期權(quán)價(jià)格提煉合成的，但對(duì)具體某一支期權(quán)而言，波動(dòng)率存在誤差，一種替代方法是運(yùn)用歷史波動(dòng)率；其次，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率運(yùn)用的是當(dāng)天的SHIBOR年利率3.712%，和真實(shí)市場(chǎng)中認(rèn)可的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率有誤差；紅利率運(yùn)用的是最近一期的單位份額分紅數(shù)據(jù)推算出來(lái)的，1.82%；當(dāng)然，市場(chǎng)的流動(dòng)性和成熟程度也對(duì)價(jià)格有一定的影響。讀者有興趣請(qǐng)自己動(dòng)手計(jì)算一下模型價(jià)格和市場(chǎng)報(bào)價(jià)，便可明白這里面的差異?？偭拷灰谞顟B(tài)賣價(jià)買價(jià)漲幅%購(gòu)沽漲幅%買價(jià)賣價(jià)總量30962連續(xù)0.10520.1048-19.412.500048.080.02580.02606675875951連續(xù)0.06780.0675-23.892.550036.310.04440.044586984150217連續(xù)0.04330.0431-27.112.600031.810.06990.0702101067表10-3 期權(quán)T型報(bào)價(jià)行情 2018年8月1日星期三14：00左右的盤中價(jià)格。38第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實(shí)現(xiàn) 自2015年2月9日39 二叉樹