紙箱紙盒動(dòng)靜態(tài)力學(xué)分析

1、包裝盒的靜態(tài)受力分析折疊紙盒的抗壓強(qiáng)度隨著挺度、環(huán)壓強(qiáng)度和厚度的增加而增大；結(jié)構(gòu)不同， 抗壓強(qiáng)度不同；而結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響作用表現(xiàn)為：抗壓強(qiáng)度與高度成反比關(guān)系，與 周邊長成正比關(guān)系，與長寬比近似成二次函數(shù)關(guān)系。將紙盒材紙的抗壓強(qiáng)度以及一系列參數(shù)作為已知量，再通過實(shí)驗(yàn)擬合能夠得 到計(jì)算紙盒極限靜載荷的經(jīng)驗(yàn)公式。目前研究者已經(jīng)得出了很多這種經(jīng)驗(yàn)公式， 其中美國紙盒紙板研究開發(fā)協(xié)會(huì)（BRDA）提出一種折疊紙盒抗壓強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)公 式：al（1.1）式中：P一折疊紙盒抗壓強(qiáng)度（N）；a一常數(shù)；二.一紙板的縱向挺度（mNm）；二.一紙板的橫向挺度（mNm）；t一紙板厚度（mm）。由于BRDA公式僅考慮了紙板縱橫

2、向挺度和厚度的影響，其最大誤差達(dá)到了 21%，故可對(duì)其經(jīng)行優(yōu)化，找出較為精確地折疊紙盒抗壓強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型。鎖底式紙盒是各個(gè)體板以每兩個(gè)相鄰體板的交線（即高度方向壓痕線）為軸， 順次旋轉(zhuǎn)一定角度而成型的。在載荷作用下。4個(gè)側(cè)板都是縱向承載。根據(jù)管式 折疊紙盒的結(jié)構(gòu)及其受力狀態(tài)，可知紙板的環(huán)壓強(qiáng)度也是抗壓強(qiáng)度的影響因素； 由于側(cè)板是縱向承載，因而在公式中加入縱向環(huán)壓強(qiáng)度；根據(jù)BRDA式，加入紙 盒結(jié)構(gòu)影響因子，并考慮到紙板的縱橫向挺度有一定關(guān)系，三可以看成常數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型如下：?=己五一；二二：】言壬-二三一，上一幺；（1.2）式中：abefggg1常數(shù)；Z一紙盒周邊長（mm）；H紙盒高度（mm）

3、；A紙盒長寬比；Pm一紙板的縱向環(huán)壓強(qiáng)度（N/m）。通過實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析，在考慮紙板性能和結(jié)構(gòu)參數(shù)的共同影響時(shí)，鎖底式折 疊紙盒的抗壓強(qiáng)度計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式為：? = : _5五廠；二二七注上一：*（1.3）通過比較，模型的擬合度很好，最大誤差僅為3%。失效準(zhǔn)則在靜載情況下，若不考慮包裝件剛度對(duì)紙盒抗壓強(qiáng)度的影響，只要紙盒實(shí)際 所承受的壓力P0P，就不會(huì)有失效破損發(fā)生。包裝箱的靜態(tài)受力分析瓦楞紙箱的抗壓強(qiáng)度是指箱體破壞時(shí)的最大荷重，可用破壞時(shí)的變形量來表 示。實(shí)際測量時(shí)，是在空箱條件下單個(gè)測定的，它代表了最穩(wěn)定的強(qiáng)度。也可用 計(jì)算法評(píng)價(jià)瓦楞紙箱的抗壓強(qiáng)度，計(jì)算法有堆碼計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算法。所謂堆碼法是

