高職專升本第二章導(dǎo)數(shù)其應(yīng)用習(xí)題

1、(圓滿版)高職專升本第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題及答案(圓滿版)高職專升本第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題及答案13/13(圓滿版)高職專升本第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題及答案應(yīng)用數(shù)學(xué)習(xí)題集第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一.選擇題1若f(x)在x0處可導(dǎo)，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（D）。Af(x)在x0處有極限；Bf(x)在x0處連續(xù)；Cf(x)在x0處可微；Df(x)limf(x)必成立。xx2若f(x)在x0處可導(dǎo)，則（B）是錯(cuò)誤的。(02-03電大試題)A函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義；Blimf(x)A，但Af(x0)；xx0C函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)；D函數(shù)f(x)在x0處可微。3f(x)在x0處不連續(xù)，則f(x)在x0

2、處（A）A必不可以導(dǎo)；B有時(shí)可導(dǎo)；C必?zé)o定義；D必?zé)o極限。4函數(shù)f(x)=|2x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)（D）。A等于0；B等于2；C等于-2；D不存在。5函數(shù)f(x)=|sinx|在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)（D）。A等于-1；B等于0；C等于1；D不存在。6yln|x|，則y=（B）。A1；B1；C1；D1。|x|xx|x|7曲線y=sinx在點(diǎn)(0,0)處的切線方程是（C）。Ay=2xBy1xCy=xDy=-x28f(x)xcosx，則f(x)=（D）。(02-03電大試題)Acosx+xsinxBcosx-xsinxC2sinx+xcosxD-2sinx-xcosx9函數(shù)中在1，e上滿足Lagrang

3、e定理?xiàng)l件的函數(shù)是（B）。Ay=ln(lnx)；By=lnx；Cy=1；Dy=ln(2-x)。lnx10若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，Lagrange定理的結(jié)論是最少存在一點(diǎn)，使（A）。1Af()f(b)f(a)；Bf()；baf(b)f(a)。Cf(b)f(a)f()(ba)；Df()11f(x0)0，則x0是函數(shù)f(x)的（D）。(02-03電大試題)A.極大值點(diǎn)；B.最大值點(diǎn)；C.極小值點(diǎn)；D.駐點(diǎn)。12x0是連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極小值點(diǎn)，則（C）。A必有f(x0)0；Bf(x0)必不存在；Cf(x0)0或f(x0)不存在；Dx(a,b)時(shí)，必有f(x)f(x

4、0)。13y=arctanex，則dy=（C）。Aex；B1；Cexdx；Ddx。1e2x1e2x1e2x1e2x14設(shè)f(x)xcosx2，則f(x)=（C）。A1-sinx2；B1+sinx2；C1-sinx22x；D(1-sinx2)2x。15設(shè)f(t)t，則f(t)=（B）。t21A1；Bt21；C3t21；Dt21。2t(t21)2(t21)2t2116limaxxa(a0)的值是（D）。xaxaA0；B1；C；Daa(lna1)。17若x1與x2分別是函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的一個(gè)極大點(diǎn)和一個(gè)極小點(diǎn)，則（D）必成立。Af(x1)f(x2)；Bf(x1)f(x2)0；C對(duì)x(a,b

5、)，fxf(x1)，f(x)f(x2)；Df(x1)、f(x2)可能為0，也可能不存在。()18若limf(x)f(x0)1，則f(x0)必然是f(x)的（D）。(xx0)2xx0A最大值；B極小值；C最小值；D極大值。二.填空題：1已知f(x)=lnx，則lim0ln(xx)lnx=1。xxx22若函數(shù)yln3，則y=0。3曲線y=x3+4在點(diǎn)(0,4)處的切線平行于x軸。4拋物線y=x2在點(diǎn)(1/2,1/4)處的切線的傾斜角是45。5已知f(x)=xsinx，則f()=2。6方程exyxy所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy=y。dxx7若函數(shù)f(x)在x=0處可微，則limf(x)=f(0)。x08

6、dln(sinx)=cotxdx。9dln(cosx)=tanxdx。10d(sinex)excosexdx。11半徑為x的金屬圓片，面積為S(x)。加熱后半徑伸長(zhǎng)了x，應(yīng)用微分方法求出SS(x)x。12limlnx0。exx13函數(shù)y=arctan(x2+1)的遞加區(qū)間是(0,)。14函數(shù)y=ln(2x4+8)的遞減區(qū)間是(,0)。15函數(shù)y=sinx-x在其定義域內(nèi)的單調(diào)性是單調(diào)減少。16極值存在的必要條件：若是f(x)在點(diǎn)x0處獲取極值且在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)0。17若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)f(x)0，則函數(shù)的最小值為f(b)。18設(shè)函數(shù)yf(x)二階可導(dǎo)，若f(

