線性代數(shù)必須熟記的性質(zhì)公式1213

1、線性代數(shù)課程必須熟記的性質(zhì)公式1行列式的性質(zhì):IAi=IAI；互換行列式的兩行，行列式變號(hào)；行列式的某一行(列)乘以數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式;行列式中有兩行(列)元素成比例，則行列式等于零；aa aaaaaaaii121n11121n11121n, a + ba + ba + b=aaa+ bb.bi1i1i2i2in ini1i2ini1i2in, ,aa aaaaaaan1n2nnn1n2nnn1n2nn(6)把行列式的某一行(列)乘以k然后加到另一行(列)，行列式不變:aa aaaa11121n11121n . aa a a + kaa + ka a + ka.i1i2ini1j1i2

2、j2injn aa aaaan1n2nnn1n2nnA O=I AIIBI;()C B(8)a11a12a 1n bb.b=b A + b A + -+ b A12n1 i12 i 2n inaa.an1n2nn11.1aa - a12na2a2 - a2 =11 (a - a )12nji.0z js；若A中所有t階子式全為0,則R(A)t.若 A 為 mxn 矩陣，則 0R(A)minm, n.R(At) = R(A).對(duì)于n階矩陣A,當(dāng)IAI。時(shí),R(A)=n;當(dāng) IAI=0 時(shí),R(A)n.若 AB,則 R(A)=R(B).即 P、Q 可逆，則 R(PAQ)=R(A).maxR(A),

3、 R(B)R(A, B)R(A)+R(B).R(A+B)R(A)+R(B).R(AB)minR(A), R(B).A B = O,則 R(A)+R(B)n.8線性方程組解的性質(zhì)：n元齊次線性方程組Ax=0有非零解0 r n , n元齊次線性方程組=0有非零解 0 r n ,解集S的秩R=n-r.設(shè)&,%,與為方程的基礎(chǔ)解系，則通解為X=CA M+C&c +c & (c , C，c gR).112 2t t 1 2 tn元非齊次線性方程組Ax=b無解0R(A)R(A, b);有唯一解0R(A)=R(A, b)=n;有無限多解 0R(A)=R(A, b)n.若門*是方程組Ax=b的某個(gè)解， &2,

4、 ,砧是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則方程組Ax=b的通解為x=k E+k E + +k & +n*, &,. ,k gR).1 1 2 2n-r n-r1 n-r/矩陣方程 AX=B 有解 0R(A)=R(A, B).9向量的線性表示向量b能由向量組A: a, a2，am線性表示：0 (i)線性方程組Ax=b有解；0 (ii) R(A)= R(A , b).向量組B： b1? b2,，- bl能由向量組A: a, a2，am線性表示：0 (i)矩陣方程AX=B有解；0 (ii) R(A )= R(A, B).向量組B能由向量組A線性表示R(B)WR(A).向量組A與向量組B等價(jià)0 (i) R(

5、A)=R(B)=R(A, B).0 (ii)存在矩陣S,T使得A=BS,B=AT.10向量組的線性相關(guān)性：向量組A: a, a?,am線性相關(guān)：0 (i)(定義)存在不全為零的必有k,k2，=,km使得k1a1+k2a2+ +kmam=0;0 (ii)(方程組)=0有非零解；0 (iii)(矩陣)R(A) 2 Tn-a如蒞1-2a- 2 Tn-0如蒞1-na-7P 7P111-1Tn- =n e14方陣的特征值，特征向量(1) Ax=/bc(x 尹 0);(?) tr(A) = X +X hX ;12n(ii) I A1= X X . .人.1 2 n仇)的特征值的口刃；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對(duì)稱矩陣不同特征值