4、把紙箱進(jìn)行多層堆疊，直至最底層紙箱壓潰時(shí)，記錄所堆疊的 層數(shù)和高度，然后用以下公式計(jì)算瓦楞紙箱的抗壓強(qiáng)度：口 =】：（2.1）式中：P一瓦楞紙箱的抗壓強(qiáng)度（N）；K安全系數(shù)；H一堆碼高度（mm）；H一瓦楞紙箱單體高度（mm）；W一瓦楞紙箱的單體重量（kg）。安全系數(shù)K是關(guān)于原紙質(zhì)量波動(dòng)系數(shù)，制造工藝低劣系數(shù)，由長久保存、濕 度、堆放、運(yùn)輸、裝卸引起的強(qiáng)度下降系數(shù)的函數(shù)。堆碼計(jì)算法的因素很全面， 但要求實(shí)驗(yàn)及精確每項(xiàng)系數(shù)，這使堆碼法的使用受到一定程度的限制。瓦楞紙箱設(shè)計(jì)的主要依據(jù)是抗壓強(qiáng)度，如果能根據(jù)事先已知的條件，計(jì)算出箱的抗壓強(qiáng)度，而不必一個(gè)個(gè)去測定，那就非常方便了。研究表明，瓦楞紙板的屈服

5、應(yīng)力與原紙的比例極限有緊密的聯(lián)系，其值等于其中:抗壓強(qiáng)度的2/3，紙箱平均失效壓力P、原紙抗壓強(qiáng)ffiPu、極限應(yīng)力Pcr、紙板邊壓 強(qiáng)度Pp可以用如下方程表示：其中:（2.2）（2.3）式中：a瓦楞紙板的寬度；H一瓦楞紙板的彎曲剛度系數(shù)；A一瓦楞紙板的橫向剪力剛度系數(shù)。將（2.3）代入（2.2）得：（2.4）需要找出m值來反映其對(duì)數(shù)增長率。通過實(shí)驗(yàn)可以作出瓦楞紙箱尺寸與最大載荷的關(guān)系圖，如圖2.1所示，通過實(shí)驗(yàn)可以作出瓦楞紙箱尺寸與最大載荷的關(guān)系圖，如圖2.1所示，店皇 nod- H12M-IILIZ皇 JQ H 罡 05 著至*W，d在圖中找出三點(diǎn)，A （a , P）、B （a., P/、

6、C （a , P ）其中A、C表示 a ab bc c紙箱縱向屈曲曲線部分的極值，B紙箱縱向屈曲曲線部分的極值，B在AC之間，且飛三。則:（2.5）（2.6）通過此方法求得的m平均值為0.376。對(duì)于載荷垂直于瓦楞方向的情況，m平 均值為0.253。可以分別用1/3和1/4來近似表達(dá)，簡化計(jì)算。瓦楞紙板橫向剪力剛度系數(shù)A可以用下式表達(dá)：(2.7)式中：n一瓦楞紙板在應(yīng)力條件下的半波數(shù)量，其取值需使D：三一三三的值最?。籇1，D2一分別為瓦楞紙板垂直、平行于加載方向彈性模量與慣性矩的 剩積EI；二、“二一分別為垂直、平行于加載方向的剪切模量。其中：（2.8）式中：P一使瓦楞紙板表面產(chǎn)生0.001

7、英寸位移所加載的剪力；三一瓦楞紙板表面與剪力之間的夾角；W一瓦楞紙板的寬度；瓦楞紙板的長度；c-瓦楞厚度；d-表面位移。通過式（2.6）和（2.7）可以得出H的表達(dá)式：(2.9)H = nD】丟+ %魯+ 2K(2.9)D1或上=D1或上=fEt）TMeOt志食點(diǎn)al.】-宿卷(2.10)式中：EI一瓦楞紙板彈性模量與慣性矩的剩積，：.口;為平行或垂直于瓦楞 方向的彈性模量與慣性矩的剩積，由P的方向決定；K一瓦楞紙板彎曲剛度系數(shù)；二一1減去垂直、平行卡紙纖維方向泊松比剩積的值，等于1（0.328* 0.219） = 0.928；L紙板跨度。也可以通過如下公式可以確定D三的取值：=三三注 上=三

8、二：.一三二，其中三二.土（2.11）式中：三二一瓦楞原紙橫向彈性模量；尋.一瓦楞原紙縱向彈性模量；E:一瓦楞芯紙成型前在瓦楞方向的彈性模量；二.一芯紙成型后纖維方向彈性模量；-.一寬度方向上每英寸的橫截面面積；c一楞高。=艾三：壬：（2.12）（2.13）式中：S一楞長的一半；t 一瓦楞芯紙厚度;= ：?-.當(dāng)K已知時(shí)，通過橢圓積分求得。通過以上公式求得m、H、A之后，可以通過下列公式表示Pp：i-m 111H 亍=寸三二三=w=-三（2.14）也可以通過實(shí)驗(yàn)得出Pp的表達(dá)式：乙=弓二二二三-三二（2.15）式中：蘭一瓦楞芯紙成型前后的長度比；土一面紙抗壓強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)值；三3一芯紙抗壓強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)值

9、。將各已知量帶入式（2.14）和式（2.4）并引入瓦楞常數(shù)*二、瓦楞紙箱周邊 長Z、紙箱常數(shù)J，可得瓦楞紙箱抗壓強(qiáng)度表達(dá)式:口 =號(hào) 3（2.16）式中：P一瓦楞紙箱抗壓強(qiáng)度，N；三；一瓦楞紙板原紙的綜合環(huán)壓強(qiáng)度，N/cm； 蕓；二一瓦楞常數(shù)；Z瓦楞紙箱周邊長，cm；J一紙箱常數(shù)。其中瓦楞紙板原紙的綜合環(huán)壓強(qiáng)度計(jì)算公式如下:（2.17）式中：Rn一面紙環(huán)壓強(qiáng)度測試值，N/0.152m；,：.一瓦楞芯紙環(huán)壓強(qiáng)度測試值，N/0.152m；Cn一瓦楞收縮率，即瓦楞芯紙?jiān)L度與面紙長度之比。式（2.2）中二=二.二-三：；，其中L-、.分別代表紙箱長寬外尺寸。多瓦楞紙板的q：二、J值計(jì)算公式如下:（2

10、.18）(2.19)式中:d二二一多瓦楞紙板的瓦楞常數(shù);d二一單瓦楞紙板的瓦楞常數(shù)；二二一多瓦楞紙板的紙箱常數(shù)；n瓦楞層數(shù)；L一瓦楞楞縮率；L-.一單瓦楞紙板的紙箱常數(shù)。aXz和J的值如表2.1所示。楞型ABEABaXz8.365.006.1013.36J0.590.680.680.66表2.1 瓦楞常數(shù)與紙箱常數(shù)實(shí)踐證明，用凱里卡特公式計(jì)算所得的紙箱抗壓強(qiáng)度值總小于紙箱 的實(shí)際測量值，兩者之差大體在5%左右。為了減少這一誤差，尋求出 一個(gè)更加合理的計(jì)算公式，可先分析瓦楞紙箱三個(gè)主要結(jié)構(gòu)因素與紙箱 抗壓強(qiáng)度之間的關(guān)系。紙箱高度在25cm以下，高度對(duì)其抗壓強(qiáng)度影響較大；當(dāng)超過25cm 時(shí)，則幾乎

11、沒有影響；紙箱縱橫比（即長、寬比）對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響較大， 縱橫比與抗壓強(qiáng)度成二次函數(shù)關(guān)系；紙箱抗壓強(qiáng)度與其周長近似成正比 例關(guān)系，即隨著紙箱周長的增大，紙箱的抗壓強(qiáng)度也增大。凱里卡特公式采用的箱形系數(shù)J，反映了周長的影響因素，但它作 為常數(shù)，不能反映高度和縱橫比的影響。假定所研究的紙箱高度大于25 cm，高度的影響可以忽略，則影響凱里卡特公式計(jì)算精度的另一主要因素便是縱橫比。沃福公式是以瓦楞紙板的變壓強(qiáng)度和厚度作為瓦楞紙板的參數(shù)，以 箱體周邊長、長寬比和高度作為紙箱結(jié)構(gòu)的因素來計(jì)算瓦楞紙箱的抗壓 強(qiáng)度的。公式如下：口 =二一羊二三二三二（2.20）式中：P紙箱抗壓強(qiáng)度，N；Z紙箱周長，mm ；

12、t紙箱厚度，mm ；P 一瓦楞紙板的邊壓強(qiáng)度，N/m ； mH0紙箱的高度，mmR 紙箱的長寬比。 L沃福公式引人了一個(gè)因子二-。=* 乂一 - _*，這個(gè)因子近似 地反映了縱橫比與抗壓強(qiáng)度的二次函數(shù)關(guān)系?？梢圆捎昧宋指９街卸问揭蜃拥那€形狀，并根據(jù)紙箱最大抗 壓強(qiáng)度來確定修正因子的常數(shù)項(xiàng)，達(dá)到修正凱里卡特公式的目的?？紤] 到凱里卡特公式總是比實(shí)測值小5%，可以在修正因子中加入5%，化簡 后的修正因子為：k =。3二溫二一二亍二一，.SF.（ 2.21）即可得到修正后的凱里卡特公式：口 =:/ Zf： 2-: 二關(guān)乂一 -。（2.22）實(shí)驗(yàn)證明，經(jīng)過修正后的凱里卡特公式絕對(duì)誤差的平均值為1

13、.65%，比修正之前更加精確，而且適用于各種縱橫比。失效準(zhǔn)則在靜載情況下，若不考慮包裝件剛度對(duì)紙箱抗壓強(qiáng)度的影響，只要紙紙實(shí)際 所承受的壓力P0P，就不會(huì)有失效破損發(fā)生。瓦楞紙箱力學(xué)模型的建立在瓦楞紙箱的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮過程中，加載的速度很低，因此可以忽略阻尼力的 影響。瓦楞紙箱的彈性恢復(fù)力具有較明顯的非線性，而對(duì)于非線性彈性力，只要 選擇合適的一次項(xiàng)和三次項(xiàng)系數(shù)，三次非線性函數(shù)可適合于現(xiàn)實(shí)中的大部分振動(dòng) 系統(tǒng)，對(duì)于瓦楞紙箱的非線性彈性力可用位移的三次多項(xiàng)式函數(shù)表示，記彈性力 為Fk，一次項(xiàng)系數(shù)為k，三次項(xiàng)系數(shù)為r。F = kx -F rx3對(duì)于多層堆碼瓦楞紙箱，底層的瓦楞紙箱受到了最大的靜壓力，在

14、運(yùn)輸中最 易受到損壞?？蓪⒌讓拥耐呃慵埾浜喕癁橐粋€(gè)三次非線性彈簧和一個(gè)線性阻尼 塊，位于上層的瓦楞紙箱包裝件簡化為一個(gè)質(zhì)量塊，瓦楞紙箱自身的重量相對(duì)瓦 楞紙箱包裝件可以忽略不計(jì)，如圖1所示。底層瓦楞紙箱的內(nèi)裝產(chǎn)品應(yīng)該是不受 力的，為了研究方便，也為了研究最嚴(yán)酷的條件，不考慮底層瓦楞紙箱的內(nèi)裝產(chǎn) 品。圖3.1圖3.1瓦楞紙箱簡化力學(xué)模型在靜止?fàn)顟B(tài)下，底層瓦楞紙箱受到來自上層瓦楞紙箱的壓力而發(fā)生變形，假 設(shè)瓦楞紙箱的形變量為x，則瓦楞紙箱所受的力F可表示為：（3.1）F = Fk + F。= kx + rx3 + 或=mg（3.1）瓦楞紙箱振動(dòng)模型的建立瓦楞紙箱在運(yùn)輸過程中所受到垂直方向的振動(dòng)激勵(lì)

15、主要來自于運(yùn)輸工具，屬 于基礎(chǔ)位移激勵(lì)。設(shè)在某一時(shí)刻，瓦楞紙箱系統(tǒng)受到的激勵(lì)位移為x2,瓦楞紙箱 包裝件的響應(yīng)位移為，如圖3.2所示。則上層包裝件除受到自身的重力外還受到 了慣性力F1和下層紙箱對(duì)它的支持力F2,鳥同時(shí)也是振動(dòng)過程中下層瓦楞紙箱受 到的動(dòng)態(tài)載荷，如圖3所示。圖3.2圖3.2瓦楞紙箱的振動(dòng)模型圖3.3瓦楞紙箱包裝件受力分析其中，慣性力二=】二，設(shè)系統(tǒng)靜止?fàn)顟B(tài)下，下層紙箱受到上層瓦楞紙箱的 壓力產(chǎn)生的變量為x0，則支持力1 = K： - 1二：-二:-二:-K：.：-二：:-1：.二-二二，即可得受力平衡方 程：rnx-L + kx0 + 空項(xiàng) + c（x-l 女 S + k（x-

16、L x2） + r（x-L x2）3 = mg（3.2）又由式（3.1）可知：- r二：=】二，所以對(duì)方程（3.2）兩邊經(jīng)行化簡可得 瓦楞紙箱的非線性振動(dòng)方程：mXi +劾）+ k（xi x2） + r（X x2.）3 =0（3.3）式中：m包裝件質(zhì)量（kg）；x1包裝件響應(yīng)位移（m）：x2基礎(chǔ)激勵(lì)位移（m）；令簡諧位移激勵(lì)二：=上.心；，其中A2表示簡諧振動(dòng)的位移幅值，表示 簡諧振動(dòng)的圓頻率。將其帶入方程（3）得：mx-L + c（女 1 o）A2 cos （rat） + k（xx A2 sin（st） + r（x1 A2 sinfot）3 = 0（3.4）為了簡化計(jì)算和便于分析，對(duì)方程（3

17、.4）進(jìn)行無量綱化：令方二% ： = 土，=二，日=亍，=，：=勇捉，將之帶入方程（4）可得:ji + 2亳（口乳cds（M） + （p sin（Xi） + s（p sin（Xi）3 = 0（3.5）式中：一振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比；汕一振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率；E一振動(dòng)系統(tǒng)的非線性系數(shù)；.一振動(dòng)系統(tǒng)的頻率比；一無量綱化的激勵(lì)位移；無量綱化的振動(dòng)時(shí)間。式（3.5）描述的是強(qiáng)迫振動(dòng)下的單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)，其中:的大小表 示非線性的強(qiáng)弱。非線性系統(tǒng)在振動(dòng)過程中的響應(yīng)情況依賴于對(duì)方程（3.5）的 求解。然而，對(duì)于形如式（3.5）存在外部激勵(lì)的三次非線性微分方程，不能求 得其嚴(yán)格精確的解析解，故通過諧波平衡法

18、求式（3.5）的近似穩(wěn)態(tài)周期解。令=J - sir.-：.:（3.6）將之帶入式（5）做如下化簡- 2?.- - :： -si】：.*（3.7）在弱非線性N】）條件下，對(duì)方程（3.7）中參數(shù)取不同值的情形進(jìn)行大 量數(shù)值積分，求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)并作傅立葉變換，結(jié)果表明，方程（3.7）具有穩(wěn)定 的與激勵(lì)等周期的穩(wěn)態(tài)周期解，而且不論如何變化，響應(yīng)的基頻幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 其它頻率（次諧波和超諧波）處的幅值：并且由于阻尼的存在，此穩(wěn)態(tài)周期解與 激勵(lì)之間有一定的相位差。故可設(shè)方程（3.7）穩(wěn)態(tài)周期解的形式為： ;= ir.：,.:-._：，將之帶入方程（3.7）并做等價(jià)變換得：X2B sin （Xi） + 2B cosXt -h B sin（M） -|- sB3 sin3 （Xi） = X2B sin（XT 一時(shí)（3.8）對(duì)式（3.8）進(jìn)行化簡，忽略三次諧波