7、x0)0、f(x0)0，則f(x0)是f(x)的極大值。19已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)802q，則產(chǎn)量q50時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本為3.6。20微分近似計(jì)算函數(shù)值公式f(xx)f(x)f(x)x。三、解答題：1求函數(shù)y11的導(dǎo)數(shù)。x1x1解：由于y1x12，所以11x1x3y2(1)2。(1x)2(1x)22求函數(shù)ylnx的導(dǎo)數(shù)。sinx(lnx)sinxlnx(sinx)1sinxlnxcosxxlnxcosx解：yxsinxsin2xsin2x。xsin2x3求函數(shù)yxexcosx的導(dǎo)數(shù)。解：yexcosxxexcosxxexsinxex(cosxxcosxxsinx)。求方程解：

8、曲線x2在點(diǎn)(3,9)處的切線方程。yx2在點(diǎn)(3,9)處的切線的斜率為yx2在點(diǎn)(3,9)處的導(dǎo)數(shù)由于y|x32x|x36，所以切線的方程為y96(x3)即6xy905求函數(shù)ysin2xcos2x的導(dǎo)數(shù)。解：y2sinx(sinx)cos2xsin2x(sin2x)22sinxcosxcos2x2sin2xsin2x2sinx(cosxcos2xsinxsinx2x)2sinxcos3x。6求函數(shù)ylntanx的導(dǎo)數(shù)。12x111解：ysec2x。x22xsinxtan2sincos2227求函數(shù)y1的導(dǎo)數(shù)。cosnxnsinx解：y(cosnx)ncosn1x(cosx)。cosn1x8利

9、用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y(cosx)sinx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lnysinxlncosx兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得4ycosxlncosxsinxysinxcosxyy(cosxlncosxsinxtanx)(cosx)sinx(cosxlncosxsinxtanx)。9利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y(sinx)lnx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lnylnxlnsinx兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得y1lnsinxlnxcosxyxsinxyy1lnsinxlnxcotx(sinx)lnx1lnsinxlnxcotxxx10求方程xyyx所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy。dx解：兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ylnxxlny兩邊對(duì)x求

10、導(dǎo)，得ylnxy1lnyxyxy整理，得dyy(xlnyy)dxx(ylnx。x)11求方程arctanylnx2y2所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy。xdx解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得1yxy12x2yy1y2x2x2y22x2y2x整理，得dyxydxx。y12求方程xeyyex所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy。解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得dxeyxeyyyexyex5整理，得己知函數(shù)dyeyyexdxexxeyyxex，求y(n)。解：由于yexxexex(x1)，yex(x1)exex(x2)，yex(x2)exex(x3)，所以，y(n)ex(x)n14已知y(n2)x，求y(n)。lnxlnxx1解：y(n1)x

11、lnx1，ln2xln2x1ln2x(lnx1)2lnx12lnxy(n)xxln4x。xln3x15求函數(shù)yarcsinx的微分。解：dyd(arcsinx)1d(x)dx12。xx(1x)16求函數(shù)yecotx的微分。解：dyd(ecotx)ecotxd(cotx)ecotxcsc2xdx。17半徑為10cm的金屬圓片，加熱后半徑伸長(zhǎng)了0.05cm，求所增加面積的精確值與近似值。解：S(rr)2r22rr(r)2，dSd(r2)2rdr。當(dāng)r10，drr0.05時(shí)，S1.0025，dS。即增加面積的精確值為1.0025，近似值為。18判斷函數(shù)f(x)lnx在區(qū)間1,e上可否滿足Lagran

12、ge定理？若是滿足就求出定理中的。解：由于f(x)lnx是初等函數(shù)，f(x)在其定義域(0,)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)在區(qū)間1,e上連續(xù)，在區(qū)間(1,e)內(nèi)可導(dǎo)，滿足Lagrange定理?xiàng)l件。所以在區(qū)間(1,e)內(nèi)最少存在一點(diǎn)，使得f()1lneln11e1e16即e1。19利用LHospital法規(guī)求極限limxlnx。xlnxxlnx11解：lim型limxxxlnxx1lnxxxx1型lim1。lim0 xxlnxxxlnx220利用LHospital法規(guī)求極限limlntan5x。x0lntan8x解：limlntan5x型0lntan8x1sec25x55limsin16x516li

13、mtan5x1x0128x0sin10 x810tan8xsec8x821利用LHospital法規(guī)求極限limxx。x0解：limxxlimxlnxlimexlnxex0，x0 x0lnx1由于limxlnxlim型limxlimx0，1x0 x0 x01x0 xx2所以limxxe01。x022求函數(shù)yexx1的單調(diào)區(qū)間。解：令yex10，解得駐點(diǎn)x0，x0把定義域(,)分成(,0)和(0,)兩個(gè)子區(qū)間。列表x(,0)0(0,)x-0+f(x)-0+f(x)由表可知：函數(shù)f(x)在(,0)內(nèi)遞減，在(0,)內(nèi)遞加。23求函數(shù)yx2lnx的極值點(diǎn)和極值。711解：令y2xlnxx2x(2ln

