空間點線面的位置關系及四個公理

1、高考專題：空間點、直線、平面的位置關系及四個公理一空間點、直線、平面的位置關系空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形/7/7A 7符號aba aa 月相交關系圖形符號a H b=Aa H a= AaH g=l異面或在內關系圖形7符號a， b是異面直線a a2.異面直線所成的角 （1）定義：設a, b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線aa, bb,把a與b 所成的 銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.即，異面直線的平行線的 夾角就是兩異面直線所成的角。（2）范圍：（0, 2J- 3.異面直線判定定理：經過平面外一點和平面內一點的直線，與這個

2、平面內不經過該點的直線是異面直線.即，若A aa, B ea, l ua, B wl則AB與l異面。4.異面直線所成的角的求解方法：方法一，定義法：異面直線所成的角，根據(jù)定義，以“運動”觀點，用“平移轉化”的方 法，使之成為兩相交直線所成的角，當異面直線垂直時，應用線面垂直定義或三垂線定理及逆定理判定所成的角為90。，也是不可忽視的方法。其求解步驟為：做平移找出或做出有關的角-證明它符合定義即認定-通過解三角形求角。 簡言之，“一做，二證，三算”注意：第二步認定的表述為：/A或其補角就是異面直線-與-所成的角。方法二，三弦公式法：如圖，已知pa與PB分別是平面a的垂線和斜線，在平面a內過斜足B

3、 任意引一直線BC，設ZPBA = q,ZABC = 02,ZPBC = 0，有cos0 = cos01 -cos02。P【真題再現(xiàn)】1.（2014全國二）：正方體ABCD ABCD中，若E、F分別為AB和BB11111 11的中點，則AE與CF所成角的余弦值是2.（2017理科全國三）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC 所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：當直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最大值為60；其中正確的是 .（填

4、寫所有正確結論的編號）推論：最小角定理：平面外的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角（即，線面角）是 這條斜線和平面內所有直線所成的一切角中的最小角?！菊骖}再現(xiàn)】（2018浙江8）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是 線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為* SE與平面ABCD所成的角為， 二面角S-AB-C的平面角為，則（）A. Qe,VQB.摭e,珥C. QVQVQD.成VQ們1一 2 33一 2一 11一 3 22一 3一 1方法三，空間向量法:建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，并設異面直線AB與CD所成的角為。，貝g cos貝g cos0 =AB CDa |cd

5、|【考點專練】L （09天津卷）在棱長為2的正方體ABCD-/RE中，是底面ABCD的中心，E、F分別是CR、AD的中點，那么異面直線OE和FD所成的角的余弦值等于（）v10A .15v10A .15B.4C. 52D,3132.在空間四邊形ABCD中，已知AD=1, BC=3且 AD 1 BC，對角線BD = -，AC=2.在空間四邊形ABCD中，已知AD=1, BC=33工占土一-，求AC和BD所成的角。已知異面直線a,b所成的角為60。，在過空間一定點P的直線中，與a,b所成的角均為60。的直線有多少條？過P與a,b所成角均為50。，與均為70。的直線又各有多少呢？兀已知兩異面直線所成的

6、角為耳，直線l與兩異面直線均成等角，則這個角。的取值范圍是5.線段AB夾在直二面角a-1-P內，A ea, B e P，如果AB與平面a、P所成的角分別為0、中，那么0 +中應滿足（）A .大于90。B,小于90。C .等于90。 D,小于或等于90。6.（08全國理）正六棱柱ABCDEF - BRR氣的底面邊長為1，側棱長為很，則這個棱柱的側面對角線E D與Bq所成的角為（）A .90。B .60。C .40。D .120。7.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線BR與EF所成的角的大小為（）A. 30B. 45 C. 60 D. 90解析

7、：C 連接B1D1 , D1C（圖略），則BflEF，故zD 為所求的角， 又 B1D1=B1C = D1C，.zD1B1C = 60.8.（2018-全國II卷理科）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA=V3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）2D.M9.如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA=2AB=2,10.（2018-全國11卷文科）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與CD,10.（2018-全國11卷文科）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與CD所成角的正切值為（）A甦B?23E為棱CC1的中點c垂C.

8、2則異面直線AED.乎解析：C 如圖，因為AB（CD ,所以AE與CD所成的角為zEAB.在RtAABE中，設AB = 2 ,BC=CC1BC=CC1 = 1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）D近D. 3E為AA1的中點云 B個12.已知正四棱柱ABCD-A1BlClDl中c遠C. 5AA1 = 2AB，則異面直線BE與CD1BE岳5則BE = ：5 ,則tanzEAB=而二虧，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為云。11. （2017-全國II卷理科）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕ABC=120, AB=2,所成角的余弦值為（）A .端解析：D 連BA1 ,則在正四棱柱

9、中可得BAJICD ,.zABE即為異面直線BE與CD1所成 角（或其補角）.設AA1 = 2AB = 2 ,則在ME中，BE二& ,EA1 = 1,BA2=J5，由余弦定理6； 2）2 + （污）2 - 12 rT03 氣：10得coszABE= 2Xi*V5= ,.異面直線BE與CD1所成角的余弦值為當蒞.13.如圖，E、F分別是三棱錐P-ABC的棱AP. BC的中點，PC=10, AB=6, EF=7，則異面直線AB與PC所成的角為 .答案：60解析：取AC的中點D，連接DE、DF則DE(PC , DF(AB，-EDF或其補角為異面直線AB與PC所成的角，利用余弦定理可求得zEDF=12

10、0，所以異面直線AB與PC所成的角為60,14.如圖，在長方體ABCD A BfR中。已知AB=4, AD=3, #=2，E、F分別是線段 AB、BC 上的點，且 EB=FB=1(1)求二面角C DE C1的正切值；(2)求直線Eq與Fq所成角的余弦值A.DA.DFFDL15.如圖，在二面角 al P, A、B ea, C、D e l，ABCD 是矩形，P e P, PA a，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中點。證明：MN是異面直線AB和PC的公垂aAMNPC求異面直線PA與MN所成的角。aAMNPC16.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，/BAD = 90。

11、，AD/BC,AB=BC=a，AD=2a，且 PA 1 底面 ABCD，PD 與底面成30。角。若AE1PD, E為垂足，求證：BE 1PD；求異面直線AE與CD所成角的余弦大小。17. (2016-全國I卷)平面a過正方體ABCD-A1BClD1的頂點A，a平面CBfi，aC平面 ABCD=m，aC平面 ABB1A1=n，則 m，n 所成角的正弦值為()A?23 B.f C.*3 D.1解析：A 如圖所示，設平面CBDC平面ABCD = m1 ,因為a|平面CB1D1，所以mj|m，又平面ABCD平面A1B1C1D1 ，且平面 BDCC 平面 A1B1C1D1=B1D1，所以 B1D1|m1

12、，故 B1D1|m.因為平面ABBA |平面DCCD，且平面CB D C平面DCC D = CD，同理可證CD |n.1 11 1，1 11 11，1.故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角，在正方體ABCD - AfiCfl中，心是正三3 角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.18. 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論:ABEF；AB與CM所成的角為60； EF與MN是異面直線；MNCD.以上四個命題中，正確命題的序號是解析：如圖，ABEF，正確；顯然ABICM，所以不正確；EF與MN是異面直線，所以正確；與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是

13、.答案：19.如圖所示，三棱柱ABC -A1B1C1,底面是邊長為2的正三角形，側棱AAL底面ABC, 點E, F分別是棱Cq, BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.當點M在何位置時，BM平面AEF?若BM平面AEF，判斷BM與EF的位置關系，說明理由；并求BM與EF所成的 角的余弦值.解：(1)法一：如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM1AC于點M.因為側棱AA1底面ABC，所以側面AACC1底面ABC.又因為 EC = 2FB = 2，所以 OMFBEC 且 OM=、EC 二 FB，所以四邊形OMBF為矩形，BM(OF.因為OFU平面AEF，BMG平面AEF

14、， 故BM|平面AEF，此時點M為AC的中點.法二：如圖所示，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ.因為 EC = 2FB = 2 聽以1、所以 PQAE , PBEF ,所以PQII平面AFE , PB|平面AEF ,因為PBQPQ = P , PB , PQU平面PBQ，所以平面PBQI平面AEF.又因為BQU平面PBQ，所以BQ|平面AEF.故點Q即為所求的點M,此時點M為AC的中點.(2)由(1)知，BM與EF異面，zOFE(或zMBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補角.易求 AF = EF = , MB = OF 二蕓,OF1AE ,所以cos，OFE = F=1

15、 ,所以BM與EF所成的角的余弦值為號5.二四個公理及其應用：公理1、如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。公理的應用：(1)證明直線在平面內：(2)證明點在平面內：公理2、過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論1、兩條平行直線確定唯一一個平面。推論2、一條直線及直線外一點確定唯一一個平面。推論3、兩條相交直線確定唯一一個平面。公理的應用：確定平面或證明多點共面。公理3、如果有兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。簡言之，“面面相交成一線”。公理的應用：（1）判斷兩平面是否相交：（2）畫相交兩平面的交線：（3）證明多點共線：（4）證明三

16、線共點：公理4 （平行公理）、平行于同一直線的兩直線平行。推論：等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角 相等或互補. 公理的應用：證明兩直線平行或證明角相等。【考點專練】判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“”，錯誤的打“ X”.（1）兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.（） TOC o 1-5 h z （2）兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.（）（3）已知a, b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b不可能是平行直線.（）（4） 沒有公共點的兩條直線是異面直線.（）（5）如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.（）答案：（1）X （2）X （3）

17、V （4）X （5）X 在下列命題中，不是公理的是（）平行于同一個平面的兩個平面相互平行過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析：A A不是公理，是個常用的結論，需經過推理論證；B , C , D是平面的基本性質公理.（2019-貴陽調研）a是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若mGa，nUa，且AEm，AEa，則m，n的位置關系不可能是（）A.垂直B.相交 C.異面 D.平行解析：D 依題意 ,m A a = A , nUa，:.m 與 n 異

18、面、相交（垂直是相交的特例），一定不平行.4.已知直線a和平面a, &, aC=l, aS, a邛，且a在a, &內的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關系是（）相交或平行 B.相交或異 C.平行或異面 D.相交、平行或異面解析：D 依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面.5.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線1,使l與棱AB, AD, AA1所成的角都相等， 這樣的直線1可以作（）A. 1條 B. 2條C. 3條 D. 4條解析：D 如圖，連接體對角線Aq ,顯然AC1與棱AB,AD,AA所成的角都相等，所成 角的正切值都為也.聯(lián)想正方體的其他體對角線，如連接

19、BD1，則BD1與棱BC , BA , BB1 所成的角都相等.BB1|AA1 ,BC|AD ,.體對角線BD1與棱AB , AD , AA1所成的角都相等， 同理，體對角線A1C ,DB1也與棱AB ,AD ,AA1所成的角都相等，過A點分別作BD1 ,A1C , DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線1可以作4條.6.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E, F分別是AB和AA1的中點.求證:E BE B(1)E, C, D1, F 四點共面；(2)CE, D1F, DA 三線共點.:E , F分別是AB , AA1的中點，證明(1)如圖，連接:E , F分別是AB , AA1的中點，EF|BA.又 AB|DC , EF|CD1 , :E , C , D1 , F 四點共面.(2)：EF|CD , EF 1