空間幾何知識(shí)總結(jié)和題型總結(jié)

1、空間幾何（一）空間幾何的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖一、空間幾何體結(jié)構(gòu)1.幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形長(zhǎng)方體底面和側(cè)面都是矩形；正方體棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形棱柱、棱錐、棱臺(tái)的基本概念和主要性質(zhì)名稱棱柱直棱柱正棱柱圖形矛有J-.O定義有兩個(gè)面互相平 行，而其余每相 鄰兩個(gè)面的交線 都互相平行的多 面體側(cè)棱垂直于底面 的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對(duì)角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的 截面的形狀與底面全等的多 邊形與底面全等的多 邊形與底面全等

2、的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺(tái)正棱臺(tái)圖形AAO定義有一個(gè)面是多邊 形，其余各面是 有一個(gè)公共頂點(diǎn) 的三角形的多面 體底面是正多邊形用一個(gè)平行于棱 錐底面的平面去 截棱錐，底面和 截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺(tái)側(cè)棱相交于一點(diǎn)但不 一定相等相交于一點(diǎn)且相 等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)J八、側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角 形梯形全等的等腰梯形對(duì)角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截 面形狀與底面相似的多 邊形與底面相似的正 多邊形與底面相似的多 邊形與底面相似的正 多邊形其他性質(zhì)高過(guò)底面中心； 側(cè)棱與底面、側(cè) 面與底面、相鄰 兩側(cè)面所成角都 相等兩底中心連線即 高；側(cè)棱與底面、

3、側(cè)面與底面、相 鄰兩側(cè)面所成角 都相等圓柱，圓錐，圓臺(tái)和球（旋轉(zhuǎn)體）（1）圓柱：由矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而得。（2）圓錐：由直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)而得（3）圓臺(tái)：由直角梯形繞其直角腰旋轉(zhuǎn)而得（4）球：由半圓或圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)所得直觀圖（斜二測(cè)畫(huà)法的步驟:平面圖形）（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點(diǎn).畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x軸或y軸，使它確定的平面表示水平平面.（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x軸 或y軸的線段.（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于y軸 的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.總結(jié)：（1）特點(diǎn)：橫同、豎半、平

4、行性不變（2）關(guān)鍵：確定各個(gè)頂點(diǎn)的位置二、幾何體的三視圖正視圖：反映了物體的高度和長(zhǎng)度側(cè)視圖：反映了物體的高度和寬度俯視圖：反映了物體的長(zhǎng)度和寬度注：三視圖之間的投影規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等畫(huà)幾何體的三視圖時(shí)，能看得見(jiàn)的輪廓線或棱用實(shí)線表示，不能看得見(jiàn)的輪廓線或棱用虛線表示三、幾何體的表面積和體積公式（1）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，（1）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，hS_ 1沈正棱錐側(cè)面積2為斜高，l為母線）直棱柱側(cè)面積cs正棱臺(tái)側(cè)面積2 （Ci+匕）”S圓錐側(cè)面積 n譏S= （r+踮 l圓臺(tái)側(cè)面積S圓臺(tái)表S圓柱側(cè)=由rh圓錐表一尸1 + )=兀 V2 +

5、 rl + Rl + rMS圓柱表=2兀r (r + l)（2）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式扁=1 Sh 扁=1 Sh 錐3V = 4( S + 有且只有一個(gè)平面a, 使 Aa BEa、CEa。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：PEaCB =aCB=L,且PEL 公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).二、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:相交直線:平行相交直線:平行直線:同一平面內(nèi)，同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。

6、2 |公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行: 符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線aabcb =a c強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 |等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)_一 n.注： 兩條異面直線所成的角。（0，y）；當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作ab；兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。三、空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：1.

7、線面平行2.線面相交3.線在面內(nèi)1.線面平行2.線面相交3.線在面內(nèi)（三）平行關(guān)系一、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與 此平面平行。簡(jiǎn)記為:線線平行，則線面平行。2直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平 面的交線與該直線平行。|簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行。3、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面 平行。簡(jiǎn)記為:線面平行則面面平行。4、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。簡(jiǎn)記為:面面平行則線線平

8、行。二、做題方法（一）、證明線線平行方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。a P | y na = l .n l/my n P = m方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。若 l 方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。a P | y na = l .n l/my n P = m方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。若 l a, m a，則 l / m。方法四：用向量方法：若向量I和向量m共線且l、m不重合，則I/m。（二）證明線面平行方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。l/ mm u a . n l / a l二以方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。a / pl u pJn l / a方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。若n為平面a的一個(gè)法向量，（三）、證明

9、面面平行面面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。m / ml, m u p且相交 n a / pl, m u a且相交方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。l, m u。且相交（四）垂直關(guān)系、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。2、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直4、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè) 平面垂直。二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，二面角的記法：二面角

10、 a -l-B 或 a -AB-B二、做題方法（一）證明線線垂直方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。mm u a方法二：三垂線定理及其逆定理。PO laOO方法三：用向量方法:若向量1和向量m的數(shù)量積為0，則11 m。（二）、證明線面垂直方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。11 AC11 ABn 11 以AC c AB = A方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。5、以cP = m n 11以11 m方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。5、以cP = m n 11以11 m, 1 u P（三）、證明面面垂直方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。b（b）向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角b（b）向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角）：cos0 =AB - A

11、CAB - AC方法二：計(jì)算所成二面角為直角。（五）空間角（1）異面直線所成的角（線線角）：通過(guò)直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：0。Va V 90。；求解方法：（a）平移，使它們相交，找到夾角，解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理：a 2 + b 2 一 c 2 cos0 =2ab 線面所成的角（線面角）：范圍：。,90注：當(dāng)0 = 0 時(shí)，1 ua 或 1 /a，當(dāng)0 = 90時(shí)，11a斜線與平面所成的角：范圍0。Va V 90。；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。DD求解方法：（a）作出線面角，并證明。然后解三角形，求出線面角

12、（b）向量法（b）向量法（n為平面a的一個(gè)法向量）。sin9cos （3）面面所成的角（面面角）：二面角及其平面角1、定義：在棱l上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n 的夾角9為二面角a l P的平面角。范圍：0,1802、求解方法：（a）定義法：作出二面角的平面角（三垂線定理），并證明。解三角形，求出 二面角的平面角。（b）截面法：如圖（1），若平面POA同時(shí)垂直于平面a和P，則交線（射線）AP和 AO的夾角就是二面角。解三角形，求出二面角。(1)(2)(1)(2)（c）坐標(biāo)法（計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ)）。如圖（2）計(jì)算cos =-V2，判斷9與的關(guān)系，可能相等

13、或者互補(bǔ)。1 2 時(shí)-lnJ1 2- 一 （六）空間距離（1）點(diǎn)到平面的距離1、定義： 面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè) 平面的距離.2、求點(diǎn)面距離常用的方法：1）幾何法。步驟1：過(guò)點(diǎn)P作POa于O，線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的 體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V= 1 Sh，求出h即為所求.2)坐標(biāo)法。d = d = AP cos n AP直線和平面的距離、平行平面的距離將線面、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積

14、法求解之.異面直線之間的距離轉(zhuǎn)化為線面距離。m 如圖，m和n為兩條異面直線，n ua且m/a，則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為 直線m與平面a之間的距離。直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。補(bǔ)充知識(shí)：1、三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面問(wèn)題. A，B，C 三點(diǎn)共線=OA = xOB + yOC，且x + y = 1，當(dāng)x = y =1 時(shí)，A 是線段JBC的中點(diǎn)A，B，C 三點(diǎn)共線 O AB = X AC 一(c ) A，B，(d ) A，B，C，D 四點(diǎn)共面=OA = xOB + yOC + zOD，且x + y + z = 1(c ) A，B，(d ) A，B，*C，D 四點(diǎn)共面U AB = xAC + yAD2

15、、常見(jiàn)幾何體的特征及運(yùn)算長(zhǎng)方體的對(duì)角線相等且互相平分。若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，表面積為，體積為3、正棱錐：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影在底面中心。4、棱錐的性質(zhì)：平行于底面的的截面與底面相似，且面積比等于頂點(diǎn)到截面的距離與棱錐 的高的平方比。5、正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。6、設(shè)球半徑為R，小圓的半徑為r，小圓圓心為0球心O到小圓的距離為d，則它們?nèi)咧g的數(shù)量關(guān)系是 r =、/R2 -d2。7、球面距離：經(jīng)過(guò)球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度。三視圖、直觀圖、體積表面積計(jì)算1.【2012高考新課標(biāo)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為

16、L粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為(圖，則此幾何體的體積為(A)6(B) 9【2012高考新課標(biāo)】平面a截球0的球面所得圓的半徑為1，球心0到平面a的距離為；2,則此球的體積為_(kāi)(A) 皤兀(B) 4扁(C) 4站(D) 6偵荔【2012高考陜西】將正方形(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則 該幾何體的左視圖為()【2012高考江西】若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為左快國(guó)P B.5C.4 D. 922【2012高考湖南】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能 .是【2012高考廣東】某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為

17、俯視圖A. 72兀B. A. 72兀B. 48兀C. 30kD. 24?！?102高考福建】一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均等，那么這個(gè)幾何體不可以是A球 B三棱錐 C正方體 D圓柱【2012高考上海】一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2兀，該圓柱的表面積為【答案】6?！?012高考湖北】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積.氧15.貌囹氧15.貌囹【答案】12?！?012高考遼寧】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為，11.【2012高考江蘇】如圖，在長(zhǎng)方體孩8-ABCD中，AB = AD = 3cm，AA = 2cm，則 1 1 1 11四棱錐A-BBDD的體積為 cm3

18、12 （ 2013年高考重慶卷）某幾何體的三視圖如題（8）所示，則該幾何體的表面積為A. 180B A. 180B 200C 220D 24013 （ 2013年高考課標(biāo)II卷）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系0-勺2中的坐標(biāo)分別是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得 到正視圖可以為A.B.C.D.14 （ 2013年高考四川卷）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是A.棱柱棱臺(tái)A.棱柱棱臺(tái)圓柱圓臺(tái)側(cè)視圖1側(cè)視圖115. （ 2013年高考廣東卷）某三棱錐的三視圖如圖2所示,則該三棱錐的體積是 TOC o 1-5 h

19、z （）A.二B. C.工D. 163316（ 2013年高考湖南）已知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為J2的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于（）32 1A.。B. 1C.2D. ,；217（ 2013年高考山東卷）一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正（主）視圖如右圖所示該四棱錐側(cè)面積和體積分別是A. 4占,8B.4dA. 4占,8B.4d=8C. 4(5 +1),3D. 8,8卜 &-H h2*i h-正（主）視圖 側(cè)（左）視圖俯視圖A.200+9 n B.200+18 n C.140+9n D.140+18n19 （ 2013年高考陜西卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為20 （ 2013年高考天津卷）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為四,則正方體的棱長(zhǎng)為空間平行與垂直1、如圖，在正方體ABCD - A1 B1C1 D1中，E是AA1的中點(diǎn)， 求證：AC/平面BDE。2、已知正方體ABCD - A1 B1C1 D1，O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).求證：C1O 面 AB1D1 ；3、如圖，在正方體ABCD - A1 B1C1 D1中，E是AA1的中點(diǎn).(1)求證：AC /平面BDE ； (2)求證：平面AAC 1平面BDE.114、正方體ABCDA1BlClD1 中.(