14、x1)0，解得x0或xe2。由于x0不在函數(shù)的定義域x111(0,)內(nèi)，舍去；xe2把(0,)分成0,e2和e2,兩個(gè)子區(qū)間。列表111x0,e2e2,e22lnx1-0+f(x)-0+極小值f(x)12e11由表可知：當(dāng)xe2時(shí)，函數(shù)有極小值1。yxe22e24求函數(shù)y2x2x4的極值點(diǎn)和極值。解：令4x4x34x(1x2)4x(1)(1x)0，解得x0和x1。駐點(diǎn)x0和x1yx把函數(shù)的定義域(,)分成(,1)，(1,0)，(0,1)和(1,)四個(gè)子區(qū)間。列表x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)1xx-0+0+-+1x+0-f(x)+0-0+0-f(x)極大值極小值極大值101由表可

15、知：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極小值y0；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值y1。25求函數(shù)f(x)xln(1x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：Qf(x)xln(1x)x(1,)f(x)11由f(x)=0，知x=01xx(1,0)0(0,)y08y0Zf(x)的單調(diào)下降區(qū)間為（-1，0），上升區(qū)間為(0,)f(x)的極小值f(0)026若f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證f(x)是偶函數(shù)。證：因f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，知f(x)f(x)，求導(dǎo)，有f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，即f(x)是偶函數(shù)。H27考據(jù)Lagrange中值定理對(duì)函數(shù)yax2bxc(a0)所求得的點(diǎn)恒在正中間。解：函數(shù)yax2bxc(a0)在任意一個(gè)區(qū)間

16、m,n上連續(xù)，在(m,n)內(nèi)可導(dǎo)，所以在(m,n)內(nèi)最少存在一點(diǎn)使f(n)f(m)f()mn由已知條件：f(n)f(m)(an2bnc)(am2(nm)a(nm)bf(n)f(m)a(nm)bnmf()2ab于是2aba(mn)b即mn2求曲線y6x24x2x4的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解：y6x24x2x4xRy648x4x3y4812x212(x24)由y0知x2x,222,22y0-0y9268bmc)2,+9所以曲線fx的凹區(qū)間,22,所以曲線fx的凸區(qū)間2,2拐點(diǎn)2,292,6829.求曲線yxex的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解：yexxexyexe所以yexx2由于y0 x,22y-0y2exex22,

17、2所以曲線fx的凹區(qū)間2,所以曲線fx的凸區(qū)間,2拐點(diǎn)2,2e230.求曲線yx44x32x5的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解：y4x312x212y12x224x由y12xx20知：x10 x22x,000,222,y+0-0+y517所以曲線fx的凹區(qū)間,02,所以曲線fx的凸區(qū)間0,2拐點(diǎn)0,52,1731.求函數(shù)y1x35x24x在區(qū)間-1，2上的最值。32解yx25x4(x1)(x4)令y0，求得區(qū)間-1，2上的駐點(diǎn)x1。10由于f(1)41,f(1)11,f(2)2，所以函數(shù)的最大值為f(1)11，最小值為41。6636f(1)632.設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵絲，現(xiàn)將其分為兩段，分別構(gòu)造成圓形和正方形

18、。若記圓形的面積為S1,正方形的面積為S2，求證：當(dāng)S1+S2最小時(shí)，S1。S24證：設(shè)圓的半徑為x，正方形的邊長(zhǎng)為y。由已知2x4yL所以yLx。所以42L22L2f(x)S1S2x2y2x2xx2Lx，(0 xL)4244162f(x)2xL44令f(x)0得唯一駐點(diǎn)xL82L2這時(shí)，S1x282。y22S2LL4428233.某窗戶的形狀為半圓置于矩形之上，若此窗框的周長(zhǎng)為必然值L，試確定半圓的半徑r和矩形的高h(yuǎn)，試所能經(jīng)過(guò)的光輝是充分的。解：設(shè)半圓的半徑為r，矩形的高為h，則由題意，得Lr2r2hhLr2r2s1r22hr1r2(Lr2r)rLr1r22r2222令sLr4r0得rL434要做一個(gè)上下均有底的圓柱形容器，容積是常量V。問(wèn)底半徑r為多大時(shí)，容器的表面積最??？并求出此最小面積。解：設(shè)半圓的半徑為r，矩形的高為h，則由題意得：Vr2hhVr211S2rh2r22rV2r22V2r22Vr2r令S4r0,得r2r3V2(3V2此時(shí)S有最小值，即S2V2)26(V)33V222將一根定長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵絲