圓錐曲線中定點和定值問題解題方法

1、v1.0可編寫可改正寒假文科加強（四）：圓錐曲線中的定點和定值問題的解答方法【基礎(chǔ)知識】1、對知足必定條件曲線上兩點連接所得直線過定點或知足必定條件的曲線過定點問題，設(shè)該直線（曲線）上兩點的坐標，利用坐標在直線（或曲線）上，成立點的坐標知足的方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），而后再利用直線（或曲線）過定點的知識加以解決.2、在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)沒關(guān)，這就組成了定值問題，解決這種問題一種思路是進行一般計算推理求出其結(jié)果；另一種是經(jīng)過考察極端地點，研究出“定值”是多少，而后再進行一般性證明或計算，馬上該問題波及的幾何式轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)式或三角形式，證明該式是恒定的.假如試題以客觀題形式出現(xiàn)

2、，特別方法常常比較見效.題型一：定點問題法一：特別研究，一般證明；法二：設(shè)該直線（曲線）上兩點的坐標，利用點在直線（曲線）上，成立坐標知足的方程（組），求出相應(yīng)的直線（曲線），而后再利用直線（曲線）過定點的知識加以解決。例1設(shè)點A和B是拋物線?SkipRecordIf.?上原點之外的兩個動點，且?SkipRecordIf.?，求證直線?SkipRecordIf.?過定點。解：取?SkipRecordIf.?寫出直線?SkipRecordIf.?的方程；A再取?SkipRecordIf.?寫出直線?SkipRecordIf.?的方程；最后求出兩條直線的交點，得交點為?SkipRecordIf.?

3、。O設(shè)?SkipRecordIf.?，直線?SkipRecordIf.?的方程為?SkipRecordIf.?，由題意得?SkipRecordIf.?兩式相減得?SkipRecordIf.?，即?SkipRecordBIf.?，?SkipRecordIf.?直線?SkipRecordIf.?的方程為?SkipRecordIf.?，整理得?SkipRecordIf.?又?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?1v1.0可編寫可改正?SkipRecordIf

4、.?直線?SkipRecordIf.?的方程為?SkipRecordIf.?把?SkipRecordIf.?代入直線?SkipRecordIf.?得方程恒成立，因此直線?SkipRecordIf.?過定點?SkipRecordIf.?解：由上得?SkipRecordIf.?又?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?代入得?SkipRecordIf.?，整理得?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?直線?SkipRecordIf.?過定點?S

5、kipRecordIf.?【變式操練1】已知橢圓?SkipRecordIf.?的中心在座標原點，焦點在?SkipRecordIf.?軸上，橢圓?SkipRecordIf.?上的點到焦點距離的最大值為?SkipRecordIf.?，最小值為?SkipRecordIf.?（）求橢圓?SkipRecordIf.?的標準方程；（）若直線?SkipRecordIf.?與橢圓?SkipRecordIf.?訂交于?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?兩點（?SkipRecordIf.?不是左右極點），且以?SkipRecordIf.?為直徑的圓過橢圓?SkipRecordIf.?的右

6、極點，求證：直線?SkipRecordIf.?過定點，并求出該定點的坐標2v1.0可編寫可改正題型二定值問題（1）經(jīng)過考察極端地點，研究出“定值”是多少，而后再進行一般性證明或計算，馬上該問題波及的幾何式轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)式或三角形式，證明該式是恒定的.解題方法假如試題以客觀題形式出現(xiàn)，特別方法常常比較見效（2）進行一般計算推理求出其結(jié)果。.例2：過拋物線?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?（?SkipRecordIf.?0）的焦點?SkipRecordIf.?作直線?SkipRecordIf.?交拋物線于?SkipRecordIf.?兩點，若線段?SkipRecordIf.

7、?與?SkipRecordIf.?的長分別為?SkipRecordIf.?，則?SkipRecordIf.?的值必等于（）A?SkipRecordIf.?B?SkipRecordIf.?C?SkipRecordIf.?D?SkipRecordIf.?拋物線?SkipRecordIf.?（?SkipRecordIf.?0）的焦點?SkipRecordIf.?，準線?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?又由?SkipRecordIf.?，消去?SkipRecordIf.?得?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?，?3?圖v1.

8、0可編寫可改正?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?例3B是經(jīng)過橢圓x2y21.(ab0)右焦點的任一弦，若過橢圓中心的弦MN/AB，a2b2求證：|MN|2：|AB|是定值分析：對于此題，MN,AB分別為中心弦和焦點弦，可將其傾斜角退到0，此時有|MN|24a2，|AB|2a,|MN|2:|AB|2a（定值）下邊再證明一般性設(shè)平行弦MN、AB的傾斜角為，則斜率ktan，MN的方程為y(tan)x代入橢圓方程，又|MN|(1k2)|x1x2|即得|MN|24a2b21AB方程為ytan(xc)同理可得b2c2sin2，另一方面，直線22ab221222a（定值）|AB|b2

9、c2sin2由可知|MN|:|AB|對于式也可直接由焦點弦長公式獲得例4設(shè)上的兩點，已知向量，,若mn=0且橢圓的離心率短軸長為2，為坐標原.()求橢圓的方程；（）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（）試問：AOB的面積能否為定值假如是，請賜予證明；假如不是，請說明原因.【答案】解：（）由題意知橢圓的方程為4v1.0可編寫可改正（）由題意，設(shè)AB的方程為由已知得：()（1）當直線AB斜率不存在時，即,由mn=0得又在橢圓上，因此，因此S=因此三角形AOB的面積為定值（2）.當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+b,由5v1.0可編寫可改正因此三

10、角形的面積為定值.【高考優(yōu)選傳真】1（2012年江蘇省16分）如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓x2y21(ab0)的左、a2b2右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)已知(1，e)和e，3都在橢圓上，此中e為橢圓的離2心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于P【分析】（1）由題設(shè)知，a2=b2c2，e=c，由點(1，e)在橢圓上，得a12e21c2222b222b22=1，2=a21。a2b21a222=1bc=aa=abcab由點e，3在橢圓上，得2223322222e1c1a131a44a24=0a2=2b2

11、1a2a4a44橢圓的方程為x221。2y6v1.0可編寫可改正（2）由（1）得F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，又AF1BF2，設(shè)AF1、BF2的方程分別為my=x1，my=x1，Ax1，y1，Bx2，y2，y10，y20。注意到m0，m=22直線AF1的斜率為=m2（ii）證明：AF1BF2，PBBF2，即PB1BF21PBPF1BF2AF1。PF1AF1PF1AF1PF1AF1AF1BF1PF1=BF2AF12.【2012高考真題上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐標系?SkipRecordIf.?中，7v1.0可編寫可改正已知雙曲線?SkipRecordIf.?：?SkipRe

12、cordIf.?1）過?SkipRecordIf.?的左極點引?SkipRecordIf.?的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及?SkipRecordIf.?軸圍成的三角形的面積；2）設(shè)斜率為1的直線?SkipRecordIf.?交?SkipRecordIf.?于?SkipRecordIf.?、?SkipRecordIf.?兩點，若?SkipRecordIf.?與圓?SkipRecordIf.?相切，求證：?SkipRecordIf.?；（3）設(shè)橢圓?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?，若?SkipRecordIf.?、?SkipRecordIf.?分別是?

13、SkipRecordIf.?、?SkipRecordIf.?上的動點，且?SkipRecordIf.?，求證：?SkipRecordIf.?到直線?SkipRecordIf.?的距離是定值.yxb，得x22bxb210.由y212x2設(shè)(1,y1)、(2,y2)，則x1x22b.（lbylfx）PxQxx1x2b21又2，因此OPOQxx2yy2xxb(xx)b211212122(b21)b2bb2b220，8v1.0可編寫可改正設(shè)O到直線MN的距離為d，由于(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，1113k233，即d=3因此d2|OM|2|ON|2k213.綜上，O到直線MN的距

14、離是定值.3、（2012高考真題福建理19）如圖，橢圓E:x2y21(ab0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e1。過F1a2b22的直線交橢圓于A,B兩點，且ABF2的周長為8。（）求橢圓E的方程。（）設(shè)動直線l:ykxm與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x4訂交于點。嘗試究：在座標平面內(nèi)能否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明原因。（）設(shè)ca2b2則ec1a2c3a24b2a2ABAF2BF28AF1AF2BF1BF28ABF2的周長為8a2,b3,c14a9v1.0可編寫可改正22橢圓E的方程為xy143【反應(yīng)訓(xùn)練】1過拋物線y22px(

15、p0)上必定點M(x0，y0)(y00)，作兩條直線分別交拋物線于Ax1，y1)、Bx2，y2)，當MA與MB的斜率存在且傾斜角互補時，則y1y2等(y0于()A2B2C4D42設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y22px(p0)上的兩點，而且知足OAOB，y1y2等于()p2Bp2A43C2p2Dp210v1.0可編寫可改正4、過點M(p,0)任作一條直線交拋物線y2=2px(p0)于P、Q兩點,則+的值為（）A.B.C.D.5、橢圓=1(ab0)上兩點A、B與中心O的連線相互垂直，則的值為（）A.B.C.D.6、已知F1、F2是兩個定點，點P是以F1和F2為公共焦點的橢圓和雙曲線

16、的一個交點，而且PF1PF2，e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有（）A.+=4B.+=2+e22=4+e22=27、已知定點?SkipRecordIf.?在拋物線?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?（?SkipRecordIf.?0）上，動點?SkipRecordIf.?且?SkipRecordIf.?求證：弦?SkipRecordIf.?必過必定點8、設(shè)?SkipRecordIf.?為拋物線?SkipRecordIf.?上位于?SkipRecordIf.?軸雙側(cè)的兩點.O為坐標原點.A(1)若?SkipRecordIf.?證明直線AB恒過一個定點;(2)

17、若?SkipRecordIf.?,證明直線AB恒過一個定點。OB11v1.0可編寫可改正【變式操練詳盡分析】【變式操練1詳盡分析】12v1.0可編寫可改正由于以?SkipRecordIf.?為直徑的圓過橢圓的右焦點?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，即?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?【變式操練2詳盡分析】解：（）由題意知橢圓的方程為（）由題意，設(shè)AB的方程為13v1.0可編寫可改正得又在橢圓上，因此，因此S=因此三角形AOB的面積為定值（2）.當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的

18、方程為y=kx+b,由14v1.0可編寫可改正因此三角形的面積為定值.【反應(yīng)訓(xùn)練詳盡分析】22y1y22代入得2p2py1y20，解得y1y24p.3、【分析】此題可用特別值法不如設(shè)弦AB為橢圓的短軸M為橢圓的右極點，則A，b，B，b，Ma，0)因此應(yīng)選(0)(0)(B4、【分析】不如取PQx軸,則P(p,p),Q(p,-p),|MP|=p,|MQ|=p.+=.5、【分析】則=.假定A、B為橢圓的長軸和短軸的極點，清除選項A、B、C，選D.6、【分析】設(shè)橢圓長軸長為2a1,雙曲線實軸長為2a2,焦距均為2c,15v1.0可編寫可改正|PF|=a1+a,|PF|=a-a2.2211PF1與PF2

19、垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.2-a)22222+=2.112212?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?式可化為?SkipRecordIf.?，即?SkipRecordIf.?將代入得，?SkipRecordIf.?直線?SkipRecordIf.?方程化為：?SkipRecordIf.?16v1.0可編寫可改正直線?SkipRecordIf.?恒過點?SkipRecordIf.?8、【分析】1、（1）解:?SkipRecordIf.?即?SkipRecordIf.?.因此過定點(1,0).（2）由于?SkipRecordI

20、f.?,得?SkipRecordIf.?因此?SkipRecordIf.?直線AB過定點(2P,0).且有?SkipRecordIf.?拋物線方程為?SkipRecordIf.?因此過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?因此?SkipRecordIf.?為定值，其值為0.10、【分析】xMm,Ax1y1Bx2假定在，使MAMB軸上存在點(0)為常數(shù)設(shè)(，)，(，y2)當直線AB與x軸不垂直時，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，將yk(x1

21、)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.17v1.0可編寫可改正k44(3k21)(3k25)0，366k2x1x23k21，23k513、設(shè)橢圓E:x2y21（a,b0）過M（2，2），N(6,1)兩點，O為坐標原點，（I）a2b2求橢圓E的方程；（II）能否存在圓心在原點的圓，使得該圓的隨意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且OAOB若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明原因。解:（1）由于橢圓E:x2y21（a,b0）過M（2，2），N(6,1)兩點,a2b218v1.0可編寫可改正42111a28橢圓E的方程為x2y2因此a2b2解得a28因此161111b2484a2b2b24（2）假定存在圓心在原點的圓，使得該圓的隨意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且ykxmOAOB,設(shè)該圓的切線方程為ykxm解方程組x2y2得x22(kxm)28,841即(12k2)x24kmx2m280,則=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240 x1x24km12k2228)2228k2,yy12(kx1m)(kx2m)2xx12kmx(1x2)2k(2m4km2m要2m28km212k2m12x1x212k2k12k2使OAOB,需使x1x2y1y20,即2m