空間幾何向量法之點(diǎn)到平面的距離-向量點(diǎn)到面

1、空間幾何向量法之點(diǎn)到平面的距1要求一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，可以分為三個(gè)步驟：找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任意一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；求出該平面的法向量；求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，這 就是該店到平面的距離。AB n例子：點(diǎn)A到面a的距離d = （注：AB為點(diǎn)A的斜向量，n是a面的法向量，n點(diǎn)B是面a內(nèi)任意一點(diǎn)。）求立體幾何體積（向量法）體積公式：1、柱體體積公式：V = Sh2、椎體體積公式：V = ! S.h 4 3、球體體積公式：V = n R3課后練習(xí)題例題：在三棱錐BACD中，平面ABD平面ACD，若棱長(zhǎng)AC=CD=AD=AB=1，且ZBAD=300, 求點(diǎn)D到

2、平面ABC的距離。要求平面a外一點(diǎn)P到平面a的距離，可以在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)A，則點(diǎn)P到平面a的距離即為d=PA | - IPA n I = IPA nI PA I-I n II n I建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則 A （ 2,0,0 ）， B （二，。，： ）， C （ 023,0 ）， D （ 2,0,0）.l,:.AC =（多,0）, AB =（胃,0,2）, DC = （-寸,0）設(shè) = (x,y,z)為平面儀的一個(gè)法向量，則: AB =號(hào)X + ： = 0n AC = 2 x + : y = 0y = -：x,z fx，可取 =m為d代入I DC n II n I 得，d =土1 = 3

3、9, ，一 ，-K I39，即點(diǎn)D到平面ABCd代入I DC n II n I 得，d =土1 = 39, ，一 ，-K I39，即點(diǎn)D到平面ABC的距離是節(jié)9。1-已知 A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空間不共面的四點(diǎn)，求點(diǎn)D到平面ABC的距離.解：設(shè)n = 3,y,z)是平面ABC的一個(gè)法向量，則由nAB = 0及nBC1 = 0,得-2x - 2y + z = 02x + 2y + 5z = 0DAnd=49 49而=1T2y = x32 ，取x=3,得n = (3,2,-2)，于是點(diǎn)D到平面ABC的距離為z = 一一 x32.已知四邊形ABC

4、D是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB和AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD, 且 GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離.解：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，A GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2), be =(2,0,0).設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n = 3,y,z)，則由圖Nn,GE = 0 及 n.GF = 0，得2x+4y - 2z = 04x + 2y - 2z = 0 x=y一c，取y=1，得n = (1,1,3)，于是點(diǎn)B到平面EFG的距離為d= ；z = 3ynJ1111BE,n3.在

5、棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A BCD中，求點(diǎn)C到平面A BD的距離。111111解：建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A1 (1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0,1,1).設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n = 3,y,z)，則由nDA = 0及nDB = 0，得x + z = 0nx + y = 0z=-x_C Dn2 2/3，取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是點(diǎn)C1到平面A1 BD的距離為d= = J3 = 3 .如圖 4,四面體 ABCD 中，O、E 分別是 BD、BC 的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2, AB=AD=A zAL囹42，求點(diǎn)E到平面ACD的距離

6、.解：由題設(shè)易知AOBD，OCBD，AOA=1，OC=V3，.OA2 +OC2 =AC2，.匕AOC=90，即 OAOC.以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, v3 ,0),D(-1,0,0),二1思 =3 君e(5，_，。)，ad =(-1,0,-1), AC =(0, 3 ,-!), ED =(-5 ,，).乙 匕2 匕設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n = 3, y, z)，則由n AD = 0及 AC =。，得x + z = 03y - z = 0 x=-zx/3，取z=*3得n =(-總,1, 3

7、)，于是點(diǎn)E到平面ACD的距離為d=y=z3EDn21EDnT5-如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ZABC=90, AB=BC=AA1=2, M、N 分別是A、BC1的中點(diǎn)(I )求證：BC1 平面 A1B1C；求證： 切平面A1ABB1；求三棱錐MBC1B1的體積.(I )VABC-A1B1C1 是直三棱柱，.BB11 平面 A1B1C1，AB1BA1B1.T7 D I J D J n I VA76=f 0廠廠 O 口廠 I A O 又 BC 1 _LAB， AB _L 平面 BCC B，. BC LAB .VBB1 = CB=2，ABC1B1C，ABC1 平面 A1B1C.又 A1Bu 平面A1ABB1，MN。平面 A1ABB1，.切平面A1ABB1.(Ill)取又 A1Bu 平面A1ABB1，MN。平面 A1ABB1，.切平面A1ABB1.(Ill)取C1B1中點(diǎn)丑，連結(jié)MH.:M是A1C1的中點(diǎn)，.MH A1B1，又A1B1平面BCC1B1,：.MHL平面BCC1Bl，MH是三棱錐M-BC1B1的高，.三棱錐 M-BCB 的體積 V = - * S，MH = - x - x 4 x 1 =-1 13 海菖3 236-如圖，在三棱柱 ABC-ABC 中，ACBC, AB1 BE：AC = BC = BB1= 2, D為 AB 中點(diǎn)，且CD 1 DA(1)求證：B